2025年北师大版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学下册月考试卷42考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、以正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点O，如图，建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）

A.

B.

C.

D.

2、曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A.（1，0）B.（2，8）C.（1，0）或（﹣1，﹣4）D.（2，8）或（﹣1，﹣4）3、定义在（-1；1）上的函数f（x）满足：

（1）对任意x，y∈（-1，1），都有

（2）对任意x∈（-1；0），都有f（x）＞0．

若R=f（0），则P；Q、R的大小关系为（）

A.P＜R＜Q

B.Q＜R＜P

C.P＜Q＜R

D.Q＜P＜R

4、【题文】如图.程序输出的结果则判断框中应填（）

A.B.C.D.5、不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A.（﹣1）B.（1，+∞）C.（﹣∞，1）∪（2，+∞）D.（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）6、用数学归纳法证明：1+x+x2+x3++xn+2=（x≠1，n∈N+）成立时，验证n=1的过程中左边的式子是（）A.1B.1+xC.1+x+x2D.1+x+x2+x3评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、如图是某几何体的三视图，其中正视图、俯视图的长均为4，宽分别为2与3，侧视图是等腰三角形，则该几何体的体积是____．8、【题文】一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为_________．9、【题文】甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）

其中产量比较稳定的小麦品种是____．10、【题文】等比数列中，若则____;11、若命题“∃x∈R，x2+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是____12、P为△ABC所在平面外一点，AC=a，连接PA、PB、PC，得△PAB和△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为______．13、已知复数z1=-1+2i，z2=1-i，z3=3-2i，其中i为虚数单位，它们所对应的点分别为A，B，C．若则x+y的值是______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共12分)21、【题文】甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．22、【题文】（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c=且

（1）求角C的大小；

（2）求△ABC的面积.23、已知点A（2；-2），B（4，6）．

（Ⅰ）求直线AB的方程；

（Ⅱ）求过点C（-2，0）且与AB垂直的直线方程．评卷人得分五、计算题(共2题，共16分)24、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).25、1.（本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。评卷人得分六、综合题(共3题，共12分)26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．27、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为28、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】

由图形可知，B1点在正方体的上底面上；

设正方体的棱长为：1；

∴B1点的坐标是（1；1，1）

则与共线的向量的坐标可以是

故选C．

【解析】【答案】设正方体的棱长为：1，由图形可知，B1点在正方体的上底面上，B1点的纵标同C的纵标相同，B1在面A1B1C1D1上，得到点的竖标为1，根据B1点在棱上的位置，写出B1点的横标，从而得到的B1坐标，最后写出向量的坐标及与共线的向量的坐标即可．

2、C【分析】试题分析：由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，∵切线平行于直线y=4x-1，∴3x2+1=4，解之得x=±1，当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4．∴切点P0的坐标为（1，0）和（-1，-4），故选B．考点：导数的几何意义【解析】【答案】C3、D【分析】

∵x∈（-1，1），

∴f（0）-f（0）=f（）=f（0）；解得f（0）=0，即R=f（0）=0．

f（0）-f（x）=f（）=f（-x）；解得f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数．

∵对任意x∈（-1，0），都有f（x）＞0，故当x∈（0，1）时，都有f（x）＜0，＜0．

令-1＜x＜y＜1，∵x-y＜0，1-xy＞0，∴＜0．

又+1==∵1+x＞0，1-y＞0，1-xy＞0，∴＞-1；

∴＞0；∴f（x）在（-1，1）上为单调递减；

从而可得f（）＜＜0；

故＜0．

由于=f（）=f（）=f（）+f（）=f（）-f（）；

∴=++++

=．

由于f（）＜0，∴P=＞f（）．

综上可得；Q＜P＜R；

故选D．

【解析】【答案】利用题设条件，先推导出f（0）=0=R，f（x）是奇函数，f（x）在（-1，1）上为单调递减．把化为f（）-f（），可得P=＞由此能求出P；Q、R的大小关系．

4、B【分析】【解析】

试题分析：按照程序框图执行如下：

因为输出的结果为

故此时判断条件应为：或

考点：1、程序框图的运算；2、循环语句.【解析】【答案】B5、D【分析】【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0

∴x＞1或x＜-

故选：D

【分析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集．6、D【分析】解：当n=1时，等式左边成立的式子是1+x+x2+x3；

故选：D

根据等式的特点，得到等式左边式子从1开始进行相加，以xn+2结束，当n=1时，以x3结束进行判断即可．

本题主要考查数学归纳法的应用，比较基础．【解析】【答案】D二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】【解析】试题分析：由三视图知：原几何体是一个三棱柱，三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，等腰三角形中一边的长为3，此边的高为2，所以该几何体的体积为考点：三视图；棱柱的体积公式。【解析】【答案】128、略

【分析】【解析】

试题分析：口袋中五个球分别记为从中摸出两球的方法有：共种，其中颜色相同的有共四种，有古典概率的求法可知．

考点：古典概率的求法．【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】甲10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】18011、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【分析】【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2+ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2+ax+1≥0；

命题否定是假命题；

∴△=a2﹣4＞0

∴a＜﹣2或a＞2

故答案为：（﹣∞；﹣2）∪（2，+∞）．

【分析】根据所给的特称命题的否定任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．12、略

【分析】解：∵PA=PB=PC=AB=BC=a，

取AC中点D；连结PD；BD；

则PD⊥AC；BD⊥AC；

则∠BDP为二面角P-AC-B的平面角．

又AC=a，∴PD=BD=．

在△PBD中，PB2=BD2+PD2；

∴∠PDB=90°．

∴面PAC⊥面ABC．

故答案为：面PAC⊥面ABC．

取AC中点D；连结PD；BD，∠BDP为二面角P-AC-B的平面角．由此能推导出面PAC⊥面ABC．

本题考查直线与直线的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．【解析】面PAC⊥面ABC13、略

【分析】解：∵复数z1=-1+2i，z2=1-i，z3=3-2i；它们所对应的点分别为A，B，C．

∴A（-1；2）B（1，-1）C（3，-2）

∵点的坐标与以原点为起点的向量的坐标相同；

∵

∴（3；-2）=x（-1，2）+y（1，-1）

∴-x+y=3；

2x-y=-2

∴x=1；y=4

∴x+y=5

故答案为：5

根据复数和点对应；写出点的坐标，根据点的坐标与以原点为起点的向量的坐标相同，把坐标代入所给的关于向量的等式，求出x，y的值．

本题考查向量和复数的知识，解题的关键是看清题目中要用的向量的坐标，正确写出坐标是解题的关键．【解析】5三、作图题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共12分)21、略

【分析】【解析】

试题分析：因为甲、乙两船在一昼夜的时间中任何一个时间到达时等可能的，所以船在哪个时间到达的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x，y，试验的全部结果所构成的区域是一个正方形，若有一艘船必须等待，则作出不等式组表示的平面区域，根据几何概型的求法，所求概率为两部分面积之比，

试题解析：设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x，y.则作出如图所示的区域．

本题中，区域D的面积S1＝242；

区域d的面积S2＝242－182.∴P＝＝＝

即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为

考点：几何概型的求法.【解析】【答案】22、略

【分析】【解析】（1）解：∵A+B+C=180°由

∴整理，得4分。

解得：5分∵∴C=60°6分。

（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab∴7=(a+b)2-3ab

由条件a+b=5得7=25－3ab9分ab=610分。

∴12分。

所以面积．【解析】【答案】（1）C=60°

（2）23、略

【分析】

（I）利用斜率计算公式；点斜式即可得出；

（II）利用相互垂直的直线斜率之间的关系；点斜式即可得出．

本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，属于基础题．【解析】解：（Ⅰ）由已知，直线AB的斜率

所以直线AB的方程为y+2=4（x-2）；即4x-y-10=0．

（Ⅱ）设所求直线l的斜率为k'，则k•k'=-1，解得．

所以直线l的方程为即x+4y+2=0．五、计算题(共2题，共16分)24、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.25、略

【分析】解(1)设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X=0、1、2、3，X服从超几何分布，高考+资-源-网分布列如下：。X0123P即。X0123P8分(2)10分【解析】【答案】(1)。X0123P(2)2/3六、综合题(共3题，共12分)26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时