2024高考数学一轮复习专练49双曲线含解析文新人教版

PAGE专练49双曲线命题范围：双曲线的定义、标准方程与简洁的几何性质[基础强化]一、选择题1．平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)距离差的肯定值等于8的动点P的轨迹方程为()A.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝12．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为()A．19B．26C．43D．503．[2024·浙江卷]渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.eq\f(\r(2),2)B．1C.eq\r(2)D．24．若a>1，则双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(eq\r(2)，＋∞)B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2))D．(1,2)5．[2024·黄冈市高三测试]若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,4)，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(4\r(15),15)xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(15),4)xD．y＝±eq\f(\r(3),3)x6．[2024·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A．4B．8C．16D．327．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(2)，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.eq\r(2)B．2C.eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)8．[2024·湖南张家界高三测试]双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其渐近线与圆(x－a)2＋y2＝eq\f(3,4)相切，则该双曲线的方程为()A．x2－eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝19．[2024·全国卷Ⅰ]设F1，F2是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A.eq\f(7,2)B．3C.eq\f(5,2)D．2二、填空题10．双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上一点M到其中一个焦点的距离为7，则点M到另一个焦点的距离为________．11．[2024·全国卷Ⅲ]设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝eq\r(2)x，则C的离心率为________．12．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝________.[实力提升]13．[2024·黄冈中学高三测试]已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为()A．x±eq\r(2)y＝0B.eq\r(2)x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝014．[2024·全国卷Ⅰ]双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin40°B．2cos40°C.eq\f(1,sin50°)D.eq\f(1,cos50°)15．[2024·河南郑州一中高三测试]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则该双曲线的方程为________________________．16．[2024·长沙一中高三测试]若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上存在一点P满意以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是________．专练49双曲线1．D由题意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦点落在x轴上，∴其双曲线方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.2．Bx2－y2＝9可化为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,9)＝1，∴a＝3，由双曲线的定义知|PF2|＝2a＋|PF1|，|QF2|＝2a＋|QF∴△F2PQ的周长L＝|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PQ|＋2a＋|PF1|＋2a＋|QF＝2|PQ|＋4a3．C本题考查双曲线的渐近线、离心率；考查学生的运算求解的实力；体现了数学运算的核心素养．∵渐近线方程为y＝±x，∴a＝b，∴c＝eq\r(2)a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，故选C.4．C∵c2＝a2＋1，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2)，又a2>1，∴0<eq\f(1,a2)<1，∴1<1＋eq\f(1,a2)<2，∴1<e<eq\r(2).5．C∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，不妨设a＝4，c＝1，则b＝eq\r(15)，∴对应双曲线的渐近线方程为：y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(15),4)x，选C.6．B直线x＝a与双曲线的两条渐近线y＝±eq\f(b,a)x分别交于D、E两点，则|DE|＝|yD－yE|＝2b，所以S△ODE＝eq\f(1,2)·a·2b＝ab，即ab＝8.所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时取等号)，即cmin＝4，所以双曲线的焦距2c7．D∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，eq\f(a2＋b2,a2)＝2，∴b＝a，∴C的渐近线方程为y＝±x，∴点(4,0)到C的渐近线的距离为eq\f(|4|,\r(2))＝2eq\r(2).8．A由题意得到e＝eq\f(c,a)＝2，∴b＝eq\r(3)a，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.渐近线与圆(x－a)2＋y2＝eq\f(3,4)相切，∴eq\f(|\r(3)a|,2)＝eq\f(\r(3),2)，又a>0，∴a＝1，b＝eq\r(3).则双曲线方程为：x2－eq\f(y2,3)＝1.故答案为A.9．B解法一由题易知a＝1，b＝eq\r(3)，∴c＝2，又∵|OP|＝2，∴△PF1F2易知||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(16－4,2)＝6，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝3，故选B.解法二不妨设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝4，,x\o\al(2,0)－\f(y\o\al(2,0),3)＝1，))解得y0＝eq\f(3,2)，又|F1F2|＝4，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)×4×eq\f(3,2)＝3，故选B.10．13解析：由题意，a2＝9，所以a＝3.设点M到另一个焦点的距离为d，由双曲线的定义知，|7－d|＝2a＝2×3＝6，所以d＝1(舍)或d＝13.即点M11.eq\r(3)解析：∵双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝eq\r(2)x，∴eq\f(b,a)＝eq\r(2)，∴双曲线C的离心率为eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(3).12．1解析：由双曲线方程知b2＝3，从而c2＝a2＋3.又e＝2，因此e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋3,a2))＝2.又a>0，得a＝1.13．Aa>b>0，椭圆C1的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，C1的离心率为eq\f(\r(a2－b2),a)，双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C2的离心率为eq\f(\r(a2＋b2),a).∵C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(a2－b2),a)·eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(3),2).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＝eq\f(1,2)，eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，则C2的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，即x±eq\r(2)y＝0，故选A.14．D本题主要考查双曲线的性质，同角三角函数的基本关系式及诱导公式；考查考生的运算求解实力和逻辑思维实力；考查的核心素养是数学运算．由双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)可知渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由题意知－eq\f(b,a)＝tan130°，又tan130°＝－tan50°，∴eq\f(b,a)＝tan50°，∴双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋tan250°)＝eq\r(1＋\f(sin250°,cos250°))＝eq\r(\f(1,cos250°))＝eq\f(1,cos50°)，故选D.15.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1解析：由双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点坐标为(4,0)，可得c＝4，即有a2＋b2＝c2＝16，由双曲线的两条渐近线相互垂直，即直线y＝eq\f(b,a)x和直线y＝－eq\f(b,a)x垂直，可得a＝b，则a＝b＝2eq\r(2)，则该双曲线的方程为eq\f(x2,8