2024-2025学年上海市嘉定一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市嘉定一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线x+y=0与圆C：x2+(y−2)2=8相交于A，BA.26 B.4 C.62.下列不等式：

①|x+1x|≥2；

②x2+2x+1>0；

③|x|+|x−1|≥1；

④xxA.0 B.1 C.2 D.33.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA=3，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，SA⊥面ABC，则球O的表面积为(

)A.4π B.12π C.7π D.8π4.已知点P为椭圆C：x216+y212=1上任意一点，直线l过⊙M：x2+y2−4x+3=0A.[3,35] B.(3,35] C.[2,6] D.(2,6]二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知2∈{2a,a2+a}，则a6.函数f(x)=ln(x7.若复数z满足|z+2i|=1(其中i为虚数单位)，则|z|的最小值为______．8.若命题：“∃x∈R，4x2−2x+m=0”为假命题，则实数m9.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=______．

10.若f(x)=x3−x12，则满足11.无穷数列{an}满足a1=1，3an+1+12.设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=π4，若AB=4，BC=2，则13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=214.直线：y=x+b与曲线：x=1−y2有二个不同的公共点，则15.如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面α与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V′，则V′V的最小值为______．16.数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列{an}：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即a1=a2=1，an+2=三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．

(1)求点D到平面18.(本小题12分)

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4=10．

(1)若S20=590，求数列{an}的通项公式；

(2)19.(本小题12分)

空间四面体ABCD中，已知cos∠ADC=−55，cos∠ACD=45，cos∠ACB=23，AC=10，BC=6．

(1)求CD的长；20.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，长轴长为4，若△PF1F2为正三角形．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点F1，斜率为3的直线与椭圆相交M，N两点，求21.(本小题12分)

已知函数f(x)=m⋅9x−3x+1−m．

(Ⅰ)当m=32时，求f(x)的值域．

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数m的取值范围．

(Ⅲ)若在函数g(x)的定义域内存在x0，使得g(a+x0)+g(a−x0)=2b成立，则称参考答案1.A

2.C

3.C

4.A

5.−2

6.(6,+∞)

7.1

8.(19.8

10.(0,1)

11.−∞

12.613.5,n=1214.(−15.15416.2024

17.解：(1)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，

所以ED⊥平面ADF，且ED=1，

因为F是线段BD的中点，所以S△ADF=12S△ABD=12×2=1，

故三棱锥E−ADF的体积V=13S△ADF×ED=13×1×1=13，

因为E，F分别为线段DD1，BD的中点，所以EF=12BD1=12×23=3，

又因为AE=5，AF=12AC=12×22=2，

所以在△AEF中满足EF2+AF2=AE2，故△AEF为直角三角形，

则S△AEF=12AF×EF=12×2×3=62，设点D到平面AEF的距离为d，

则V=13S△ABF×d=13，解得d=18.解：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，

若a4=10，S20=590，

则a4=a1+3d=10S20=20a1+190d=590，解得a1=1d=3，

所以an=a1+(n−1)d=1+3(n−1)=3n−2；

(2)根据题意，等差数列{an}中，a4=10，

即a4=a1+3d=10，变形可得d=19.解：(1)由题意，在△ACD中，cos∠ADC=−55，cos∠ACD=45，AC=10，

所以sin∠ADC=1−cos2∠ADC=255，sin∠ACD=1−cos2∠ACD=35，

则sin∠CAD=sin(∠ACD+∠ADC)=sin∠ACDcos∠ADC+cos∠ACDsin∠ADC=55，

由正弦定理，得ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，解得CD=5；

(2)由题意及(1)可知，把空间四边形ABCD20.解：(1)由长轴长为4，∴2a=4，∴a=2，

再由△PF1F2为正三角形，P为上顶点，可得b=3c，

∵a2=b2+c2=4，∴解得c=1，b=3，

所以椭圆的方程为：x24+y23=1；

(2)由(1)可得上焦点F1(−1,0)，

由题意可设直线MN的方程为：y=3(x+1)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立x24+y23=1y=3(x+1)，整理可得15x2+24x=0，

可得Δ>0，x1+2=−85，x1x2=0，

所以弦长|MN|=1+(3)2⋅(x1+x2)2−4x1x2=2×(−85)21.解：(Ⅰ)当m=32时，f(x)=32×9x−3x+1−32，

令t=3x，则t>0，y=32t2−3t−32=32(t−1)2−3≥−3，

所以f(x)的值域为[−3,+∞)；

(Ⅱ)令u=3x，x>0，则u>1，y=mu2−3u−m，

因为u=3x在(0,+∞)上单调递增，

所以要使f(x)在(0,+∞)上单调递增，

只需y=mu2−3u−m在(1,+∞)上单调递增，

①当m=0时，y=