2015年数学高考题分类解析考点23 数列求和及综合应用

高考试题分类解析是以a1为首项,2为公比的等比数列.又由题意得2a2+2=a1+a3⇒2·2a1+2=a1+4a1⇒a1=2,则an=2n(n∈N*)(2)由题意得(n∈N*),由等比数列求和公式得Tn==1-()n,|Tn-1|=|-()n|=()n,n=10时,210=1024,n=9时,29=512,所以|Tn-1|<成立的n的最小值为10.二、解答题15.(2015·湖北高考理科·T18)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)当d>1时,记,求数列{cn}的前n项和Tn.【解题指南】(1)由题意可列出方程组QUOTE求解首项、公差、公比,再代入通项公式即可求得.(2)由(1)结合d>1,可得an=2n-1,bn=2n-1,于是,易发现:cn的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的,直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.【解析】（Ⅰ）由题意有，即解得或故或（Ⅱ）由，知，，故，于是，①.②①-②可得，故.16.(2015·湖北高考文科·T19)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)当d>1时,记,求数列{cn}的前n项和Tn.【解题指南】(1)由题意可列出方程组QUOTE求解首项、公差、公比,再代入通项公式即可求得.(2)由(1)结合d>1,可得an=2n-1,bn=2n-1,于是,易发现:cn的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的,直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.【解析】（Ⅰ）由题意有，即解得或故或（Ⅱ）由，知，，故，于是，①.②①-②可得，故.17.（2015·重庆高考文科·Ｔ16）已知等差数列满足前3项和（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，求的前项和【解题指南】（1）直接利用基本量法求解数列的通项公式即可，（2）根据的通项公式可求出等比数列的公比，进而利用公式求解的前项和【解析】（1）设的公差为，则由已知条件得化简得解得故的通项公式（2）由（1）得设的公比为，则从而故的前项和18.(2015·福建高考文科·T17)(本小题满分12分)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+【解题指南】(1)用等差数列通项公式计算.(2)分组求和.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b1019.(2015·湖北高考理科·T22)已知数列{an}的各项均为正数,bn=n(1+QUOTE)nan(n∈N*),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较(1+QUOTE)n与e的大小.(2)计算，，，由此推测计算的公式,并给出证明.(3)令,数列{an},{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:Tn<eSn.【解题指南】（Ⅰ）利用导数可得的单调递增区间为，单调递减区间为.当时，，即.令，可得，即.（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，根据数学归纳法进行证明。（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得由放缩法及基本不等式可得，再根据分组求和，裂项求和，再次放缩，.即.【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1-ex.当f′(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;当f′(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<ex.令，得，即.①（Ⅱ）；；.由此推测：②下面用数学归纳法证明②.(ⅰ)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(ⅱ)假设当n=k时,②成立,即.当n=k+1时,bk+1=(k+1)(1+QUOTE)k+1ak+1,由归纳假设可得.所以当n=k+1时,②也成立.根据(ⅰ)(ⅱ),可知②对一切正整数n都成立.(3)由cn的定义,②,算术-几何平均不等式,bn的定义及①得<ea1+ea2+…+ean=eSn.即Tn<eSn.20.（2015·重庆高考理科·Ｔ22）在数列中，（1）若求数列的通项公式；（2）若证明：【解题指南】（1）由题意结合递推关系可以直接证明数列为等比数列，从而可求出数列的通项公式（2）利用题意及放缩法证明.【解析】（1）由有若存在某个，使得，则由上述递推公式易知，重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意，从而即是一个公比为的等比数列故（2）由数列的递推关系变为变形为由上式及，归纳可得因为所以对求和得另一方面，由上已证的不等式知得综上，21.(2015·陕西高考文科·T21)(本小题满分12分)设fn(x)=x+x2+…+xn-1,n∈N,n≥2.(1)求f′n(2).(2)证明:fn(x)在(0,23)内有且仅有一个零点(记为an),且0<an-12<13(2【解题指南】(1)求导后代值,利用错位相减法求得数列的前n项和即可得解.(2)首先求导,确定函数单调性,利用零点的存在性定理说明零点的唯一性,并确定其范围.【解析】(1)由题设f′n(x)=1+2x+…+nxn-1,所以f′n(2)=1+2×2+…+n·2n-1①由2f′n(2)=1×2+2×22+…+n·2n②①-②得-f′n(2)=1+2+22+…+2n-1-n·2n所以f′n(2)=(n-1)2n+1.(2)因为fn(0)=-1<0,所以fn(x)在(0,23又f′n(x)=1+2x+…+nxn-1>0,所以fn