2024-2025学年河北省衡水市冀州区高三复习班上学期第二次调研数学检测试题（含解析）

2024-2025学年河北省衡水市冀州区高三复习班上学期第二次调研数学检测试题第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.求值：（）A. B. C. D.3.若，且，则的最小值为（）A.20 B.12 C.16 D.254.已知是定义在上的可导函数，若，则（）A. B. C.1 D.5.已知方程，的根分别为，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.46.若，则点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7.函数在上单调递增，则的取值范围是（）A B. C. D.8.已知，若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.设，为复数，则下列说法中正确的有（）A.若，，其中，，，，且，，则B.若（）为纯虚数，则C.若关于的方程，，的一个虚根为，则D.若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限10.已知，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则的最大值为D.，，使得11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.点0,2是曲线y=fxB.当时，函数有3个零点C.若函数有两个零点，则D.过坐标原点可以作曲线y=fx第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第—个空2分，第二个空3分）12.已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则________.13.已知函数(为常数)为奇函数，且为增函数，则实数的取值范围是_____．14.已知函数.若，则的零点为___________；若函数有两个零点，则的最小值为__________.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知.（1）求的值；（2）若，是方程两个根，求的值.16.已知函数.（1）求函数在点处切线方程；（2）求函数在上的最大值与最小值.17.已知，，，，（1）求的值（2）求角的值.18已知函数（1）若在处取得极值，求函数的单调区间.（2）若函数有两个零点，求的取值范围.19.已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若在上存在一点，使得成立，求a的取值范围．2024-2025学年河北省衡水市冀州区高三复习班上学期第二次调研数学检测试题第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据题意求集合，集合交集运算求解.【详解】由题意可得：，所以.故选：D.2.求值：（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用三角函数的诱导公式化简求值即可.【详解】，故选：A3.若，且，则的最小值为（）A.20 B.12 C.16 D.25【正确答案】D【分析】利用，结合基本不等式可求和的最小值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：D.4.已知是定义在上的可导函数，若，则（）A B. C.1 D.【正确答案】C【分析】根据导数的定义计算可得结果.【详解】由导数的定义，.故选：C.5.已知方程，的根分别为，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】得到，，构造，故，求导得到其单调递增，故，求出.【详解】由题意得，，令，则，又恒成立，故在R上单调递增，故，所以.故选：B6.若，则点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正确答案】C【分析】结合函数在的单调性可判断的符号；利用商数关系，将正切化为正弦和余弦，结合，的符号即可判断的符号.【详解】解：因为函数在上单调递增，所以，即；因为，又因为时，，，，所以，即.所以点位于第三象限.故选：C.7.函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据的单调性列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】因为函数恒为递增函数，所以若要在上单调递增，则，解得，故选.8.已知，若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先求导得，再分与a>0研究函数的单调性，当函数单调递增，不恒成立；当时，将恒成立问题通过单调性转化为求解函数的最小值大于等于1，进而得到的不等关系，由此利用不等式的性质转化求解的范围即可.【详解】由题意，，，当时，f′x>0恒成立，则当时，，故不恒成立；当时，令，解得，当时，f′x<0，函数在上单调递减；当时，f′x>0，函数在上单调递增，恒成立，则，设，，令，解得，当时，，函数在0,1上单调递减；当时，，函数在1,+∞上单调递增；，，且当时，.故选：D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.设，为复数，则下列说法中正确的有（）A.若，，其中，，，，且，，则B.若（）为纯虚数，则C.若关于的方程，，的一个虚根为，则D.若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限【正确答案】BD【分析】对于A：根据复数不能比较大小即可判断；对于B：根据纯虚数的概念列式求解；对于C：可知另一个虚根为，利用韦达定理运算求解；对于D：可得，结合复数的几何意义分析判断.【详解】对于选项A：因为，可知，不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误；对于选项B：若（）纯虚数，则，解得，故B正确；对于选项C：若关于的方程，，的一个虚根为，则另一个虚根为，可得，所以，故C错误；对于选项D：若，，则，复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确；故选：BD.10.已知，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则的最大值为D.，，使得【正确答案】ABC【分析】利用二倍角公式与和差角的三角函数公式化简、分析、计算即可一一判断.【详解】，（*），对于A，若，则，化简得，则，故A正确；对于B，因，由（*）可得，，，故B正确；对于C，若，，，则，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；对于D，，假设，则，，又，，则得，即，该方程无解，故D错误.故选：ABC.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.点0,2是曲线y=fxB.当时，函数有3个零点C.若函数有两个零点，则D.过坐标原点可以作曲线y=fx【正确答案】AC【分析】根据即可判断A；对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断B；要使有且仅有2个零点，由单调性可得，故，求解判断C；过点可以作曲线切线条数可转化为根的个数可判断D．【详解】对于A，对任意的，，所以点是曲线的对称中心，故A对；对于B，当时，，，由，可得，由，可得或，所以函数的增区间为，减区间为，所以函数的极大值为，极小值为，又因为，由零点存在定理可知，函数在区间有一个零点，当时，，所以当时，函数有一个零点，故B错；对于C，当时，，此时单调递增，至多一个零点，不符合要求，当，所以，令解得或，令解得，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，由于，要使有两个零点，则，解得时，故C正确；对于D,，设切点为，所以在点处的切线方程为：，又因为切线过点，所以，解得，，即过点可以作曲线的1条切线，故D错误；故选：AC难点点睛：本题考查了导数的综合应用，难点是选项C的判断，解答时要结合函数的单调性，求出函数的极值，结合零点个数列式求解.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第—个空2分，第二个空3分）12.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则________.【正确答案】【分析】利用三角函数的定义先计算，再利用二倍角公式计算即可.【详解】由题意可知，所以，故13.已知函数(为常数)为奇函数，且为增函数，则实数的取值范围是_____．【正确答案】【分析】首先根据奇函数计算出的值，再利用导数和基本不等式即可计算出实数的取值【详解】因为(为常数)为奇函数且定义域为,所以，为为增函数等价于恒成立即令（当且仅当时取等号）故14.已知函数.若，则的零点为___________；若函数有两个零点，则的最小值为__________.【正确答案】①.6②.60【分析】（1）求解即可；（2）作出的图象，结合题意可得，再根据基本不等式求解最小值即可.【详解】（1），解得，故零点为；（2）由题意有两个零点，作出的图象可得，且，故，即.故，当且仅当，即时取等号.故6；60四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知.（1）求的值；（2）若，是方程的两个根，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解；（2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解.【小问1详解】因为，所以，所以，解得；【小问2详解】因为，是方程的两个根，所以，∴，又，∴．16.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数在上的最大值与最小值.【正确答案】（1）（2）最小值为，最大值为【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）先利用导数分析函数的单调性，进而求解即可.【小问1详解】由，得，所以，又，所以函数在处的切线方程为：，即.【小问2详解】由，令，解得或，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，最小，且最小值为，因为，，故最大值为.17.已知，，，，（1）求值（2）求角的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用二倍角公式、诱导公式化简，再利用商数关系化为关于的式子，再由二倍解公式，同角关系式对已知条件变形求得，代入计算可得；（2）确定的范围，求得，然后利用，结合两角差的正弦公式求得，结合角的范围得出角的大小．【小问1详解】由又因为，所以，可得，解得或，由于，所以.原式【小问2详解】又由知，因，则，由，又因，故.18.已知函数（1）若在处取得极值，求函数的单调区间.（2）若函数有两个零点，求的取值范围.【正确答案】（1）单调递增区间为1,+∞，单调递减区间为0,1（2）【分析】（1）求导，由求出，再结合导函数单调性和求出函数的单调区间；（2）令，得到，，令，，则，求导得到在0,+∞上单调递增，故，即，有两个零点，等价于有两个根，令，，求导得到的单调性和最值，得到，得到答案.【小问1详解】，由题意得，解得，故，定义域为0,+∞，为单调递增函数，又，故当时，f′x>0，当时，f′故的单调递增区间为1,+∞，单调递减区间为0,1；【小问2详解】的定义域为0,+∞，，即，变形为，，令，，则，在0,+∞恒成立，故在0,+∞上单调递增，故，即，有两个零点，等价于有两个根，令，，则，当时，，当时，，故在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，，又趋向于0时，ℎx趋向于，当趋向于时，ℎx趋向于，故要想有两个根，则，解得.关键点点睛：，即，同构变形为，，构造，，则，再此基础上再进行求解.19.已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若在上存在一点，使得成立，求a的取值范围．【正确答案】（1）极小值1，无极大值（2）答案见解析（3）或【分析】（1），第一步求函数的导数，第二步求极值点，分析零点两侧的单调性，求得极小值；（2），，函数的定义域是0,+∞，所以讨论和0的大小关系，分和两种情况讨论函数的单调性；（3）根据（2）将问题转化为，使ℎx<0，讨论极值点与定义域的关系，分三种情况讨论函数的最小值，令，求实数.【小问1详解】的定义域为，当时，，，在处取