2023高考数学常考必考题型清单-新高考-试题答案解析

2023年高考数学常考必考题型总结

第一章集合&逻辑&不等式&复数&向量

例1：

解析：(1)解法1：常规解法

全集U=f-3f-2,-1,0,1,2,3},集合Z={T,0,1,2},B={-3,0,2,3}

则h〃={—2,-1,1},：.ACiCLB={-\,1},故选C.

解法2：交补排除法

;要求的是4n(口⑻，・,•要求的集合里的元素不能含有B集合中的元素，故排除ABD,故选c.

(2)集合力={xF—3x—4V0}=(-1,4),4={-4,1,3,5},则4例=(1,3},故选D.

例2:

解析：(I)集合尸={m<x<4}，Q={x\2<x<3］，则PClQ={x|2vxv31.故选B.

1234

，，金N*,,8={(x,y)W+『=8}

(2)・・•集合/={(x,y)|x,

X,『£N，}={(1,7),(2,6),(3'

ADB={(x.叫x+y,5),(4,4)}.

・・・ACIB中元素的个数为4.故选C.

例3:

解析：(1)・・・3£/，且4G8,・・・3£8,・・・〃=3,故答案为3.

(2)由题意知集合力={x|x＞1](真数位置x—1＞。)・

集合8={xb21}(根号底下的数大于等于零).所以/JB,故选B.

例4:

解析：(1)由标＞〃，解得“V。或。＞1•

根据集合判别法可得7＞1”是“标的充分不必要条件故选工

(2)当〃=2〃，为偶数时，a=2nn+fi,此时sina=sin(2〃7t+/?)=sin/?,

当A=2〃+1,为奇数时，a=2nn-\-n-fl,此时sina=sin6—/?)=sin/?,即充分性成立

当sina=sin/Z,则a=2nn-\-tnGZ或a=2nn-\-n—p,〃WZ,

即a=A江+(-1)7,即必要性成立,则“存在使得〃=A7T+(T)*/T

是“sin”=sin。”的充要条件，故选C.

例5:

北大博士邱崇

/1、2—i_(2-i)(1-2i)_-5i__.、/n

解fiw析fc：(1)0近一(l+2i)(l-2i)-1+4-,故4fr选D・

(2)(l+2i)(2+i)=2+i+4i+2i?=5i,故选B.

(3)由z(T+i)=l-i.得z=|^|=(iSgE—i)=.i，・・・z=i.故选D.

例6:

解析：(1)口诀法：因为复数岩在复平面内对应的点位于实轴上，

1—i

所以中为实数，根据实虚虚实差为0得，〃=T故选C.

(2)Vz=-3+2i,Az=-3-2i,，在复平面内;对应的点为(-3,—2),在第三象限.故选C.

⑴:氐=(1，芾+3i)=A+小，J虚部为小故选江

(4)解法1:常规解法复数入，V满足方|=同=2,zi+zz=，5+i.

所以岛+的|=2，二%+Zz|2=(q+z-)•4+心=4,，8+%?2+ZiZz=4t得+ZiZz--4.

，|ZI-Z2/=8-ZIZ2-2遥2=12.又％一0|＞。.故。一乙|=2"工故答案为

解法2：画图法结合题意，复数转化成向量画出符合的图象如右：

设；=益，V=■君则△力“和△力。为等边三角形,C’0^7、，

，ZABC=30°.ABC=2ABcos300=2X2X率=2退.\/

AB

例7:

解析：..3=!+2/24,•••门(表)二,

239

当且仅当x=?,7=4时等号成立故答案为：和

例8:

解析(积为定值)：设-=。，V=b,原题转化为5岫+加=1,求a+b的最小值•

由5帅+〃=1,可得〃=与5，由〃20，可得b£(0,1],

।八1一从一1+4/1(।1、、1,二I4

则nil〃+b=*+6=^^=M(4b+万齐耳.244b.万=可.

134

当且仅当入=『=5,〃="2=而，可得一+/的最小值为于

北大博士邱崇

解析（和为定值）：4=（5/+jr2）-4y2=（5a+6）,4b0.|：4b）=与.（〃+彷2,

4

故/十/=“十〃2_当且仅当5“十。=46=2,

114

即『=,一=磊时取得等号，可得1+/的最小值为W.

/1un

例9:

解：①已知。＞0,力＞。，且。+方=1,所以（〃+力）202/+2肥，则/+》2：，故A正确.

②利用分析法：要证，只须证明即可，即。＞办一1,由于〃＞。，b＞0,且

“+b=l,所以。＞0,A-l＜0,故B正确.

③log2。+logzb=log.MWlog.（“r）=-2f故c错误.

④由于。＞0,人＞0,且。+b=1.利用分析法：要证V?+5W口成立,只须对关系式

进行平方.整理得。+6+2，^02■即,故新石&；=罕，当且仅当Q=b=；

时，等号成立.故D正确.

故选：ABD.

例10:

解：设力>0,。一於=1,则〃=1+",所以>=(1+〃)2,1=.

1,a21।(1+从尸/1(1+6)2

则nil工+拓=TTP+8b2对中

8b

11/.■不+b2y-T•b[

由于力＞0,所以费一—=彳，（当且仅当6=1时，等号成立）

1=(1+1)・

当力=1时,1+6--^

所以:一卷的最小值为2义；=1•故答案为：1・

UoDL

例11:

北大博士邱崇

解：x＞。，y＞Q,x+2y=5,

则（x+1疹+1）=2孙+二2注1=学学=2西+

\xyy/xyyxyyxy

由基本不等式有：2G+-y=22%商=处.

\xyVVxy

当且仅当2，句=合时，即.p=3.x+2j，=5时,即｛；］:或［丫=3

时等号成立，故a1产0的最小值为4遍.故答案为：

yxy

例12:

解析：因为0＞0,力＞0,且帅=1,

8ab.ab,88a+力.8Ia+b8

典忌+£+-------=—H------+---------J-+干玛丁=4

。+力2B2ba-\-ba+b■+〃

当且仅当空=击.即〃=2+，5J=2或.=2—6.5=2+，§

取等号，故答案为：4.

例13:

解析：

因为〃，力£R,且〃-3〃+6=0,可得：a-3b=-6.

则2。+城=2"+2*22厅＞=2厅节=；,当且仅当2"=23，即a=-3,〃=1时取等号.

因此所求函数的最小值为:-故答案为：；.

例14:

北大博士邱崇

证明（常规解法）；

由题意可得，。10824+6=1即2°+6=1,a>0,b>0,

心、

则*a-\-2b=万1+.12=/（I石+।i）（2a+।b）=万la+."2b+.5.2九

当且仅当得=?且2〃+〃=1即°=6=：时取等号，故选：D.

证明（倒数二元和最值法）：

由题意可得，。1罐24+6=1即2。+6=1,此时〃=1,a>0,力>0,

则=1+；的最小值为"（•+西）・=；x（"?l+，BH）2=9.

当且仅当系=?且2〃+b=l即。=8=：时取等号，故选：D.

例15:

24

解析：据题意.a=------,设，=3+fxG（l,5）,根据对勾函数的性质八加=4.

x+：X

［

且当x=5时，x+?4=w29,故好［4,御29\・且当蚱［4.康29时\,■为，的单调增函数.

故“的取值范围是:。・一工、

例16:

解析：解法1：常规解法：

⑴在中,。是力“边上的中点,则方=CD+~DB

=而+而=丽+（AC+CD）=2CD-3.故选C.

解法2：特殊图形法：

设△力3C是以NC为直角的等腰直角三角形，且直角边长为2.

如图建立平面直角坐标系，则42,0）,5（0,2）,C（0,0）・

所以。点坐标为（1,1）,所以3=（0,2）,

将ABCD四个选项代入计算，只有C选项得（0,2）,故选C

（2）解法1：常规解法：

在△/BC中，/。为8c边上的中线，E为，。的中点，

丽=凝一石=方_=凝一:X；（族+AC）

二,故选A,

北大博士邱崇

解法2：特殊图形法：

设△力8c是以//为直角的等腰直角三角形，且直角边长为4.

如图建立平面直角坐标系,则月(0,0),6(4,0),C(0,4),

所以0(2,2),故E(1,1),

所以前=(3.-1),石=(4,0).元=(0,4),

将力"CD四个选项代入计算，只有A选项得(3,-1),故选A.

解法3：画图法(看谁长的像就选谁)：

在△/8C中，画出A,B,C,D四个选项中的向量，只有A选项和

方向量像，故选A.

例17:

解析：(1)・♦•向量；=(1,2),1=(2,-2),・・・2；+%=(4,2),・乂=(1,/),

c//(2a+%・・・；=/解得2=；.故答案为

(2)解法1:常规解法：,・•向量，;，1为单位向量，且：，办的夹角为45。，

\/2V2—

•・〃•b=\a\-|A|cos45°=1X1X—^―=—r-，又ka—〃与。垂直，

=¥•故答案为空・

••[ka—b)•a=—a.b=0.即Ze—=0g则〃

解法2：画图法：画出符合题干条件的图如图，因为山=1

之，1的夹角为45°,解图中的直角三角形可得"=空.1211-

a

(3)解法1:常规解法：单位向量日|=向=1,>%=1X1X360。=：・

对于A,G+2»d=H+2^=：—2号,所以(：+29与标垂直；

对于B,]2：+了)j=2：力+/=2乂：+1=2,所以(2：+%)与际垂直；

对于C,[a-2b)h=ab-2b=彳-2=-1,所以(a—25)与〃不垂直；

对于D,(21今•j=2；j_/=2xgT=0，所以(2【0与X垂直.故选D.

北大博士邱崇

解析：(1)解法1:常规解法

由L右为单位向量，且日+了|=1,\a+b\2=\，可得；2+2〉］+尸=1,

1+2〃b+1=1,所以2〃♦力=-1.贝(||〃一=V■?—2,•5+6=

故答案为小・

解法2：画图法

因为7・%为单位向量,且日+小=1.画出符合的图象如图：

则△480为等边三角形,故可得N/l5c=30".

在△NEC中.8c=2/5cos300=故答案为，5.

(2)向量：，工满足而1=5，面=6,4•力=-6.可得a+b\=y/2_2*T)b

/----------------6―a•(a+b)]25—619

=,25—12+36=7.cos<〃・a+b>=~—=—=g=兹・

\a\\a+b\5X75vX7735

故选D.

例19:

解析：坐标法

如图，以力为坐标原点建立平面直角坐标系，

据题意可得，工(0,0),5(2,0),P(x”，),-l<x<3・

--►A>--►

则4>=(x,y),AB=(2,0).所以"5=2x.

故万•行的范围是(-2,6),故选A.

例20:

解析：解法1:等和线法

如图,连接BO.找到1倍线所在的位置,作的平行线.

当与圆在另一«点E相切时.入+〃的值最大.

因为BO与圆。相切,所以过点E的直线恰好是3倍线.

故选A.

1倍线

北大博士邱崇

解法2：坐标法

如图，以力为原点,以48,4。所在的直线为x,『轴建立如图所示的坐标系，

则力(0，0),8(1,0),0(0,2),C(1,2),

故动点P在以点。为圆心且与△。相切的圆上，设圆的半径为广・・・・“。=2,CD=1.

/.BD=v/22+l2=y/5.：.^BCCD=^BDr,：.r=.

4

••・圆的方程为(*-1)2+3—2)2=耳.I，

设点〃的坐标为管cos0+l・竽痴0+2).Z'

・・,善而+〃而，・・・(苧cosJ+1,苧sin0+2)~।/

=2(1,0)+〃(O,2)=("2〃)，

:}ycosG+i=。.7弋sin8+2=2〃,I

；・2+〃=2§5cos®H—^sin。+2=sin(。+0)+2,N

其中tan根=2,丁一1&sin(。+3)41,；・1W2+〃&3,46X

故2+4的最大值为3，故选A.

例21:

解析：解法1：等和线法c

首先找到1倍线的位置为AC所在的直线•一方/

过点/作BC的平行线/，贝!)/为A倍线所在的位置♦、Z

因为刀二，〃而+—m)元，\

所以〃|+停f)=]=〃，所以|漓=?•因为Wa=9,\i

所以收1=6，心|=3.在RtA/lbC中，cosN4C8=W.故由余弦定理得

32=32+|CD|2-2x3X|CD|x1,解得CD=。或CO=5.故答案为0或专

________________________________________北大博士邱崇

解法2:坐标法如图,以/为坐标原点,分别以力吕,所在

直线为工，y轴建立平面直角坐标系,则6（4,0）,C（0,3）,

由刀=mPB+-/w）左，得刀=m{PA+~AB）+停一（游+%）,

整理得京=-2mAB+（2w-3）^C=-2/«（4,0）+（2/w-3）（0,3）=（-8/〃，6/〃一9）・

由力尸=9,得64〃〃+（6/〃一9尸=81,解得，〃=五或洲=0.

当初=0时，刀=（0,—9）,此时。与〃重合"C0|二O；

当旭=磊时,直线21的方程为尸啜"“,直线"C的方程为a+上1

4no//<■）

Q

联立两直线方程可得,P=3—2〃I.即/）

,・"m=’（蜀+偿-3）2=y.ACO的长度是。或葭.故答案为。或蓝.

例22:

解析：解法1：中点转化式

取MN的中点E,连接OE.

故|指|=g|而冽=",由中点转化式得斯.苏=|笳「一|府「=|加「一；・

所以|赤|取最小时前-苏的值最小,显然时|0为最小,由题意可得此时的|OE|=亭.

故而•苏的最小值为（当号-1=y,故答案为多

解法2：坐标法：以8为原点，以8c为x轴建立如图所示的直角坐标系，

=z5?.：.AD//BC.设。卜..-^-1,

•,•茄=1°-9.。），族=（-.一¥），

・,•刀.标=-5卜0-'）+0=-5,解得X。=1.

,"修-亭）・•・」丽=1,设"，01,则N（x+1,0）,其中00X&5,

21n1?13

=/-4x+彳=（x-2）之+妻，当x=2时取得最小值，最小值为y,故答案为y

_________________________________北大博士邱崇

第二章基本初等函数

例1:

解析：因为〃1。瓯4=2,则log/。=2,则4“=32=9,

则广=:故选B.

例2：

解析：把凡=3.28,7=6代入&=1+”,可得尸=0・38,

0M,

・・・[«)=er当f=0时，7(0)=1f则e°38,=2,

两边取对数得0-38f=ln2.解得，=黑之1.8.故选B.

例3：

解析：函数J=RTj的定义域为实数集R,关于原点对称，函数J=/(x)=R彳-

贝！|/(-幻=--#7=-fM,则函数/(x)为奇函数，故排除c,D.

人I1

解法1：特殊值：又因为/⑴=2>0,故排除B.故选A.

解法2：值域法：当x>0时，P=f(x)>0,故^除B,故选A.

例4：

解析：7=/(x)=xcosx+sinx,则/(-x)=-xcosx—sinx--f(x),

・・・/(x)为奇函数,函数图象关于原点对称，故排除C・D.

当x=九时，P=/(九)=加COST:+sinn=-加<0,故排除B,故选A.

例5：

解析：函数/(X)==-"X)，则函数/“)为奇函数，

IX4X

图象关于原点对称，排除A，当x=1时，/(1)=e—：>。，排除D.

当XT+为时J(X)T+8,排除C,故选B.

例6：

解析：解法1：构造函数采用单调性法

XX

由2*—2F<3*—3"可得2*-3*V2J'-3-"令/(x)=2-XB

则/(x)在R上单调递增，且/U)</(『)，

所以xVy，即J—,由于方一工+1>1,故E(y—x+l)>lnl=0.

解法2：取特殊值法

取x=—l,y=0,满足2“一2」V3r-3"此时加。一工+1)=加2>0,

ln|x-j|=lnl=0,可排除B,C,D选项,故选A.

例7:

解析：Va=log32=log3=Vlog3酉=1B

25=

b=log53=logsi/27>log5^J.

c=-j,*•a<c<从故选A.

例8：

北大博士邱崇

解析：解法1:特殊值法

令X=1,则由已知条件可得3〉=2,夕=2,所以J，=瞿.z=瞿•

111J111，

31n2加2・/ln9.51n2加2・、，

从而3r===rv=2・5rz=-j—z-=>2,

'1In3ln3ln3'ln3ln3'

则3yV2.EV5Z,故选D.

解法2：常规法

x,j,为正数，令2、=于=于=4>1.电4>0.

则.「蚣纳Z=蚯.

丸1Ig2■ylg3'lg5

・2幼_/42、__】g」lg〃

.Igh'Igv^''Igv^

■:涓={/9>^8=^/2,\/2='^32>^25=次.

・•・怛萨>lg^/2>Ig於>0./.3y<2x<5z.故选D.

例9：

解析：解法1：常规法

/(x)=——2x+a(铲T+e"I)=(x—1)2+a(ex-1+e-x+,)—1,

令F=x-1,则p=，+Q(4+e，)一1为偶函数.

图象关于f=0对称，若0有唯一零点，

则根据偶函数的性质可知当，=0时,y=-i+2〃=o.

所以〃•故选C

解法2：幸运数字法

令*=。,得"=。无答案；令工=1,得。=；.故选c

幸运数字法：

只要看到题干特别复杂，尤其是函数形式，只需要从工=0、±1、±2……

往后逐个代入，若是有Mx出现，可代入1或e,遇到和选项一样的就是答案.

例10:

北大博士邱崇

解析：解法1:数形结合法

由g(x)=0得/(外=-x-m.

作出函数/(x)和j，=-x-■的图象如图：

当直线J'=-x一■的截距一。,即。27时.

两个函数的图象都有2个交点,即函数*6)存在2个零点.

故实数■的取值范围是I—1.+8).故选C

解法2：特殊值法+数形结合法V、

令“=0,作出函数/(幻和，=-x的图象如图：

有两个交点满足题意,排除A.D.y

令。=-1,作出函数/(X)和歹=-x+1的图象如图：J5r

有两个交点满足题意,排除B.故选C.I

例11：

解析：解法।：常规解法：V函数/(X)=Inx+ln(2-x)f

:.f[l—x)=In(2—x)+Inxf

即/(x)=/(2—x),即y=/(x)的图象关于直线x=l对称，故选C.

解法2：特殊值法:因为"；)=加；+Ina,/(9)=In9+In；.

所以/(；)=/(»,故排除A,B选项，C对；又因为/吟)+/弓)装0.排除【)选项・故选C.

例12：

解析：解法1：常规解法：由1：、+：：：'得XR土;•又〃-x)=-fM,・・・/(x)为奇函数；

I2x—1=FO,L

由/(x)=ln|2x+11-ln|2x-11=In=ln|Z11•

;处I=\早=1+高=I+不，=I+直.可得内层函数'=I筠的图象如图.

在(・8.一£)上单调递减•在房,当上单调递增，在C,+8)上单调递减.

又对数函数J-加，是定义域内的增函数,由复合函数的单调性可得./(x)在卜8.-目上单调递减•故选口・

解法2：特殊值法/⑴=加|2+1|-ln|2—l|=ln3>0,.

/(-I)=ln|-2+11-ln|-2-11=-In3<0,

故f⑴=~/(-I),奇函数；\

/(-2)=lnf>/(-D,SffiE除ABC故选D.

例13:

北大博士邱崇

解析：解法1:常规法

设XV。，则一x>0,・・・/(-x)=e*—l，:设/(x)为奇函数，・・・-/(x)=e*-lf

即/(x)=-ev十1•故选D.

解法2：特殊值法

二是奇函数，・•・/(一函=-/(l)/(D=e-l,故一/(1)=1一色

代入一1,四个选项分别为：

A选项c—l羊l—e.不符合题意；B选项e+l于l—e,不符合题意；

C选项一e—lWl-e.不符合题意；D选I页-e+1=1—e,符合题意.故选D.

例14:

解析：解法।：常规解法

函数g(x)nnG/fTF—x)满足4(-x)=ln(Vl+A：2+x)

=加,]+炉_工=一111(，1+*2—力)=_屋”)，

所以M(x)是奇函数•函数/(”)—五)+1,/(«)=4.

可得/(G=4=』(+42—■)+1,可得ln(，l+〃2—=3,

则/(F)=-1n(，1+M—.)+1=-3+1=-2.故答案为-2.

解法2：结论法(奇函数+常数)

因为g(x)=ln(，TTP—x)是常见的奇函数.

所以/(x)=In("P—x)+1满足奇函数加常数.

故/(〃)+/(-«)=2,则八-。)=-2,故答案为-2.

结论：常考奇函数：

fM=log.(-v/x2+l±x)

f(X)=log“芒W或f(x)=loga"W

/(x)=a"—。'或/(x)=ax—ax

/(x)=---------og/tx)=x---x-

八/a'_a、R''aa

f(x)=sinx,/(x)=tanx

1・1(x)=奇函数：/(X。)+/(-x0)=0,最大值+最小值=0;

2・f(x)=奇函数+。：/(X。)+/(-x0)=2a,最大值I最小值=2a・

例15:

解析：:函数/(x)为奇函数•若/⑴=T,则/(T)=1,

又:函数/'(X)在(-8,+8)单调递减，-—2)W1,

•••/(I)W/(x—2)W/(T),・•・-l^x-2^1,解得：X£[l,3],故选D・

例16:

________________________________________北大博士邱崇

解析：解法1:数形结合法

•••/（X—1）的图象可由/（X）的图象向右平移一个单位得到，

且/（X）是奇函数，在（-8,0）单调递减，八2）=0.

・••画出/（x—1）的草图如图，要使切'（x-l）20,

/x30.JX40.

即（八-1）20,或j/（xT）W0.

结合图象可得实数x的取值范围是1,0]U[1,3],故选D.

解法2：特殊值法

・・・/（2是奇函数，在（-8,0）单调递减，目/⑵=0,

画出/（x）的大致图象如图.

取x=-3,/（—3—1）=/（-4）＞0,则一3/（—4）＜0,排除B;

取x=4,/（4—1）=/（3）＜0,则4/（3）＜0,排除4C,故选D.

例17:

解析：解法1：常规法

函数/（x）（x£R）满足/（—）=2-fM,即为/（x）+/（-幻=2,可得/（X）关于点（0,1）对称，

函数r=望，即丁=1+工的图象关于点（0,1）对称，即有（必，珀为交点，

即有（f,2—M）也为交点，&,心）为交点,即有（-心，2—心）也为交点，

■

则有£（x，+M）=（X1+J1）+（工2+『2）+...+（Xm+ym）

i=l

=y[（X[+凹）+（-x,+2—J））+（x2+必）+（-x2+2—M）

+...+（xm+jw）+（-xm+2-ym）]=ni,故选B.

解法2：特殊值（函数）法，常取基本初等函数

Y—L-1

据题意可知/（X）关于点（0,1）对称,可取/（x）=x+l则7=望与＞=x+l的交点

分别为(1,2)和(T,0),旭=2.所以£(X,+J，,)=1+2—1+0=2=%故选B.

抽象函数适用模型的初等函数

，(x+F)=/(幻+/(刃正比例函数/（n=Q（A*。）

/(灯)—/(*)/»)或噌)-落

累函数

+力=/(x)/WsV(.vy)=久;;

指数函数八。0"（。＞。，且“广|）

/（•＜＞,）:/（X）+/（「）或/（：,）二/（M）/（J）

对数函数/（*）加器内（。＞0,且。，1）

/(*)u+?

/(*)+/(X)-b

例18：

_________________________________北大博士邱崇

解析:—=/(l+x)，•二函数图象关于x=l对称，

又・・・/(x)是奇函数，二周期7=4(1—0)=4・・・"⑴=2,

・・・/(2)=/(0)=0,/(3)=/(1-2)=/(-I)=-/(1)=-2,/(4)=/(0)=0,

则/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=2+0—2+0=0,

则/⑴+/(2)+/(3)+…+/(50)=12[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(49)+/(50)

=/(1)+/(2)=2+0=2，故选C.

例19：

解析：因为/(x)为奇函数，所以/(0)=冰+“。=0，得。=-1・

函数/(x)=-+〃1"导数7(x)=e'-。e"

若/(X)是R上的增函数，则/(x)的导数/'(x)=e、-ae90在R上恒成立，

变形可得：。We?,恒成立，分析可得。40,即。的取值范围为(-8,0].

故答案为：-1;(-«>,0].

例20：

解析：技巧双括号不等式问题

根据常见奇函数.，(*)=l・(，x・+l-x)是奇函数,

所以这(-v)l=|ln(口中-x)I是偶函数.又因为〃(x)=X2是偶函数，

所以/W=|1・G/^E—x)l+x"是偶函数,故r(|2a|)>/(|a+l|),即|2〃|>|。+1|,

变形可得：十%+igp3a2-2a-l>0,解可得：或”>1,

即■的取值范围为(-8.-1)U(1f+8).故选D.

技巧双括号不等式问题：

1•题干中给定复杂函数解析式(多半为加和，对数函数+指数函数/二次函数

求/5)±/(«)W(2)A的参数问题，

2.原函数具有奇偶性，且至少单侧单调・

例21：

________________________________________北大博士邱崇

解析：由奇函数可得/(0)=0,由/(2—X)=/(x)+/(2).

令x=2可得/(2)=0,则/(2—x)=/(x),/(x)的图象关于直线x=l对称,

所以/(*)是周期为4的周期函数.当x..x2e［0.1］,且.时,

都有‘(?一［(*)>0,所以/(X)在区间［0,1］上单调递增•

根据以上信息可画出函数/(X)的草图如图所示：

，/\h、，/\，.

-8-6\^/4~-2\^/2\^/46\^/8x

选项A,易得八1)十/(力=•••・=/aU17)十J(ZU1力=U,

/(2)=/(4)=••・・=/(2018)=/(2020)=0,

所以/(I)+/(2)+/(3)+-•••+/(2020)=0,A正确•

选项B,直线，=-5是函数J—，(幻图象的一条对称轴，B正确•

选项C,函数L/(x)在卜7,7］上有7个零点，C不正确•

选项D,函数J=/(x)在17,-5］上为减函数,D正确•

故选：ABD.

例22:

K\

解：由已知可得i+e“3sv)=。・95%解得e"―=万，

两边取对数有—0.23(〃-53)=-ln19,解得〃=66,故选C.

例23:

解：把凡=3.28,7=6代入岛=1+”,可得,•=0.38,A/(/)=e038\

当，=0时/(0)=1,则e°如=2,两边取对数得0.38f=加2,解得/=器=1.8.故选B.

例24:

解：由题意,P点初始速度为1。7,故2点的速度也为107.

当尸在靠近4点的三等分点时号10・=10・(3"解得X=10'ln1,

当一在二等分点时：亲，解得

所以经过的时间为］0・(也2—加多卜10・=1,.故选D.

例25：

北大博士邱崇

解：(1)•・\=3・・・利越大，'越小，・》=/(“)是单调递减函数，*>0，

当40金080时,I，最大为85,于是只需令100-13595■解得.\>3.

故道路密度x的取值范围为(3,40).

(2)把犬=80#=50代入i，=/(x)=-A(x-40)+85中，得50=-九•40+85,

lOOx-135­x,0<x<40,

7

解得A-=*.・•・q=以=/(x)=

O7

--(x-40)x+85.V,40wxw80.

o

当0VxV40时，夕单调递增,夕V100X40—135X(g)“X40七4000;

当40W80时，夕是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为x=〒，此时q有最大值,

为［x480

综上，车辆密度4的最大值为下".

■对

答：(1)若交通流量了>95,道路密度x的取值范围是(3,40);(2)车辆密度4的最大值为2号

例26：

皿一、…工45x10010

解：()由袒同，=507_100=丈一2,

(2)设总损失为F，则7=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械和装备费+森林损失费,

y=125tx+100x+60x(500+100。

二125x+100x+30000+

=31450+100(x—2)4-^—y

231450+2^/100-62500=36450.

当且仅当100(x—2)=翌3，即x=27时,j，有最小值36450.

答：(1)，与*的函数关系式是，=其；(2)派27名消防队员前去救火,才能使总损失最少.

X-L

第三章导数

例1:

北大博士邱崇

解：⑴/'(x)=1—gcos2xX2—sinx

241

=—(2sin2x--1)—sin.r+1=—sin2r—sin*+

(2)，(x)=ex(cosx-sinx)+1.

z-\z.zx.x—1.x+1—22

(3)/(x)=lux--------=lux---------——=InxH-----——1

x+1x+1x+1

_12_x?+l

X_X(X+1)2―x(x+l)「

1-4-v

(4)f(x)=x+Iny——=x4-In(14-x)—In(1—x),

故r(x)=i+rk—±x(T)

_2_xB-3

=-(x+l)(x—l)=(x+1)(x—1)・

例2:

解析：广x)=4r-6x2,⑴=4-6=-2・

又.•/,⑴=1—2=-1,.J(x)的图象在点(1JW)处的切线方程为

y-(-1)=-2(x—1),即j，=-2x+1,故选B.

例3：

解析：由9=+xlnx,得./=aex4-lnx+1.

当x=l时，W*=i=〃e+1,因此曲线在点(l,“e)处

的切线方程为P=(〃e+l)(x-l)+ae=(〃e+l)x—l.

根据题意得｛;二;：解得｛■故选D.

例4：

解析：p=Inx+x+1,则了=5+1•设切点为(叫〃)，可得"x=m=1+[.

又切线斜率为2,贝U।+[=2,因此,〃=1,切点坐标为(1,2)・

则切线方程为＞-2=2(x—1),即j，=2筋

例5：

北大博士邱崇

解法一：由S=6得产=3A•由直线/与曲线J=机相切,设切点坐标为,

得切线斜率为-故切线方程为J'-Wo=五方（X—X。）■即N-2-/^>1+xo=O.

又直线/与圆.♦+『=/相切，设切点坐标为（为，凹），则切线方程为MX+>〃一：=。，

檐一谓1-2v^=———I/=晨

即丫+——P-G=°.对比各个系数，得<'■解得《।

%5X1*_1x,=-i

X。一一eI

故切线方程为x—2y+l=0.

解法二：由尸=机得了=念.由直线/与曲线J，=口相切,设切点坐标为

（x。,，^）,得切线斜率为.故切线方程为F—后=五|（x-/）,

即、-2后p+x0=0.又直线/与曲线x・+j・=：相切，则点（0,0）到/的距离

为卓.即=空，解得、。=，故切点为（，，因此切线方程为

3“+4广x.1311D

P=Tx+g,故选D.

解法三：若直线/与一+尸=：相切，则原点到/的距离为容，只有入，D符合；

对于A，将J，=2x+1与J，=联立，得2x—+1=0,此时无解，因此A错；

故选D.

例6：

①求定义域解：。=1时，函数/（"）=--x—2.其定义域为R.

②求导/，（x）=ev-l.

③令导数为。令/<*）=0*—1=0,得工=0

④分区间x-oo0+o