2025北京石景山初三（上）期末数学试题及答案

2025北京石景山初三（上）期末数学学校姓名准考证号1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间1202．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。考生须知3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效。4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。第一部分选择题一、选择题（本题共16分，每小题2下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．1．若350，则下列比例式正确的是y=x()x5x3xy35yx（A）=（B）=（C）=（D）=y35y352．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为（A）y=(x+2（B）y=(x−2（C）y=x2+1（D）y=x2−13．半径为6的圆中，60的圆心角所对的弧长为（A）（B）3π（C）4π（D）6π64．若点(x,，B(x,1)，C(x,2)都在反比例函数y=的图象上，则x1，x，x的大小关系是31232x（A）123（）Bxxx（）CxxxDxxx（）13A2133212O5．如图，是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点．若CB，则∠D的度数为=BC（A）125°（C）145°（B）135°（D）155°DBFD6．二次函数y=ax2+bx+c中，如果a0，b0，c0，那么它的图象OAC一定不经过．．．E（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．若CF=7，=9，则△ABC的周长为（A）16（C）25（B）23（D）32y=ax2+bx+c(a，c0)的自变量x与函数y的部分对应值如下表：8．二次函数xy2102…………cm给出下面三个结论：①a0；②m0；③关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x=1，x=−3．12上述结论中，所有正确结论的序号是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③第二部分非选择题二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若两个相似三角形对应边上的高之比是2:3，则它们的面积比是．10．如图，直线AB∥EF∥CD，EF分别交AD，BC于点E，．若AE=1ED=2，则的值为．AB300020001000BEFACO0.10.20.32CD第10题图第题图第12题图．如图，斜坡AB的坡度为1:3，坡面AB的长为10m，则坡顶B到水平地面AC的距离为m．12．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强p()是它的受力面积S(2)的反比例函数，其图象如图所示．当S=0.2m2时，该物体所受到的压强为13．写出一个函数表达式，满足：当x<0y随x的增大而增大，则此函数表达式可以14．若抛物线y=x2−x+c（c是常数）的顶点在x轴上，则c的值是Pa．为．15．中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几?大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即EA=8里，EA⊥EC北FBCE．．出西门F直行2里到B处（即FB=2里，FB⊥FCC看见宝塔A（即B，C，AA的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是16．如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90，OA=4，OB=3，⊙O的半径为1，PAB上一点，过点P作⊙O里．O的切线，切点为COP交⊙O于点D，连接CD．CD（1）当点P与点A重合时，sin的值为；2CD的长最小时，sin的值为．APB三、解答题（本题共分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：23cos30．18．已知：在Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=23，解这个直角三角形．A已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线和直线PB，使得切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，BC①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点Q；②以点Q为圆心，OQ的长为半径作圆，交⊙O于点A和点B；③作直线和直线PB．所以直线和PB就是所求作的直线．PO根据小石设计的尺规作图过程，（1（2）完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝①（②．∴⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴，PB是⊙O的切线（③20．已知：二次函数y=x2++3的图象经过点(．−（1）求二次函数的表达式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标；（2）求二次函数图象与x轴交点的坐标；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象．21．E为F．（1）求证：△；ADE1=，30，=1，（2）连接交AE于点G，若2F直接写出AB的长为，EG的长为．BC22．小慧家的圆形桌面被损坏，残留下的一部分如图所示．小慧想重新配块同样大小的圆形桌面，进行了如下操作：首先在残留桌面的圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点D，交AB于点C，其次测量出AB＝40cm，CD＝10cm，请帮助小慧求出此圆形桌面的半径．CDAB23．首钢园区内的石景山被誉为“燕都第一仙山”，石景山上的功碑阁作为石景山区地标性建筑之一，彰显着地域文化魅力与历史底蕴．某校社会实践小组选择了一处开阔平坦的区域进行测量活动．如图，EF是水平地面，在F处用高1.2m的测角仪CF测得功碑阁顶A的仰角为18，然后沿FE方向前行80m到达G处，在G处测得功碑阁顶A的仰角为22．根据以上测得的数据，求功碑阁顶A到水平地面EFtan18，sin18，cos18,tan22，sin22，22ACDBEGF24．如图，P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OP交⊙O于点B，C为⊙O上一点，CA∥OP．（1）求证：=2BCO；13（2）若AC=2，cos=，求AP的长．CAPOB25．如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成135的墙角(墙足够长，另外两边由总长为30m的篱笆围成．（1）苗圃的面积y（单位：m2）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围；D（2）判断苗圃的面积能否达到1602，并说明理由．CABy=ax2−2+3(a0)．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知点（x,y（x,yx=−2，a−12a+1yy都有，求a的取值1211221范围．27．如图，等边△ABC中，D是AB边上一点，且AD＜BD，点D关于直线AC的对称点为E，连接CD，DE，在直线CD上取一点F，使得∠EFD=60，直线EF与直线BC交于点G．（1）若=，求CGE的度数（用含（2）用等式表示线段AD与BG的数量关系，并证明．AEDFBCG28xOyOCOAB上存在点P，使得CP⊥AB，且=m，则称点C是弦AB的“m2222（1）如图，点(,)，B(,−)．2222y21C3ABC2-1C1O12xC421①在点1(2,0)C(0)，2−CC−3)中，弦AB的“倍及点”是；422②若点D是弦AB的“1OD的最大值为；（2）弦AB=1，直线yxb（b0）与x轴，y轴分别交于点，N．若线段MN上3存在点C，使得点C是弦AB的“b的取值范围．2参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号答案12345678CAADBCDC二、填空题（本题共16分，每小题2分）19．4:910．．115812．5002141513．答案不唯一，如：y=−x214．161）2）.4三、解答题（本题共分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．3217．解：原式=23−41+2222…………5分…………2分=3.18Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=23，ABC233∴tanA===.AC30.9063A=∴∴B=,BC=2=223=43.=B=60AB=43.…………5分∴A30，，191）尺规作图，如图所示.………2分AB（2）；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径POQ的直线是圆的切线.…………5分20）∵二次函数y=x2+bx+3的图象经过点(，∴(2+(−b+3=8．∴b=−4．…………1分∴∵y=x2−4x+3．y=x2−4x+3x2−4x+−1，（x−2−1.…………2分…………3分∴顶点坐标为(2,.−（2）令y0，得=x2−4x+3=0.即(x−x−=0.∴x=x=3.12∴二次函数图象与x轴交点的坐标为0)和0).……………4分（3）图象略.…………………5分211）证明：∵四边形是矩形，=ADE∵AF⊥AE，∠F＝90，∴F=90．…1分∴G=，=．…………2分F∴△．…3分BC25（2）4；．……………5分22．解：设所在圆的圆心为O，半径为rcmOA，OB．………………1分∵=,CD是AB的垂直平分线，∴点O在直线CD上．CD∵AB40，CD＝10，AB∴DB＝20，OD=r-10．在Rt△中，∠ODB=90.∵OD2+DB2=OB2，O∴(r−10)2+202=r2．解得r25．=答：此圆形桌面的半径为25cm．…………5分23．解：由题意，C，D，B三点共线，CD=FG=80，==CF=1.2．设x，则==x+80．…………1分…………2分在Rt△中，90，∠ADB=22=°，°，∴0.4x．=在Rt△ABC中，90，∠ACB=18=∴ABBCACB0.32(x80)．=+………3分A∴0.4x0.32(x80)．……分=+4∴x320．…………分=5∴0.4x128．=DCFBE∴1281.2129.2．=++=G答：功碑阁顶A到水平地面EF的距离约为129.2m.241）证明：∵点A，B，C在⊙O上，…6分=2ACB．…………1分∴∵CA//OP，ACB=∠CBO．∵OC=OB，CEABPOCBO=∠BCO．ACB=∠BCO．AOB=2∠BCO．（2）解：过点O作OE⊥AC于点，AC=2，1…………3分∴AE=AC1．=…………4分2∵与⊙O相切于点A，∴=90．∵CA//OP，…………5分∴∠CAO=∠AOB．13∴CAO==．1==∴．3∴33，==9．==∴在Rt△中，AP=OP2−OA2=62．…………6分25）由题意，DC//AB，B=90，过点D作DE⊥AB于E，30.，∴=B=90=180，∴∴.===∴x2.=−，−==12∴y=−2x+30−x)x3=−x(x−20)23=−x2+30.…………3分2由题意，030且DECB0x∴30−2x0.A解得0x3y=−x2+30x(0x∴…………4分…………5分2（2）判断：苗圃的面积不能达到1602.理由如下：333y=−x2+30x=−(x2−20x)=−(x−10)2+150.2223∵0xa=−015，且，2∴当x10时，=y=150.160>150，∴苗圃的面积不能达到1602.…………6分…………1分2a2a26）抛物线的对称轴为：x=−=1.（）点（x,y（x,y.1122设点(y)关于对称轴x1的对称点为A(x,y)，−=111则x−1=1−(2).1∴x=4.1∴A(4,y).…………2分1①若a0，则当x≥1时，y随x的增大而增大；当x≤1时，y随x的增大而减小.（i）当2≤1时，∵对于1=−2，a−12a+1，都有yy1，2∴12.∴a1≤2.+−∴a≤3，不符合题意.−（ii）当21时，∵对于1=−2，a−12a+1，都有yy，12∴xx，即x4.212∴a1≥4.−∴a≥5.…………4分②若a0，则当x≥1时，y随x的增大而减小；当x≤1时，