2025年仁爱科普版高一数学上册阶段测试试卷VIP

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高一数学上册阶段测试试卷541考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知向量=（2，1）=（3，-1）向量与的夹角为θ；则θ=（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

2、函数y=sinx+cos2x的值域是（）

A.[-1，]

B.[-1；1]

C.[1，]

D.（-∞，]

3、△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则=（）

A.

B.

C.

D.

4、【题文】设甲：函数的值域为乙：函数有四个单调区间，那么甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5、函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为（）A.1B.2C.3D.46、设S是的面积，A,B,C的对边分别为a,b,c，且则（）A.是钝角三角形B.是锐角三角形C.可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形D.无法判断7、函数f（x）=3sin（2x-）的图象的一条对称轴是（）A.B.C.D.8、已知函数图象上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则•=（）A.B.C.D.9、设角娄脕=鈭�356娄脨,脭貌2sin(娄脨+娄脕)cos(娄脨鈭�娄脕)鈭�cos(娄脨+娄脕)1+sin2伪+sin(蟺鈭�伪)鈭�cos2(蟺+伪)

的值等于(

)

A.33

B.鈭�33

C.3

D.鈭�3

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、若三直线x+y+1=0，2x-y+8=0和ax+3y-5=0相互的交点数不超过2，则所有满足条件的a组成的集合为____．11、若关于的不等式的解集为其中则关于的不等式的解集为____________.12、若f（x）=则f（-1）的值为____．13、【题文】如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4,M为BD1的中点,N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,则MN的长为____.

14、【题文】如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB；

PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．

15、已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=A+C=2B，则sinC=____．16、已知f（2x+1）=x2-2x，则f（3）=______．17、函数y=x2+2（x∈R）的最小值是______．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)18、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．19、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．20、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．21、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．22、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．23、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、综合题(共3题，共24分)24、已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧）；且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系；并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？25、已知点A（-2，0），点B（0，2），点C在第二、四象限坐标轴夹角平分线上，∠BAC=60°，那么点C的坐标为____．26、如图；Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．

（1）求证：△BPM∽△BAC；

（2）求y与x的函数关系式；并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；

（3）当点P从点C向点B移动时；是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x；y的值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】

=2×3+1×（-1）=5，||=||=

cosθ===

所以θ=45°；

故选B．

【解析】【答案】利用向量的夹角公式可求得θ．

2、A【分析】

y=sinx+cos2x=sinx+1-sin2x=-（sinx-）2+

∵sinx∈[-1；1]；

∴sinx=时，ymax=又sinx=-1时，ymin=-1；

∴函数的值域为[-1，]．

故选A

【解析】【答案】把函数解析式的第二项利用同角三角函数间的基本关系sin2x+cos2x=1化简；得到y关于sinx的二次函数，利用完全平方公式配方后，根据正弦的值域求出sinx的范围，利用二次函数的性质可得出函数的最大值及最小值，进而确定出函数的值域．

3、D【分析】

如下图所示：

△ABC中；点D；E、F分别为AB、BC、CA的中点。

则

=-

=（-）

===．

故选D．

【解析】【答案】本题考查的知识点是向量的减法及其几何意义，由D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，我们易得==然后根据图形分析答案中的四个变量，易求出与相等的向量；即可求出答案．

4、B【分析】【解析】

试题分析：函数的值域为意味着能取到的实数值，所以函数有四个单调区间，意味着有两个不同零点，所以故甲是乙的必要不充分条件，选B。

考点：本题主要考查充要条件的概念；对数函数的值域，二次函数的单调性。

点评：典型题，充要条件的判断问题，已是高考考查的保留题型之一，往往具有一定的综合性。充要条件的判断有：定义法、等价关系法、集合关系法。【解析】【答案】B．5、B【分析】【解答】把零点转化为方程的根来求，由可得作函数与函数根据图像的交点个数可知答案选B.

6、A【分析】【解答】整理为

当时结合的单调性可知当

时三角形是钝角三角形。

【分析】要判定三角形形状一般寻找三边之间的关系或判定内角的大小范围，其间常借助于正余弦定理或三角形面积公式7、B【分析】解：对于函数的图象，令2x-=kπ+k∈Z，求得x=+

故它的图象的一条对称轴是x=

故选：B．

由条件利用正弦函数的图象的对称性；得出结论．

本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．【解析】【答案】B8、D【分析】解：由三角函数公式化简可得f（x）=sinxcosx-sinxsinx

=sin2x-（1-cos2x）=sin2x+cos2x-

=sin（2x+）-令2x+=可得x=

可取一个最低点A（-）；

同理可得B（），C（）；

∴=（-2），=（2）；

∴•=-+4；

故选：D．

由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+）-结合图象可得A；B、C的坐标，可得向量的坐标，计算可得．

本题考查三角函数恒等变换，涉及图象的性质和向量的数量积的运算，属基础题．【解析】【答案】D9、C【分析】解：因为娄脕=鈭�356娄脨

则2sin(娄脨+娄脕)cos(娄脨鈭�娄脕)鈭�cos(娄脨+娄脕)1+sin2伪+sin(蟺鈭�伪)鈭�cos2(蟺+伪)

=2sin娄脕cos娄脕+cos娄脕1+sin伪鈭�cos2伪=sin2娄脕+cos娄脕1+sin伪鈭�cos2伪

=鈭�sin353娄脨+cos356娄脨1鈭�sin356娄脨鈭�cos353娄脨

=鈭�sin(12娄脨鈭�13娄脨)+cos(6娄脨鈭�16娄脨)1鈭�sin(6娄脨鈭�16娄脨)鈭�cos(12娄脨鈭�13娄脨)

=sin娄脨3+cos娄脨61+sin娄脨6鈭�cos娄脨3=3

．

故选C

先把所求的式子利用诱导公式化简后；将娄脕

的值代入，然后再利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简后，即可求出值．

此题考查学生灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道综合题．【解析】C

二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】

由得

所以直线x+y+1=0与2x-y+8=0的交点为（-3；2）；

若直线ax+3y-5=0过（-3，2），则-3a+6-5=0，解得

由ax+3y-5=0过定点（0，）；

若ax+3y-5=0与x+y+1=0平行，得a=3；

若ax+3y-5=0与2x-y+8=0平行，得a=-6．

所以满足条件的a组成的集合为{}．

故答案为{}．

【解析】【答案】首先解出直线x+y+1=0与2x-y+8=0的交点；代入ax+3y-5=0求解a的值；然后由ax+3y-5=0分别和已知直线平行求解a的值．

11、略

【分析】本试题主要考查了一元二次不等式的解集和根与系数的关系得到a,b,c关系式进而求解。因为关于的不等式的解集为其中那么由韦达定理可知可知a<0,c>0，因此可知关于的不等式的解集因此可知为答案为解决该试题的关键是根据韦达定理得到结论。【解析】【答案】12、略

【分析】

由题得：f（-1）=f（2）=f（5）=f（8）；

∵8≥6

∴f（8）=log28=3；

∴f（-1）=f（8）=3．

故答案为：3．

【解析】【答案】本题考查的分段函数的函数值；由函数解析式，我们可以得到f（-1）=f（2）=f（5）=f（8）；再结合8≥6代入第二段的解析式即可求出结论．

13、略

【分析】【解析】

试题分析：取的中点连接则面所以⊥在中，

考点：1、线面垂直的性质；2、勾股定理.【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】平行15、1【分析】【解答】解：由A+C=2B及A+B+C=180°知；B=60°；

由正弦定理知，

即

由a＜b知；A＜B=60°，则A=30°，C=180°﹣A﹣B=90°；

于是sinC=sin90°=1．

故答案为：1．

【分析】先根据A+C=2B及A+B+C=180°求出B的值，再由正弦定理求得sinA的值，再由边的关系可确定A的值，从而可得到C的值确定最后答案．16、略

【分析】解：【方法一】∵f（2x+1）=x2-2x；

设2x+1=t，则x=

∴f（t）=-2×=t2-t+

∴f（3）=×32-×3+=-1．

【方法二】∵f（2x+1）=x2-2x；

令2x+1=3；解得x=1；

∴f（3）=12-2×1=-1．

故答案为：-1．

【方法一】利用换元法求出f（x）的解析式；再计算f（3）的值．

【方法二】根据题意；令2x+1=3，求出x=1，再计算f（3）的值．

本题考查了求函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．【解析】-117、略

【分析】解：函数y=x2+2（x∈R）的图象是开口朝上；且以y轴为对称轴的抛物线；

当x=0时；函数取最小值2；

故答案为：2

函数y=x2+2（x∈R）的图象是开口朝上；且以y轴为对称轴的抛物线，当x=0时，函数取最小值．

本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．【解析】2三、证明题(共6题，共12分)18、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．19、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．20、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．21、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．22、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．23、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、综合题(共3题，共24分)24、略

【分析】【分析】（1）设二次函数的解析式是y=ax2；把A（-4，4）代入求出a代入一次函数求出k，即可得到答案；

（2）求出B；O的坐标；求出OA和O到直线y=-1的距离即可得出答案；

（3）作MN的垂直平分线，△FMN外接圆的圆心O在直线上，求出MN、DN，根据勾股定理求出O'F=O'N的圆心坐标的纵坐标Y，求出y取何值时r最小，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）设二次函数的解析式是y=ax2（a≠0）；

把A（-4；4）代入得：4=16a；

a=；

∴y=x2；

把A（-4；4）代入y=kx+1得：4=-4k+1；

∴k=-；

∴y=-x+1；

答：一次函数与二次函数的解析式分别为y=-x+1，y=x2．

（2）答：以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系是相切．

证明：得：，；

∴B（1，）；

AB的中点O的坐标是（-，）；

OA==；

O到直线y=-1的距离是+1==0B；

∴以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系是相切．

（3）解：作MN的垂直平分线；△FMN外接圆的圆心O在直线上；

由于平移后的抛物线对称轴为x=2；对称轴交x轴于D；

F（0，1）平移后二次函数的解析式是y=（x-2）2-t，即y=x2-x+1-t；

当y=0时，x2-x+1-t=0；

设M（e；0），N（f，0），N在M的右边；

则e+f=-=4，e•f==4-4t；

∴MN=f-e==4；

MD=2；

设圆心坐标（2；y），根据OF=ON；

∴=；

y=-2t；

r==；

当t=时；半径有最小值2，圆面积最小为4π；

答：当t为时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是4π．25、略

【分析】【分析】首先根据等腰三角形的性质得出CO垂直平分AB，进而求出△ABC是等边三角形，再利用勾股定理求出C到x轴的距离，即可得出C点坐标，同理可