圆锥曲线离心率归类（学生版）

圆锥曲线离心率归类题型01离心率基础 1题型02第一定义求离心率 2题型03中点型求离心率 3题型04点差法型求离心率（第三定义型） 5题型05渐近线型离心率 6题型06渐近线中点型求离心率 7题型07构造a、b、c齐次式型 8题型08焦半径型离心率 9题型09焦点三角形求离心率 题型10双焦点三角形余弦定理型 题型11焦点三角形双角度型 题型12共焦点型椭圆双曲线离心率 题型13借助均值不等式求共焦点型 题型14焦点三角形内心型求离心率 题型15焦点三角形重心型求离心率 题型16小题大做型求离心率 高考练场 21题型01离心率基础 求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.【典例1-1】.P是椭圆上的一点，F为椭圆的右焦点，PF丄x轴，过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为()【典例1-2】双曲线的离心率用e=f(k)来表示，则f(k)()A．在(0,+∞)上是增函数B．在(0,+∞)上是减函数C．在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数D．是常数【变式1-1】（2023秋·高三课时练习）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离 22且上PF1F2 【变式1-3】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，若△PF1F2的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为(). 题型02第一定义求离心率 解题时要把所给的几何特征转化为a,b,c的关系式．求离心率的常用方法有：（1）根据条件求得a,b,c，利用e=求解；（2）根据条件得到关于a,b,c的方程或不等式，利用e=将其化为关于e的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围.【典例1-1】已知椭圆的右焦点为F（5，0点A，B为C上关于原点对称的两点，【典例1-2】设椭圆的一个焦点F(2,0)点A(-2,1)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P，使得PA+PF=8，则椭圆E的离心率的取值范围是().椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为FiF=θ,当θ∈,时，C的离心率的最小值为() 【变式1-2】.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F（5，0），点【变式1-3】.设椭圆1的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，点Q(|(c,),在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且PF1+PQ<5F1F2恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为(),题型03中点型求离心率 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标2）求中点轨迹方程3）求直线方程4）求曲线；0【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，正六边形ABF2CDF1的一边AF1的中点恰好在双曲线M上，则双曲线M的离心率是()22【典例1-2】（2021秋·福建厦门·高三福建省厦门集美中学校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A，B两点.点M为线段BF1的中点，且AF1=AB.【变式1-1】（2022春·陕西安康·高三统考）已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1、F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若AB=AF1，且双曲线C的离心率为2．则cosθ=()【变式1-2】（2021春·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别在其左、右两支上，且AB=4F1A，M为线段AB的中点，若MF1 【变式1-3】（2022春·新疆·高三八一中学校考）设F1，F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦FM2点．若P为C右支上的一点，且M为线段F1P的中点，F2M丄PF1，FM2题型04点差法型求离心率（第三定义型） 设直线和曲线的两个交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，得同理，双曲线用点差法，式子可以整理成→1=k.设直线和曲线的两个交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得y12=2px1；2y2=2px2；将两式相减，可得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)；整理得x1-x2y1+y2一条直径，M为椭圆G上与A、B不重合的一点，且直线MA,MB的斜率之积为-，则椭圆G的离心率为.【典例1-2】已知直线y=-x+1与椭圆+=1(a>b>线x-2y=0上，则此椭圆的离心率为【变式1-1】（2023·四川雅安·统考三模）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，)在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为(1,-1)，则椭圆E的方程为() 相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为22，则双曲线C的离心率为() 【变式1-3】（2022秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第一中学校考）已知双曲线C:x2-=1(b>0)的离心率为2，过点P(3,3)的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦AB的中点，则直线AB的方程为()题型05渐近线型离心率【典例1-1】（2021秋·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考阶段练习）经过双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左焦点作倾斜角为60。的直线l，若l与双曲线M的左支有两个不同的交点，则M的离心率的取值范围是【典例1-2】（2023春·黑龙江大庆·高三大庆中学校考开学考试）已知点P(-2,)在双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近 【变式1-1】（2023秋·甘肃天水·高三校考）已知双曲线：-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为：y=±2则该双曲线的离心率为() 则双曲线的离心率为() 【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与直线y=2x无公共点，则双曲线的离心率的最大值是() .题型06渐近线中点型求离心率【典例1-1】（2021秋·陕西渭南·高三统考）已知双曲线C：x2-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M、N.若点M是线段F2N的中点，且NF1丄NF2，则双曲线C 【典例1-2】（2023秋·河南安阳·高三校考）已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F，右顶点为A，两条渐近线为l1,l2.设F关于l1的对称点为P，且线段AP的中点恰好在l2上，则C的离心率为()【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与椭圆过椭圆上一点P作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为()【变式1-2】（2022春·广西南宁·高三南宁二中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且ON=2BM，则双曲线C的离心率为().322【变式1-3】（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且PF2丄F2，且tan上P则说法错误的 A．C的离心率为2B．C的渐近线方程为x±·3y=0题型07构造a、b、c齐次式型 只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).【典例1-1】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线为双曲线的右焦点，C的离心率的取值范围是()【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为()【变式1-1】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左顶点为A，），【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是F1，F222若双曲线C上存在点P使得PF1.PF2=-4a2，PF1+PF2>422【变式1-3】（2008·湖南·高考真题）若双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()题型08焦半径型离心率 圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言对于抛物线，则若双曲线右支上存在点P使得则离心率的取值范围为()【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线左、右焦点分别为F1(-c,0)，Fc,0)，若双曲线右支上存在点P使得则离心率的取值范围为()0,-1)【变式1-1】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P(x,y)到焦点F2的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为() 【变式1-2】设F是椭圆=1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆E的左顶点，P为直线x=上一点，ΔAPF是底角为300的等腰三角形，则椭圆E的离心率为4323【变式1-3】设F1(-c,0)，F2(c,0)分别为椭圆的左，右焦点，若直线上存在点PF2PF2=2c，则椭圆离心率的取值范围为.题型09焦点三角形求离心率22【典例1-1】已知F1,F2分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P,使得ΔPF1F2的面积为·,则椭圆C的离心率的取值范围是【典例1-2】已知F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若=0，且S△PF2=c2，22【变式1-1】.已知F是椭圆的一个焦点，若直线y=kx与椭圆相交于A,B两点，且如图，椭圆C:的左右焦点分别是F1,F2，点P、Q是C上的两点，若=0，则椭圆C的离心率为()【变式1-3】已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，直线y=kx与C交于点M，N，若四边形MF1NF2的面积为且上M的离心率为()题型10双焦点三角形余弦定理型 圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：1.焦点四边形具有中心对称性质。2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解【典例1-1】椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，MF2=F1F2，则椭圆的离心率为.22【典例1-2】已知椭圆以为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且PQ过右焦点F2，段BF1上靠近F1的四等分点．若对于线段BF1上的任意点P，都有PF1.PD≥EF1.ED成立，则椭圆的离心率【变式1-1】如图所示，F1,F2段BF1上靠近F1的四等分点．若对于线段BF1上的任意点P，都有PF1.PD≥EF1.ED成立，则椭圆的离心率【变式1-2】已知椭圆F1的左焦点F1和右焦点F2，上顶点为A，AF2的中垂线交椭圆于点B，若左焦点F1在线段AB上，则椭圆离心率为.【变式1-3】.已知椭圆C的焦点为F1，F2，过F1的直线与C交于A，B两点，若则C 题型11焦点三角形双角度型 设椭圆b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2设双曲线0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三校考）已知椭圆E的两个焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上一点，且tan上P,tan上P则椭圆E的离心率为.若椭圆上存在一点P使，且c=.上则椭圆离心率的取值范围为.且sin7PF2F1=3sin7PF1F2，则椭圆E的离心率为(),F2为椭圆的两个焦点，则椭圆的离题型12共焦点型椭圆双曲线离心率 椭圆与双曲线共焦点F1、F2，它们的交点P对两公共焦点F1、F2的张角为上F1PF2=2θ,椭圆与双曲线的【典例1-1】（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆C1和双曲线C2的焦点相同，记左、右焦点分别为F1，F2，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，设点P为C1与C2在第一象限内的公共点，且满足若的值为()【典例1-2】（2022秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知椭圆双曲线的焦点，P为C1和C2的交点，若△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为1，C1和C2的离心率之积为，则实数a的值为()>0）有公共焦点F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P．若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1，F2，若C1，C2在第一象限内的交点为P，且满足上POF2=2上PF1F2，设e1，e2分别是C1，C2的离心率，则e1，e2的关系是 e2【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知F1,F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共的左右焦点，e1、e2是C1、C2的离心率，若C1、C2在第一象限内的交点为P，且满足上POF2=2上PF1F2，则e1、e2的关系是()e2e2=2题型13借助均值不等式求共焦点型【典例1-1】、已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，且上椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2，则e+e的最小值.【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且上记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则当取最大值时，e1，e2的值分别是()【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知P是椭圆和双曲线>0)的一个交点，F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1,e2分别为椭圆和双曲线的离心率，若上的最小值为()【变式1-2】2022秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考）已知椭圆和双曲线有相同焦点F1与F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2，P为两曲线的一个公共点，且PF1一PF2=2PO(其中O），2【变式1-3】（2022·高三课时练习）已知椭圆与双曲线一有相同的焦点F1、F2，P点是曲线C1与C2的一个公共点，e1,e2分别是C1和C2的离心率，若PF1丄PF2，则4e+e的最小值为()题型14焦点三角形内心型求离心率 双曲线中，焦点三角形的内心I的轨迹方程为x=a(一b<y<b证明：设内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为M,N,T，则由切线长定理可得=FT+F2T=2c，所以F2T=ca，所以点T的坐标为(a,0)，所以点I的横坐标为定值a.【典例1-1】（2022秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考）已知双曲线一的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M在C的右支上运动，△MF1F2的内心为I，若IO=IF2，则C的离心率 【典例1-2】2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知双曲线22的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上的一点，I为△PF1F2的内心，且IF=2PI，则C的离心率为()【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）点P是双曲线一=1(a>0,b>0)右支上一点，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，M为△PF1F2的内心，若双曲线C的离心率，且S△MP=S△则λ=()【变式1-2】（2022秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，且为双曲线右支一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF=S△IPF+λS△IFF成立，给出下列结论：②离心率④点I的横坐标为定值a【变式1-3】（2023秋·高三课时练习）已知F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点，且为双曲线右支上一点，I为△PF1F2内心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2，则λ的值为()题型15焦点三角形重心型求离心率【典例1-1】（2020·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）设F1，F2是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若△AF1F2的内切圆M的半径为a，且△AF1F2的重心G满足MG=λF1F2， 【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）在双曲线C：-=1(a>0,b>0)的右支上存在点A，使得点A与双曲线的左、右焦点F1，F2形成的三角形的内切圆P的半径为a，若ΔAF1F2的重心G满足PG//F1F2，则双曲线C的离心率为 22【变式1-1】（2022春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）设双曲线的左右焦点分别为F1,F2,若在曲线C的右支上存在点P，使得△PF1F2的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF1F2的重心为G，满足MG∥F1F2,则双曲线C的离心率为.【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左顶点为A，若在双曲线的右支上存在两点M，N，使△AMN为等边三角形，且右焦点为△AMN的重心，则该双曲线的离心率为()【变式1-3】（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知双曲线—=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，若△MOF的重心G在双曲线上，则双曲线的离心率题型16小题大做型求离心率【典例1-1】已知椭圆C:x2+my2=1(0<m<1)，若存在过点A(3,1)且互相垂直的直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是()【典例1-2】如图，椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心率为e，F是Γ的右焦点，点P是Γ上第一象限内任意【变式1-1】存在过椭圆左焦点的弦MN，使得|MN|=则椭圆C的离心率的则椭圆Γ的离心率为【变式1-3】过原点的一条直线与椭圆b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈则该椭圆离心率的取值范围为()【市级联考】河南省洛阳市2018-2019学年高三第一学期考试数学试题（文）1..已知椭圆的左右焦点分别F1,F2，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且PF2F2，若AB//PF1，则椭圆的离心率为() 2.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，P为椭圆C上一点，且上若F1关于上F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为.3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作以F1为圆心、OF1为半径的圆的切线切点为T.延长F2T交E的左支于P点，若M为线段PF2的中点，且MO+MT=2a，则E的离心率为() 4.（2021秋·