浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试 数学 含答案

2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，（i为虚数单位，），则复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3．下列函数中，以为最小正周期的奇函数是（）A． B． C． D．4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（）A． B． C． D．5．在正方体中，P，Q分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点D，P，Q的截面形状为（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形6．在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（）A． B． C． D．7．已知，则（）A． B． C． D．8．已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A．图中x的值为0.030B．被抽取的学生中成绩在的人数为15C．估计样本数据的众数为90D．估计样本数据的平均数大于中位数10．已知向量，，且，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是45°D．向量在向量上的投影向量坐标是11．已知，设函数满足，则（）A．B．当时，不一定是常数函数C．若，则D．若，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．函数与的图象关于直线______对称．13．若某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径是______．14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，若△ABC的面积为，则______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本题满分13分）已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在区间上的最大值、最小值及相应的x的值．16．（本题满分15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PD与底面所成的角为45°，E为PD的中点．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）若，求平面ABC与平面PBC的夹角大小．17．（本题满分15分）已知函数，．（1）当时，求在处的切线方程；（2）讨论的单调性．18．（本题满分17分）已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点，右焦点F，离心率．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于P，Q两点．（i）若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程；（ii）是否存在直线l，使F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．19．（本题满分17分）已知数列满足，数列满足，．（1）求，的通项公式；（2）定义：已知数列，，当时，称为“4一偶数项和整除数列”．（i）计算，，其中，．（ii）若为“4-偶数项和整除数列”，求的最小值．2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．12345678DDACBCAC二、选择题：本题共了小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．AB 10．ACD 11．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．12． 13．2 14．四、解答题．15．（1）故；由，令，，则，，故函数的单调递增区间为，；（2）当时，，则，即，即在区间上的最小值和最大值分别为0，3，即时，即时，有最小值0，当，即时，有最大值3．16．证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，因为PD与平面ABCD所成的角为45°，PA⊥平面ABCD，所以，且，又E为PD的中点，所以AE⊥PD．因为CD⊥AD，又CD⊥PA，故CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，所以平面PCD．（2）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，又BC⊥AB，则∠PBA即为所求，由（1）知：，则，所以．17．（1）当时，，，，，切线方程为：．（2），①若，，则在上单调递减，②若，当时，解得，则在上单调递增，在上单调递减．18．解：（Ⅰ）由题意得：，，则易得，故椭圆方程为．（2）（i）由题意得：，因为，所以，则，设直线，，，联立，可得，，所以，由韦达定理得：，，，设线段PQ中点为，则，，则PQ中点的轨迹方程为．（ii）因为F恰为△PQM的垂心，有所以又，得，即，代入韦达定理得，解得或．经检验符合条件，则直线l的方程为