第七章 截面几何性质

主讲老师：王培兴第七章截面几何性质第七章截面几何性质【学习目标】1.了解重心、形心、面积静矩、惯性矩、惯性积的概念；2.掌握确定形心位置的方法；3.掌握平面图形对一轴的面积静矩、惯性矩的计算。第七章截面几何性质【引言】什么是截面几何性质？力学中所研究的杆件，其横截面都是具有一定几何形状的平面图形。与横截面的形状及尺寸有关的许多几何量（如截面面积A、极惯性矩IP、抗扭截面系数WP等）,统称为截面的几何性质。第七章截面几何性质研究截面几何性质的意义经验告诉我们，直杆在拉压时，在相同材料的条件下，如果横截面面积越大，就越能承受轴力；杆件受扭时，在面积相同的情况下，空心圆轴比实心圆轴能承受更大的扭矩。以后在弯曲等其它问题的讨论中，还将遇到各种平面图形的截面的另外一些几何性质。总之，杆件的强度、刚度与这些几何性质密切相关。因此，需要掌握它们的计算。7.1重心形心一、重心1.重心的概念位于地球上一切物体,都受地心引力的作用，重力就是地球对物体的吸引力。如果将物体看作由无数个质点组成，则各质点的重力将组成空间平行力系,此力系的合力就是物体的重力。不论物体如何放置,其重力的合力作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点就称为物体的重心。重心位置在工程上有着重要意义，因此必须要确定物体重心的位置。7.1重心形心2.重心的确定如图,设整个物体的重为G,位于图示坐标系中,重力的作用线通过一定点C（xc、yc、zc）,即物体的重心坐标为（xc、yc、zc）.若物体可以分为有限块,其中某小块Mi重为Gi，作用线通过坐标系Mi（xi、yi、zi）点。7.1重心形心根据空间力系的合力矩定理,将力系的合力及各分力分别对y轴求矩,可有：式中：7.1重心形心代入，并且依次同理可得公式7.1重心形心二、形心，即物体的几何形状中心如果物体是均质的，其单位体积重量为

，各微小部分的体积是ΔVi，整个物体的体积为V=ΣΔVi.则ΔGi=

ΔVi，G=

V，代入公式(7-1)，并消去

，可得公式(7-2)7.1重心形心

由此可见，均质物体的重心位置完全取决于物体的几何形状，而与物体的重量无关。均质物体的重心就是物体几何形状的中心，即形心。7.1重心形心如果均质物体是等厚均质薄板，其厚度(设为沿x方向的尺寸)为t，整个物体的面积为A，各微小部分的面积是ΔAi，则有V=tA，ΔVi=tΔAi，代入式（7-2），并消去厚度t，可得均质薄板的形心位置为公式（7-3）：7.1重心形心显然，均质薄板（或者平面图形）的形心位置，位于薄板的中层，即一般只与平面图形的形状有关。7.2面积静矩一、面积静矩的概念如图所示,一任意平面图形,其面积为A.在图形平面内选取坐标系Oyz,在平面图形内坐标为z、y处取一微面积dA,根据力对轴之矩的定义,若将微面积dA看成是一个“从里向外的力”,则乘积ydA就是“该力dA”对z轴之矩.7.2面积静矩故此,我们将乘积ydA称为微面积dA对z轴的静矩,将乘积zdA称为微面积dA对y轴的静矩.即有7.2面积静矩而截面图形内每一微面积dA与它到y轴或z轴距离乘积的总和，称为截面对y轴和z轴的面积静矩（亦称为面积矩、静矩），用Sy或Sz表示，即有公式（7-4）7.2面积静矩由式（7-4）可见，截面的静矩是截面对某定轴而言的。同一截面对不同坐标轴的静矩不同。静矩为代数量，可能为正，可能为负，也可能为零。量纲单位为m3或mm3。7.2面积静矩※静矩概念的应用静矩可用来确定截面图形形心的位置。如图所示，若令该截面图形形心C的坐标为yc、zc，根据静力学中的合力矩定理有7.2面积静矩再根据公式（7-4），不难得到即有公式（7-5）7.2面积静矩公式(7-5)的意义即平面图形对z轴（或y轴）的面积静矩等于图形面积A与形心坐标yc（或zc）的乘积。因此，有以下结论：当坐标轴通过图形的形心时，其面积静矩为零；反过来，若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴必通过图形的形心。7.2面积静矩二、简单组合图形的面积静矩的计算当截面由若干个简单图形（如矩形、圆形、三角形等）组成时，由静矩的定义可知，截面各组成部分对某一轴的静矩的代数和，等于整个组合截面对同一轴的静矩。即有公式（7-6）7.2面积静矩式中，Ai、zi、yi分别代表任一组成部分的面积及其形心坐标。应当指出，在求图形对某轴的面积静矩时，一般都设为正值；但是若求组合图形对某轴的面积静矩时，如果该轴位于图形内，则图形的一部分对该轴的面积静矩是正的，而图形的另一部分对该轴的面积静矩是负的。7.2面积静矩将式（7-6）代入式（7-5），可得组合截面形心坐标的计算公式（7-7）7.2面积静矩7.2面积静矩解：选取坐标轴如图所示，把图形分成两个矩形，则A1=10×120=1200mm2

A2=10×70=700mm2

z1=5mmz2=45mmy1=60mmy2=5mm7.2面积静矩代入公式（7-7）得7.2面积静矩再求图形对y轴、z轴的面积静矩：根据公式（7-6）得※关于确定组合平面图形的形心位置讨论1.一般情况下,当组合图形可以分割为若干个规则图形时，可以由公式（7-7）直接进行计算。7.2面积静矩7.2面积静矩※关于确定组合平面图形的形心位置讨论2.若截面有对称轴，形心一定位于对称轴上3.负（借）面积法：当截面上有空洞时，可以考虑先借图形（面积）将空洞补上，再减去这个图形的面积（即该图形为负面积）。如图7.3惯性矩一、惯性矩的概念如图所示，将整个图形上微面积dA与它到z轴（或y轴）距离平方的乘积的总和，称为该图形对z轴（或y轴）的惯性矩，用Iz（或Iy）表示，即有公式（7-8）7.3惯性矩【注】同一图形对不同轴的惯性矩是不相同的。同时，因dA、y2、z2皆为正值，所以惯性矩的数值恒为正。惯性矩的单位是m4或mm4。7.3惯性矩二、简单图形惯性矩的计算简单图形的惯性矩可直接用式（7-8）通过积分计算求得。7.3惯性矩例7-2

图示矩形截面高为h、宽为b。试计算截面对通过形心的轴（简称形心轴）z、y（的惯性矩Iz和Iy7.3惯性矩解：（1）计算Iz。取平行于z轴的微面积dA=b·dy，dA到z轴的距离为y，应用式（7-8）得7.3惯性矩（2）计算Iy取平行于y轴的微面积dA=hdz，dA到y轴的距离为z，应用式（7-8）得7.3惯性矩因此，矩形截面对形心轴的惯性矩为(熟记)7.3惯性矩例7-3

如图圆形截面直径为D，试计算它对形心轴的惯性矩。7.3惯性矩解：取平行于z轴的微面积7.3惯性矩代入（7-8）式得7.3惯性矩根据对称性，圆形截面对任一根形心轴的惯性矩都相等即有7.3惯性矩三、平行移轴公式同一平面图形对不同坐标轴的惯性矩各不相同，但它们之间存在着一定的关系。下面讨论图形对两根互相平行的坐标轴的惯性矩之间的关系。7.3惯性矩如图所示截面,C为截面形心,A为其面积,zc轴和yc轴为形心轴,z轴与zc轴平行,且相距为a。y轴与yc轴平行,其间距离为b。相互平行的坐标轴之间的关系可表示为

y=yc+a

z=zc+b

(a)

7.3惯性矩根据惯性矩的定义，截面图形对形心轴zC、yC的惯性矩分别为（b）7.3惯性矩而截面图形对z、y轴的惯性矩分别为(c)7.3惯性矩将（a）式代入（c）式并展开，得上面式中第一项

是截面对形心轴zc的惯性矩Izc

7.3惯性矩第二项中是截面对轴zc的面积静矩Szc，因轴zc是形心轴，故Szc=0第三项中是截面的面积7.3惯性矩因此，有公式（7-9）式（7-9）称为惯性矩的平行移轴定理或平行移轴公式。它表明截面对任一轴的惯性矩，等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。7.3惯性矩平行移轴定理在惯性矩的计算中有广泛的应用。利用此公式可以根据截面对形心轴的惯性矩Izc、Iyc来计算截面对与形心轴平行的其它轴的惯性矩Iz、Iy或者进行相反的运算。从式（7-9）可知，因a2A及b2A均为正值，所以在截面对一组相互平行的坐标轴的惯性矩中，以对形心轴的惯性矩最小。7.3惯性矩例7-4

用平行移轴定理计算如图所示矩形对z与y轴的惯性矩Iy、Iz。7.3惯性矩解：前述矩形截面对形心轴zC、yC的惯性矩分别为7.3惯性矩应用平行移轴公式（7-9）可得7.3惯性矩四、组合图形的惯性矩的计算在工程实践中，经常遇到组合图形，有时由矩形、圆形、三角形等几个简单图形组成，有时则由几个型钢截面组合而成。若一个组合图形，总面积为A，由面积为A1、A2、A3三块图形组合而成，根据惯性矩定义可知7.3惯性矩所以组合图形对某轴的惯性矩，必等于组成组合图形的各简单图形对同一轴的惯性矩的和。简单图形对本身形心轴的惯性矩可通过积分或查表求得，再应用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。实际中常见的组合截面多具有一个或两个对称轴，这种对称组合截面对形心主轴的惯性矩，是在弯曲等问题中经常用到的截面几何性质。下面通过例题来说明其计算方法。7.3惯性矩例7-5

计算如图所示T形截面对形心轴z、y的惯性矩。7.3惯性矩解：（1）求截面形心位置。由于截面有一根对称轴y，故形心必在此轴上，即zc=0为求yc，先设z0轴如图，则有7.3惯性矩（2）计算Iz、Iy。根据公式（7-10）整个截面对z、y轴的惯性矩应等于两个矩形对z、y轴惯性矩之和，即：Iz=I1z+I2z两个矩形对本身形心轴的惯性矩分别为7.3惯性矩应用平行移轴公式可得7.3惯性矩7.3惯性矩所以7.3惯性矩由于图形对称，y轴经过矩形A1和A2的形心，所以7.3惯性矩例7-6

试计算如图所示由两根№20槽钢组成的截面对形心轴z、y的惯性矩。7.3惯性矩解：组合截面有两根对称轴，形心C就在这两对称轴的交点。由附录型钢表查得每根槽钢的形心C1或C2到腹板边缘的距离为19.5mm，每根槽钢截面积为：A1=A2=3.283×103mm2每根槽钢对本身形心轴的惯性矩为7.3惯性矩整个截面对形心轴的惯性矩应等于两根槽钢对形心轴的惯性轴之和，故得7.3惯性矩7.3惯性矩五、惯性半径、极惯性矩1.惯性半径上面介绍了惯性矩的定义。在工程实际应用中，为方便起见，还经常将惯性矩表示为截面面积A与某一长度平方的乘积，即有公式（7-11）（7-11）7.3惯性矩式中，iy和iz

分别称为截面对y轴或z轴的惯性半径，单位为m。由公式（7-11）可知，惯性半径可由截面的惯性矩和面积这两个几何量表示为公式（7-12）（7-12）7.3惯性矩宽为b、高为h的矩形截面，对其形心轴z及y的惯性半径，可由式（7-12）计算得7.3惯性矩直径为D的圆形截面，由于对称，它对任一根形心轴的惯性半径都相等。由（7-12）式算得7.3惯性矩2.极惯性矩如图所示，将整个图形上微面积dA与它到原点O距离（极半径）

平方的乘积的总和，称为该图形对原点O的极惯性矩，用IP表示，即有公式（7-13）7.3惯性矩由图可以看出，ρ、y、z之间,存在着下列关系：7.3惯性矩所以，由式（7-13）及式（7-8）可知即有公式（7-14）

（7-14）7.3惯性矩公式（7-14）上式说明：截面对任一直角坐标系中二坐标轴的惯性矩之和，等于它对坐标原点的极惯性矩。因此，尽管过一点可以作出无限多对直角坐标轴，但是截面对其中任意一对直角坐标轴的两个惯性矩之和始终是不变的，且等于截面对坐标原点的极惯性矩。7.3惯性矩例7-7计算圆形截面的极惯性矩。解：圆形的极惯性矩既可直接由（7-13）式积分计算，也可由（7-14）式利用惯性矩计算。现分别用两种方法计算如下：7.3惯性矩(1)根据公式（7-13）进行积分计算如图所示，取圆环作为微面积，代入（7-13）式，得:7.3惯性矩（2）根据式（7-14）计算，利用已知圆截面的惯性矩值计算由例7-3代入式（7-14）式得7.3惯性矩例7-8

如图b所示，计算内、外径分别为d和D的空心圆的极惯性矩Ip。解：取

，则其中

，为空心圆的内外径之比。7.4惯性积主惯性矩一、惯性积如图所示，我们将整个截面上微面积dA与它到y、z轴距离的乘积yzdA称为微面积dA对y、z两轴的微惯性积，而把微面积dA与它到y、z轴距离的乘积yzdA的总和，定义为截面对y、z轴的惯性积，用Iyz表示，得公式（7-15）：7.4惯性积主惯性矩由惯性积的定义可知，惯性积数值，可能为正、为负或为零。它的单位是m4或mm4。7.4惯性积主惯性矩根据公式（7-15），如果截面具有一个（或一个以上）对称轴，如图所示，则对称轴两侧微面积的zydA值大小相等，符号相反，这两个对称位置的微面积对z、y轴的惯性积之和等于零，推广到整个截面，则整个截面的Iyz=0。这说明，只要z、y轴之一为截面的对称轴，该截面对两轴的惯性积就一定等于零。7.4惯性积主惯性矩二、主惯性矩如图所示，当坐标轴z、y轴绕其原点转动

角时，坐标轴变为z1、y1轴，截面对转动前后的