2025高考数学二轮复习-专项练-小题满分练8-专项训练【含答案】VIP

小题满分练8一、单项选择题1．(2023·塔城模拟)已知复数z＝eq\f(2,i3－i)，i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析因为z＝eq\f(2,i3－i)＝eq\f(2,1＋3i)＝eq\f(21－3i,1＋3i1－3i)＝eq\f(1,5)－eq\f(3,5)i，所以复数z在复平面内对应点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，－\f(3,5)))，位于第四象限．2．(2023·河北衡水中学模拟)已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁RQ∁RP，则下列结论正确的是()A．∀x∈Q，x∈PB．∃x∈∁RP，x∈∁RQC．∃x∉Q，x∈PD．∀x∈∁RP，x∈∁RQ答案B解析因为∁RQ∁RP，所以PQ，如图，对于选项A，由题意知P是Q的真子集，故∃x∈Q，x∉P，故A不正确；对于选项B，由∁RQ是∁RP的真子集且∁RQ，∁RP都不是空集知，∃x∈∁RP，x∈∁RQ，故B正确；对于选项C，由∁RQ是∁RP的真子集知，∀x∉Q，x∉P，故C不正确；对于选项D，∁RQ是∁RP的真子集，故∃x∈∁RP，x∉∁RQ，故D不正确．3．(2023·南京模拟)(x－3y)(x＋y)5的展开式中x4y2的系数是()A．－5B．5C．15D．25答案A解析由(x－3y)(x＋y)5＝x(x＋y)5－3y(x＋y)5，其中(x＋y)5展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)x5－kyk(0≤k≤5且k∈N)，所以(x－3y)(x＋y)5的展开式中含x4y2的项为xCeq\o\al(2,5)x3y2－3yCeq\o\al(1,5)x4y1＝－5x4y2，所以展开式中x4y2的系数为－5.4．(2023·武汉模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若△ABF1是等边三角形，则双曲线C的离心率是()A．2B.eq\r(5)C.eq\r(2)D.eq\r(3)答案D解析由题知双曲线C的实半轴长a＝4，虚半轴长为b，设双曲线C的焦距为2c.如图，直线l与双曲线C右支相交于A，B两点，设|AF2|＝m，则|AF1|＝|AF2|＋2a＝m＋8，由△ABF1为等边三角形，得|BF1|＝|AB|＝|AF1|＝m＋8，可得|BF2|＝|AB|－|AF2|＝8，又由双曲线的性质知|BF1|－|BF2|＝|AB|－|BF2|＝m＝8，故|BF2|＝|AF2|，所以AB⊥F1F2，|AB|＝|AF1|＝|BF1|＝16.所以2c＝|F1F2|＝8eq\r(3)，所以c＝4eq\r(3)，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，0))上单调递增．设a＝f(log45)，b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(1,3)))，c＝f(0.20.5)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<a<bC．a<c<b D．b<a<c答案A解析由题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，0))上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(1,3)))＝f(－log43)＝f(log43)，0.20.5＝eq\r(\f(1,5))＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)，log43>log4eq\r(4)＝eq\f(1,2)，log45>1>log43>eq\f(1,2)>0.20.5>0，所以a<b<c.6．(2023·杭州第二中学模拟)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为数列{an}是公差为d的等差数列，所以S3n－S2n＝3na1＋eq\f(3n3n－1,2)d－2na1－eq\f(2n2n－1,2)d＝na1＋eq\f(n5n－1,2)d，S2n－Sn＝2na1＋eq\f(2n2n－1,2)d－na1－eq\f(nn－1,2)d＝na1＋eq\f(n3n－1,2)d，所以S3n－S2n－(S2n－Sn)＝n2d，若等差数列{an}的公差d>0，则n2d>0，所以S3n－S2n>S2n－Sn，故充分性成立；若S3n－S2n>S2n－Sn，则S3n－S2n－(S2n－Sn)＝n2d>0，所以d>0，故必要性成立，所以“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的充要条件．7．(2023·莆田模拟)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线E：y2＝2px(0<p<4)，一条平行于x轴的光线从点A(8,2p)射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若△ABC的面积是10，则p等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案D解析由题知抛物线焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，AB∥x轴，将y＝2p代入y2＝2px得x＝2p，则B(2p,2p)，由题可知B，F，C三点共线，直线BC：y＝eq\f(2p,2p－\f(p,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，即y＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，代入抛物线方程消去y得，8x2－17px＋2p2＝0，设方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝eq\f(17p,8)，则|BC|＝x1＋x2＋p＝eq\f(17p,8)＋p＝eq\f(25,8)p，又A(8,2p)到BC：4x－3y－2p＝0的距离d＝eq\f(|32－6p－2p|,5)＝eq\f(32－8p,5)，∴由S△ABC＝10得，eq\f(1,2)·|BC|·d＝10⇒eq\f(25,8)p·eq\f(32－8p,5)＝20⇒p＝2.8．(2023·长春模拟)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥CD,2AB＝BC＝CD，BC⊥CD，侧面A1ABB1为正方形，设O为四棱锥A1－CC1D1D外接球的球心，E为DD1上的动点，则直线AE与OB所成的最小角的正弦值为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(2\r(6),5)D.eq\f(1,5)答案D解析如图所示，以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则A(1,2,0)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，球心O在平面CDD1C1上的投影坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，则设球心Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，h，\f(1,2)))，则OA＝OC，即eq\r(1－12＋h－22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\r(12＋h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)，解得h＝eq\f(3,4)，则Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,4)，\f(1,2))).设E(2,0，a)，a∈[0,1]，eq\o(EA,\s\up6(→))＝(－1,2，－a)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,4)，－\f(1,2)))，则|cos〈eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(EA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))|,|\o(EA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1＋\f(5,2)＋\f(1,2)a,\r(a2＋5)·\f(3\r(5),4))＝eq\f(\f(7,2)＋\f(1,2)a,\r(a2＋5)·\f(3\r(5),4))＝eq\f(14＋2a,3\r(5)×\r(a2＋5))，设7＋a＝t，则a＝t－7，t∈[7,8]，则eq\f(14＋2a,3\r(5)×\r(a2＋5))＝eq\f(2t,3\r(5)×\r(t2－14t＋54))＝eq\f(2,3\r(5)×\r(54\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－\f(7,54)))2＋\f(5,54)))，当t＝eq\f(54,7)时，有最大值eq\f(2,3\r(5)×\r(\f(5,54)))＝eq\f(2\r(6),5)，此时直线AE与OB所成的角最小，对应的正弦值为eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),5)))2)＝eq\f(1,5).二、多项选择题9．(2023·黄冈浠水县第一中学模拟)下列命题正确的是()A．对于事件A，B，若A⊆B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(B|A)＝1B．若随机变量ξ～N(2，σ2)，P(ξ<4)＝0.84，则P(2<ξ<4)＝0.16C．样本相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强D．在作回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差答案ACD解析对于A，由于A⊆B，即A发生必定有B发生，根据条件概率的定义知P(B|A)＝1，正确；对于B，根据正态分布密度函数的性质知，P(ξ≥4)＝1－P(ξ＜4)＝0.16，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16，P(0＜ξ＜4)＝1－0.16×2＝0.68，P(2＜ξ＜4)＝eq\f(P0＜ξ＜4,2)＝0.34，错误；对于C，根据样本相关系数的性质知，|r|越接近1，表示线性相关程度越强，正确；对于D，残差点分布的带状区域越宽说明线性回归时的误差越大，即回归效果越差，正确．10.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A．函数y＝f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))上单调递减B．函数y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19π,12)，0))中心对称C．将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度得到函数g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象D．若f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，a))上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－A，\r(3)))，则实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13π,12)，\f(3π,2)))答案AD解析由图象可得A＝2，且eq\f(3,4)T＝eq\f(7π,12)＋eq\f(π,6)＝eq\f(3π,4)，故T＝π，即ω＝2，而2×eq\f(7π,12)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，故φ＝－eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，故φ＝－eq\f(2π,3)，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))).对于A，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))时，－eq\f(3π,2)≤2x－eq\f(2π,3)≤－eq\f(π,2)，而函数y＝sint在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－\f(π,2)))上单调递减，故函数y＝f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))上单调递减，故A正确；对于B，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19π,6)－\f(2π,3)))＝2，故直线x＝eq\f(19π,12)为函数图象的对称轴，故B错误；对于C，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度得到函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－\f(2π,3)))＝2sin2x的图象，故C错误；对于D，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，a))时，eq\f(2π,3)≤2x－eq\f(2π,3)≤2a－eq\f(2π,3)，因为函数的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\r(3)))，故eq\f(3π,2)≤2a－eq\f(2π,3)≤eq\f(7π,3)，故eq\f(13π,12)≤a≤eq\f(3π,2)，故D正确．11．(2023·长沙模拟)素描几何体是素描初学者学习绘画的必学课程，是复杂形体最基本的组成部分和表现方式，因此学习素描几何体是美术入门最重要的一步．素描几何体包括：柱体、锥体、球体以及它们的组合体和穿插体．其中，十字穿插体是由两个相同的长方体相互从中部贯穿而形成的几何体，也可以看作四个相同的几何体(记为Γ)拼接而成，体现了数学的对称美．已知在如图所示的十字穿插体中，AB＝BC＝2，CC1＝4eq\r(2)，下列说法正确的是()A．ED1⊥平面EMNB．PE与B1D1所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)C．平面EMN截该十字穿插体的外接球的截面面积为9πD．几何体Γ的体积为eq\f(20\r(2),3)答案ACD解析对于A，连接B1D1，D1N，D1E，如图，由AB＝BC＝2，CC1＝4eq\r(2)可知，P，Q，M，N均为棱上的四等分点，E，F为棱上的中点，因为AB＝BC＝2，CC1＝4eq\r(2)，所以B1D1＝2eq\r(2)，B1E＝2eq\r(2)，A1N＝3eq\r(2)，所以ED1＝4，EN＝eq\r(6)，D1N＝eq\r(22)，所以D1N2＝EDeq\o\al(2,1)＋EN2，故ED1⊥EN，同理可得ED1⊥EM，又EN∩EM＝E，EN，EM⊂平面EMN，所以ED1⊥平面EMN，故A正确；对于B，连接EF，则PE与B1D1所成的角即为PE与EF所成的角，在△PEF中，PE＝PF＝eq\r(6)，EF＝2eq\r(2)，△PEF为等腰三角形，所以PE与EF所成角的余弦值为eq\f(\f(1,2)EF,PE)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，故B错误；对于C，该十字穿插体的外接球球心即为长方体ABCD－A1B1C1D1的中心O，半径R＝eq\f(1,2)eq\r(22＋22＋4\r(2)2)＝eq\r(10)，球心O到平面EMN的距离d，即为球心O到长方体侧面的距离，所以d＝1，所以截面圆的半径r＝eq\r(R2－d2)＝3，所以截面面积为9π，故C正确；对于D，几何体Γ可取为EQFP－A1B1C1D1，设其体积为x，V三棱锥P－EFN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2×2＝eq\f(4\r(2),3)，则2x＋2V三棱锥P－EFN＝＝16eq\r(2)，所以x＝eq\f(20\r(2),3)，故D正确．12．(2023·江苏镇江中学模拟)e是自然对数的底数，m，n∈R，n>0，已知mem＋lnn>nlnn＋m，则下列结论一定正确的是()A．若m>0，则m－n>0B．若m>0，则em－n>0C．若m<0，则m＋lnn<0D．若m<0，则em＋n>2答案BC解析原式变形为mem－m>nlnn－lnn，构造函数f(x)＝xex－x，则f(m)>f(lnn)，∵f′(x)＝ex(x＋1)－1，当x>0时，ex>1，x＋1>1，则ex(x＋1)>1，即f′(x)＝ex(x＋1)－1>0；当x<0时，0<ex<1，x＋1<1，则ex(x＋1)<1，即f′(x)＝ex(x＋1)－1<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对于A，取m＝n＝e，则lnn＝1<m.∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(m)>f(lnn)，即m＝n＝e满足题意，但m－n＝0，A错误；对于B，若m>0，则有：当lnn≤0，即0<n≤1时，则em>1≥n，即em－n>0；当lnn>0，即n>1时，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(m)>f(lnn)，故m>lnn，则em－n>0.综上所述，em－n>0，B正确；对于C，若m<0，则有：当lnn≤0，即0<n≤1时，m＋lnn<0显然成立；当lnn>0，即n>1时，令h(x)＝f(x)－f(－x)＝x(ex＋e－x－2)，∵ex＋e－x－2≥2eq\r(ex·e－x)－2＝0，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时等号成立，∴当x<0时，h(x)<0，即f(x)<f(－x)，由m<0可得f(m)<f(－m)，即f(lnn)<f(－m)．又∵由f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且lnn>0，－m>0，∴lnn<－m，即m＋lnn<0.综上所述，m＋lnn<0，C正确；对于D，取m＝－2，n＝eq\f(1,e)，则lnn＝－1>m，∵f(x)在(－∞，0)上单调递减，故f(m)>f(lnn)，∴m＝－2，n＝eq\f(1,e)满足题意，但em＋n＝eq\f(1,e2)＋eq\f(1,e)<2，D错误．三、填空题13．(2023·温州模拟)e1，e2是平面内两个不共线的向量，且a＝e1＋ke2，b＝4ke1＋e2，若a∥b，则实数k＝________.答案±eq\f(1,2)解析因为a∥b，所以∃λ∈R，使得a＝λb成立，即e1＋ke2＝4kλe1＋λe2.因为e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝4kλ，,k＝λ，))解得k＝±eq\f(1,2).14．若函数f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)为奇函数，则k＝________.答案±1解析因为函数f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)为奇函数，所以由f(x)＝－f(－x)可得，eq\f(k－2x,1＋k·2x)＝－eq\f(k－2－x,1＋k·2－x)＝eq\f(1－k·2x,2x＋k)，即k2－22x＝1－k2·22x，整理得(k2－1)(1＋22x)＝0，解得k＝±1，经检验，当f(x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)或f(x)＝eq\f(－1－2x,1－2x)时，满足f(x)＝－f(－x)．15．(2023·烟台模拟)某高中为调查本校1800名学生周末玩游戏的时长，设计了如下的问卷调查方式：在一个袋子中装有3个质地和大小均相同的小球，其中1个白球，2个红球，规定每名学生从袋子中有放回地随机摸两次球，每次摸出一个球，记下颜色．若“两次摸到球的颜色相同”，则回答问题一：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；若“两次摸到的球颜色不同”，则回答问题二：若玩游戏时长不超过一个小时，则在问卷中画“○”，否则画“×”．当全校学生完成问卷调查后，统计画“○”和画“×”的比例，由频率估计概率，即可估计出玩游戏时长超过一个小时的人数．若该校高一一班有45名学生，用X表示回答问题一的人数，则X的均值为________；若该校的所有调查问卷中，画“○”和画“×”的比例为7∶2，则可估计该校学生玩游戏时长超过一个小时的人数为________．答案25450解析依题意，每次摸到白球的概率为eq\f(1,3)，摸到红球的概率为eq\f(2,3)，两次摸到的球颜色相同的概率P＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(5,9)，于是回答问题一的人数X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(45，\f(5,9)))，所以X的均值E(X)＝45×eq\f(5,9)＝25；用A表示“回答问题一”，B表示“回答问题二”，C表示“在问卷中画×”，则有P(A)＝eq\f(5,9)，P(B)＝1－P(A)＝eq\f(4,9)，P(A)P(C|A)＝P(AC)＝eq\f