2024年因式分解教案 (一)

2024年因式分解教案

因式分解教案1

引入:在整式的变形中，有时须要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是

因式分解。什么叫因式分解？

学问详解

学问点1因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的根的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这

个多项式分解因式。

(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

例如：

(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验。

怎样把一个多项式分解因式？

学问点2提公因式法

多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的。因式m,我们把因式m叫做这个多项式的

公因式。ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个

因式是各项的公因式m另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因

式的方法叫做提公因式法。例如

:x2-x=x(x-l),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+l)o

探究沟通

下列变形是否是因式分解？为什么？

(I)3x2y-xy+y=y(3x2-x);(2)x2-2x+3=(x-l)2+2;

(3)x2y2+2xy-l=(xy+l)(xy-l);(4)xn(x2-x+l)=xn+2-xn+l+xn0

典例剖析师生互动

例1用提公因式法将下列各式因式分解。

(1)-x3z+x4y;(2)3x(a-b)+2y(b-a);

分析：Q)题干脆提取公因式分解即可，(2)题首先要适当的变形，再把b-a化成-(a-b),然

后再提取公因式。

小结运用提公因式法分解因式时，要留意下列问题：

(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解。

(2)假如出现像⑵小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少。这时留意到

(a-b)n=(b-a)n(n为偶数)。

(3)因式分解最终假如有同底数幕，要写成幕的形式。

学生做T故把下列各式分解因式。

(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b);(2)4p(l-q)3+2(q-l)2

学问点3公式法

(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的'和与这个数的差

的积。例如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)。

(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2°其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式。即两个数的

平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。例

$H：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2-2x-3y+(3y)2=(2x-3y)2o

探究沟通

下列变形是否正确？为什么？

(I)x2-3y2=(x+3y)(x-3y);(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;(3)x2-2x-l=(x-l)2o

例2把下列各式分解因式。

(1)(a+b)2-4a2;(2)l-10x+25x2;(3)(m+n)2-6(m+n)+9o

分析:本题旨在考杳用完全平方公式分解因式。

学生做T故把下列各式分解因式。

⑴(x2+4)2-2(x2+4)+l;(2)(x+y)2-4(x+y-l)。

综合运用

例3分解因式。

(I)x3-2x2+x;(2)x2(x-y)+y2(y-x);

分析:本题旨在考杳综合运用提公因式法和公式法分解因式。

小结解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，假如有，先提公因式;假如没有公因式是两

项，则考虑能否用平方差公式分解因式。是三项式考虑用完全平方式，最终，直到每一个因式

都不能再分解为止。

探究与创新题

例4若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=。

分析:完全平方式是形如:a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘限的2倍的和(或差)。

学生做T8若x2+(k+3)x+9是完全平方式，贝I」k=。

课堂小结

用提公因式法和公式法分解因式，会运用因式分解解决计算问题。

各项有“公"先提"公二首项有负常提负，某项提出莫漏,括号里面分到-底"。

自我评价学问巩固

1。若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于()

。。。。或

A3Bo-5C7D7-1

2。§(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是()

A。2B。4C。6D。8

3。分解因式:4x2-9y2=。

4。已知x-y=l,xy=Z求x3y-2x2y2+xy3的值。

5。把多项式l-x2+2xy-y2分解因式

思巍分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10。

附:板书设计

因式分解

因式分解的定义探究沟通探究创新

提公因式法典例剖析课堂小结

公式法综合运用自我评价

因式分解教案2

教学目标：

1、进一步巩固因式分解的概念；

2、巩固因式分解常用的三种方法

3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题

5、体验应用学问解决问题的乐趣

教学重点：敏捷运用因式分解解决问题

教学难点：敏捷运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3

教学过程：

一、创设情景：若a=101,b=99,求a2—b2的值

利用因式分解往往能将一些困难的运算简洁化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎

样来因式分解。

二、学问回顾

1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解

因式。

推断下列各式哪些是因式分解？(让学生先思索，老师提问讲解，让学生明确因式分解的概

念以及与乘法的关系)

(1)、x2f2=(x+2y)(x—2y)因式分解(2).2x(x—3y)=2x2—6xy整式乘法

(3)、(5a—1)2=25a2—10a+l整式乘法(4).x2+4x+4=(x+2)2因式分解

(5)、(a—3)(a+3)=a2—9整式乘法(6)。m2—4=(m+4)(m—4)因式分解

(7)、2nR+2nr=2n(R+r)因式分解

2、规律总结(老师讲解)：分解因式与整式乘法是互逆过程。

分解因式要留意以下几点：

(1)。分解的对象必需是多项式。

(2)。分解的结果肯定是几个整式的乘积的形式。

(3).要分解到不能分解为止。

3、因式分解的'方法

提取公因式法：—6x2+6xy+3x=—3x(2x—2y—1)公因式的概念;公因式的求法

公式法：平方差公式：a2—b2=(a+b)(a—b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)

2

4、强化训练

教学引入

师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个

正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。

动画演示：

场景一：正方形折叠演示

师：这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板（刻度尺）和圆规，我们来探讨正

方形的几何性质一边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角

线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。

［学生活动:各自测量。］

激励学生将测量结果与邻近同学进行比较，找出共同点。

讲授新课

找一两个学生表述其结论，表述是要留意订正其语言的规范性。

动画演示：

场景二：正方形的性质

师：这些性质里那些是矩形的性质？

［学生活动:找寻矩形性质。】

动画演示：

场景三：矩形的性质

师：同样在这些性质里找寻属于菱形的性质。

［学生活动;找寻菱形性质。］

动画演示：

场景四：菱形的性质

师：这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。

刚好提出问题，引导学生进行思索。

师：依据这些性质，我们能不能给正方形下一个定义？怎么样给正方形下一个精确的定义?

［学生活动:主动思索，有同学做跃跃欲试状。］

师请同学们回想矩形与菱形的定义，可以依据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。

学生应能够向出十种左右的定义方式，其余作相应激励，把以下三种板书：

”有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”

"有一个角是直角的菱形叫做正方形。”

"有一个角是直角且有一组邻边相等的切亍四边形叫做正方形。”

［学生活动:探讨这三个定义正确不正确？三个定义之间有什么共同和不同的地方？这出教

材中采纳的是第三种定义方式。］

师：依据定义，我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。

试一试把下列各式因式分解：

(1)。1—x2=(1+x)(1—x)(2)。4a2+4a+l=(2a+l)2

。

(3)04x2—8x=4x(x—2)(4)2x2y—6xy2=2xy(x—3y)

三、例题讲解

例1、分解因式

(1)—x3y3+x2y+xy(2)6(x—2)+2x(2—x)

(3)(4)y2+y+

例2、分解因式

1、a3—ab2=2、(a—b)(x—y)—(b—a)(x+y)=3、(a+b)2+2(a+b)—15=

、一、

41—2a—a2=5xx2—6x+9—y26x2-4y2+x+2y=

例3、分解因式

1、73—2(13x—7)22、8a2b2—2a4b—8b3

四、学问应用

1、(4x2—9y2)+(2x+3y)2、(a2b—ab2)-s-(b—a)

3、解方程：(1)x2=5x(2)(x—2)2=(2x+l)2

4、。若x=—3,求20x2—60x的值。5、1993-199能被200整除吗？还能被哪些整数

整除？

五、拓展应用

1。计算：7652x17—2352x17解：7652x17—2352x17=17(7652—2352)=17

(765+235)(765—235)

2、20042+20xx被20xx整除吗？

3、若n是整数，证明(2n+1)2—(2n-l)2是8的倍数。

五、课堂小结

今日你对因式分解又有哪些新的相识？

因式分解教案3

学习目标

1、学会用公式法因式法分解

2、综合运用提取公式法、公式法分解因式

学习重难点重点：

完全平方公式分解因式.

难点：综合运用两种公式法因式分解

自学过程削

完全平方公式：

完全平方公式的逆运用：

做一®:

1.⑴16x2-8x+=(4x-l)2;

(2)+6x+9=(x+3)2;

(3)16x2++9y2=(4x+3y)2;

(4)(a-b)2-2(a-b)+l=(-1)2.

2.在代腼Q)a2+ab+b2;(2)4a2+4a+l;(3)a2-b2+2ab;(4)-4a2+12ab-9b2中，可用完全

平方公式因式分解的是_______(填序号)

3.下列因式分解正确的是()

A.x2+y2=(x+y)2B.x2-xy+x2=(x-y)2

C.l+4x-4x2=(l-2x)2D.4-4x+x2=(x-2)2

4.分解因式:(l)x2-22x+121(2)-y2-14y-49(3)(a+b)2+2(a+b)+l

5.计算：20062-40102006+20052=.

6.若x+y=l,贝I」x2+xy+y2的值g___________.

想一想

你还有哪些地方不是很懂?请写出来。

___________________________________________________________________________预

习展示一：

L判别下列各式是不是完全平方式.

2、把下列各式因式分解：

(l)-x2+4xy-4y2

(2)3ax2+6axy+3ay2

(3)(2x+y)2-6(2x+y)+9

应用探究：

1、用简便方法计算

49.92+9.98+0.12

拓展提高：

(1)(a2+b2)(a2+b210)+25=0求a2+b2

(2)4x2+y2-4xy-12x+6y+9=0

求x、y关系

(3)分解因式：m4+4

教后反思考察利用公式法因式分解的题目不会很难，但颗要学生记住公式的'形式，之后

利用公式把式子进行变形，从而达到进行因式分解的目的，但是这里有用到实际中去的例子，对

学生来说会难一些。

因式分解教案4

学问点：

因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式(十字相乘法、

求根)、因式分解一般步骤。

教学目标：

理解因式分解的概念，驾驭提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，驾驭利用

二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简洁多项式分解因式。

考查重难点与常见题型：

考查因式分解实力在中考试题中因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、

应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

教学过程：

因式分解学问点

多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积。分解因式要进行到每一个因式都

不能再分解为止。分解因式的常用方法有：

(1)提公因式法

如多项式

其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。

(2)运用公式法，即用

写出结果。

(3)十字相乘法

对于二次项系数为I的二次三项式找寻满意ab=q,a+b=p的a,b,如有，则对于一般

的二次三项式找寻满意

ala2=a,clc2=c,alc2+a2cl=b的al,a2,cl,c2,如有，则

(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间

进行。

分组时要用到添括号：括号前面是"+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是

号，括到括号里的各项都变更符号。

(5)求根公式法：假如有两个根XI,X2,那么

2、教学实例：学案示例

3、课堂练习：学案作业

4、课堂：

5、板书：

6、课堂作业：学案作业

7、教学反思：

因式分解教案5

学习目标

1、学会用平方差公式进行因式法分解

2、学会因式分解的而基本步骤.

学习重难点重点：

用平方差公式进行因式法分解.

难点：

因式分解化简的过程

自学过程设计教学过程设计

看一看

平方差公式：

平方差公式的逆运用：

做TS：

1.填空题.

(l)25a2-=(5a+2b)(5a-2b);(2)x2-=(x-)().

(3)-a2+b2=(b+a)();(4)36x2-81y2=9()().

2把下列各式分解因式结果为-(x-2y)(x+2y)的多项式是()

A.x2-4yB.x2+4y2C.-x2+4y2D.-x2-4y2

3.多项式-l+0.04a2分解因式的结果是0

A.(-l+0.2a)2B.(l+0.2a)(l-0.2a)

C(0.2a+l)(0.2a-l)D.(0.04a+l)(0.04a-l)

4.把下列各式分解因式：

(1)4x2-25y2;(2)0.81m2-n2;

(3)a3-9a;(4)8x3y3-2xy.

5.把下列各式分解因式：

(l)(3a+2b)2-(a-b)2;(2)4(x+2y)2-25(x-y)2.

6.用简便方法计算：3492-2512.

想一想

你还有哪些地方不是很懂?请写出来。

预习展示一：

1、下列多项式能否用平方差公式分解因式?

说说你的‘理由。

4x2+y2

4x2-(-y)2

-4x2-y2-4x2+y2

a2-4a2+3

2.把下列各式分解因式：

(l)16-a2

(2)0.01s2-t2

(4)-l+9x2

(5)(a-b)2-(c-b)2

(6)-(x+y)2+(x-2y)2

应用探究：

1、分解因式

4x3y-9xy3

变式：把下列各式分解因式

①x4-81y4

②2a-8a

2、从前有一位张老汉向地主租了一块"十字型"土地(尺寸如图)。为便于种植，他想换一

块相同面积的长方形土地。同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗?w

3、在日常生活中如上网等都须要密码.有一种因式分解法产生的密码便利记忆又不易破译.

例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码，当取x=9,y=9时，可得一个六位数的密码

"018162".你想知道这是怎么来的吗？

小明选用多项式4x3-xy2,取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即

可)

拓展提高：

若n为整数，RiJ(2n+l)2-(2n-l)2能被8整除吗?请说明理由.

教后反思索察利用公式法因式分解的题目不会很难，但是须要学生记住公式的形式，之后利

用公式把式子进行变形，从而达到进行因式分解的目的。

因式分解教案6

教学目标

1.学问与技能

了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系.

2.过程与方法

经验从分解因数到分解因式的类比过程，驾驭因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中

的作用.

3.情感、看法与价值观

在探究因式分解的方法的活动中，培育学生有条理的思索、表达与沟通的实力，培育主动的

进取意识，体会数学学问的内在含义与价值.

重、难点与关键

1.重点：了解因式分解的意义，感受其作用.

2.难点：整式乘法与因式分解之间的关系.

3.关键：通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解.

教学方法

采纳“激趣导学”的教学方法.

教学过程

一、创设情境，激趣导入

请同学们探究下面的2个问题：

问题1:730能被哪些数整除?谈谈你的想法.

问题2:当a=102,b=98时，求a2-b2的值.

二、丰富联想，展示思维

探究：你会做下面的填空吗？

1.ma+mb+mc=()();

2.X2-4=()();

3.x2-2xy+y2=()2.

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.

三、小组活动，共同探究

(1)下列各式从左到右的变形是否为因式分解：

①(x+l)(x-1)=x2-1;

②a2-l+b2=(a+1)(a-1)+b2;

③7x-7=7(x-l).

(2)在下列括号里,填上适当的项，使等式成立.

①9x2()+y2=(3x+y)();

②x2-4xy+()=(x-)2.

四、随堂练习，巩固深化

课本练习.

计算：993-99能被100整除吗？

五、课堂总结，发展潜能

由学生自己进行小结，老师提出如下纲目：

1.什么叫因式分解？

2.因式分解与整式运算有何区分？

六、布置作业，专题突破

选用补充作业.

板书设计

15.4.1因式分解

1、因式分解例：

练习：

15.4.2提公因式法

教学目标

1.学问与技能

能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式.

2.过程与方法

使学生经验探究多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解.

3.情感、看法与价值观

培育学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作沟通意识，主动主动地积累确定公因

式的初步阅历,体会其应用价值.

重、难点与关键

1.重点：驾驭用提公因式法把多项式分解因式.

2.难点：正确地确定多项式的最大公因式.

3.关键：提公因式法关键是如何找公因式.方法是：一看系数、二看字母.公因式的系数

取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次帚.

教学方法

采纳"启发式"教学方法.

教学过程

一、回顾沟通，导入新知

下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？

(1)2x2+4=2(x2+2);(2)2t2-3t+l=(2t3-3t2+t);

(3)x2+4xy-y2=x(x+4y)-y2;(4)m(x+y)=mx+my;

(5)x2-2xy+y2=(x-y)2.

问题：

1.多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？

2.多项式4x2-x和xy2-yz-y呢?

请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由.

我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，妇在mn+mb中的公因

式式是m,在4x2-x中的公因式是x,在xy2-yz-y中的公因式是y.

概念：假如一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式

化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

二、小组合作，探究方法

多项式4x2-8x6,16a3b2-4a3b2-8ab4各项的公因式是什么？

提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因

式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并

且各字母的指数取最彳氐次幕.

三、范例学习，应用所学

把-4x2yz-12xy2z+4xyz分解因式.

解:-4x2yz-12xy2z+4xyz

="(4x2yz+12xy2z-4xyz)

=-4xyz(x+3y-1)

分解因式,3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

视察所给多项式可以找出公因式(y-x)2或(x-y)2,于是有两种变形，(x-y)3=-

(y-x)3和(x-y)2=(y-x)2,从而得到下面两种分解方法.

解法1:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

=-3a2(y-x)3-4b2(y-x)2

="[(y-x)23a2(y-x)+4b2(y-x)2]

=-(y-x)2[3a2(y-x)+4b2]

=-(y-x)2(3a2y-3a2x+4b2)

解法2:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

=(x-y)23a2(x-y)-4b2(x-y)2

=(x-y)2[3a2(x-y)-4b2]

=(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2)

用简便的方法计算：0.84x12+12x0.6-0.44x12.

引导学生视察并分析怎样计算更为简便.

解:0.84x12+12x0.6-0.44x12

=12x(0.84+0.6-0.44)

=12x1=12.

在学生完全例3之后，指出例3是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2,例3的

公因式有什么不同？

四、随堂练习，巩固深化

课本P167练习第1、2、3题.

利用提公因式法计算：

0.582x8.69+1.236x8.69+2.478x8.69+5.704x8.69

五、课堂总结，发展潜能

1.利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式.在找最大公因式时应留意：（1）

系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次鬲.

2.因式分解应留意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止.

六、布置作业，专题突破

课本P170习题15.4第1、4（1）、6题.

板书设计

15.4.2提公因式法

1、提公因式法例：

练习：

15.4.3公式法（一）

教学目标

1.学问与技能

会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理实力.

2.过程与方法

经验探究利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学学问的完整

性.

3.情感、看法与价值观

培育学生良好的互动沟通的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值.

重、难点与关键

1.重点：利用平方差公式分解因式.

2.难点：领悟因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.

3.关键：应用逆向思维的方向,演绎出平方差公式，对公式的应用首先要留意其特征,其

次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来.

教学方法

采纳"问题解决"的教学方法，让学生在问题的牵引下，推动自己的思维.

教学过程

一、视察探讨，体验新知

请同学们计算下列各式.

(1)(a+5)(a-5);(2)(4m+3n)(4m-3n).

动笔计算出上面的两道题，并蛹跃上台板演.

(1)(a+5)(a-5)=a2-52=a2-25;

(2)(4m+3n)(4m-3n)=(4m)2-(3n)2=16m2-9n2.

引导学生完成下面的两道题目，并运用数学"互逆"的思想，找寻因式分解的规律.

1.分解因式:a2-25;2.分解因式16m2-9n.

从逆向思维入手，很快得到下面答案：

(l)a2-25=a2-52=(a+5)(a-5).

(2)16m2-9n2=(4m)2-(3n)2=(4m+3n)(4m-3n).

引导学生完成a2-b2=(a+b)(a-b)的同时，导出课题：用平方差公式因式分解.

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

评析：平方差公式中的字母a、b,教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式(单

项式、多项式).

二、范例学习，应用所学

把下列各式分解因式：(投影显示或板书)

(1)x2-9y2;(2)16x4-y4;

(3)12a2x2-27b2y2;(4)(x+2y)2-(x-3y)2;

(5)m2(16x-y)+n2(y-16x).

在视察中发觉1~5题均满意平方差公式的特征，可以运用平方差公式因式分解.

启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演.

分四人小组，合作探究.

解：(1)x2-9y2=(x+3y)(x-3y);

(2)16x4-y4=(4x2+y2)(4x2-y2)=(4x2+y2)(2x+y)(2x-y);

(3)12a2x2-27b2y2=3(4a2x2-9b2y2)=3(2ax+3by)(2ax-3by);

(4)(x+2y)2-(x-3y)2=[(x+2y)+(x-3y)][(x+2y)-(x-3y)]=5y(2x

-y)；

(5)m2(16x-y)+n2(y-16x)

=(16x-y)(m2-n2)=(16x-y)(m+n)(m-n).

三、随堂练习，巩固深化

课本P168练习第1、2题.

1.求证：当n是正整数时，n3-n的值肯定是6的倍数.

2.试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除.连续偶数的平方差能被一个奇数整除.

四、课堂总结，发展潜能

运用平方差公式因式分解，首先应留意每个公式的特征.分析多项式的次数和项数，然后再

确定公式.假如多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；假如多项式中有公因式可提，应先

提取公因式，而且还要"提"彳导彻底，最终应留意两点:一是每个因式要化简，二是分解因式时，

每个因式都要分解彻底.

五、布置作业，专题突破

课本P171习题15.4第2、4(2)、11题.

板书设计

15.4.3公式法(一)

1、平方差公式：例：

a2-b2=(a+b)(a-b)练习：

15.4.3公式法(二)

教学目标

1.学问与技能

领悟运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理实力.

2.过程与方法

经验探究利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，驾驭因式分解的基

本步骤.

3.情感、看法与价值观

培育良好的推理实力，体会"化归"与"换元"的思想方法，形成敏捷的应用实力.

重、难点与关键

1.重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用.

2.难点：敏捷地应用公式法进行因式分解.

3.关键：应用"化归"、"换元"的思想方法，把问题进行形式上的转化，达到能应用公

式法分解因式的目的.

教学方法

采纳“自主探究”教学方法，在老师适当指导下完成本节课内容.

教学过程

一、回顾沟通，导入新知

1.分解因式：

(1)-9x2+4y2;(2)(x+3y)2-(x-3y)2;

(3)x2-0.01y2.

因式分解教案7

一、运用平方差公式分解因式

教学目标L使学生了解运用公式来分解因式的意义。

2、使学生理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点;使学生知道把乘法公式反

过来就可以得到相应的因式分解。

3、驾驭运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式(干脆用

公式不超过两次)

重点运用平方差公式分解因式

难点敏捷运用平方差公式分解因式

教学方法对比发觉法课型新授课教具投影仪

老师活动学生活动

情景设置：

同学们，你能很快知道992-1是100的'倍数吗?你是怎么想出来的？

(学生或许还有其他不同的解决方法，老师要赐予充分的确定)

新课讲解：

从上面992-1=(99+1)(99-1),我们简单看出，这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公

式?

首先我们来做下面两题：(投影)

1.计算下列各式：

(l)(a+2)(a-2)=;

(2)(a+b)(a-b)=;

(3)(3a+2b)(3a-2b)=.

2.下面请你依据上面的算式填空：

(l)a2-4=;

(2)a2-b2=;

(3)9a2-4b2=;

清同学们对比以上两题，你发觉什么呢？

事实上，像上面第2题那样，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解。

(投影)

比如:a2-16=a2-42=(a+4)(a-4)

例题1:把下列各式分解因式;(投影)

(l)36-25x2;(2)16a2-9b2;

(3)9(a+b)2-4(a-b)2.

(让学生弄清平方差公式的形式和特点并会运用)

例题2:如图，求圆环形绿化区的面积

练习：第87页练一练第1、2、3题

小结：

这节课你学到了什么学问，驾驭什么方法?

教学素材:

A组题：

1.填空:81x2-=(9x+y)(9x-y);=

利用因式分解计算：二。

2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()(A)(B)(C)(D)3.把下列各式分解因式

(I)l-16a2(2)9a2x2-b2y2

(3).49(a-b)2-16(a+b)2

B瓶:

1分解因式81a4-b4=

2若a+b=l,a2+b2=l,则ab=;

3若26+28+2n是一个完全平方数，则n=.

由学生自己先做(或相互探讨)，然后回答，若有答不全的,老师(或其他学生)补充.

学生回答1:

992-1=99x99-1=9801-1

=9800

学生回答2:992-1就是(99+1)(99-1)即100x98

学生回答:平方差公式

学生回答：

(l):a2-4

⑵:a2-b2

(3):9a2-4b2

学生轻松口答

(a+2)(a-2)

(a+b)(a-b)

(3a+2b)(3a-2b)

学生回答：

把乘法公式

(a+b)(a-b)=a2-b2

反过来就得到

a2-b2=(a+b)(a-b)

学生上台板演：

36-25x2=62-(5x)2

=(6+5x)(6-5x)

16a2-9b2=(4a)2-(3b)2

=(4a+3b)(4a-3b)

9(a+b)2-4(a-b)2

=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2

=[3(a+b)+2(a-b)]

[3(a+b)-2(a-b)]

=(5a+b)(a+5b)

解:352n-152n

=n(352-152)

=(35+15)(35-15)n

=50x20n

=1000n(m2)

这个绿化区的面积是

1000nm2

学生归纳总结

因式分解教案8

教学目标

1、会运用因式分解进行简洁的多项式除法。

2、会运用因式分解解简洁的方程。

二、教学重点与难点教学重点：

教学重点

因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用。

教学难点：

应用因式分解解方程涉及较多的推理过程。

三、教学过程

(一)引入新课

1、学问回顾(1)因式分解的几种方法：①提取公因式法：ma+mb=m(a+b)②

应用平方差公式：=(a+b)(a—b)③应用完全平方公式：a2ab-b=(ab)(2)课

前热身：①分解因式：(x+4)y—16xy

(二)师生互动，讲授新课

1、运用因式分解进行多项式除法例1计算：(1)(2ab-8ab)(4a-b)(2)(4x

—9)(3—2x)解：(1)(2ab—8ab)(4a—b)=—2ab(4a—b)(4a—b)=—2ab

(2)(4x—9)(3—2x)=(2x+3)(2x—3)[—(2x—3)]=—(2x+3)=—2x—3

一个小问题：这里的X能等于3/2吗？为什么？

想T®:那么(4x—9)(3-2x)呢？练习：课本P162课内练习

合作学习

想一想：假如已知()()=0,那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才能够

满意条件呢？(让学生自己思索、相互之间探讨！)事实上，若AB=0，则有下面的结论:(1)

A和B同时都为零，即A=0,且B=0(2)A和B中有T为零,即A=0,或B=0

试一试：你能运用上面的结论解方程(2x+l)(3x-2)=0吗？3、运用因式分解解简

洁的方程例2解下列方程：(1)2x+x=0(2)(2x—1)=(x+2)解：x(x+1)=0解：

(2x—1)—(x+2)=0则x=0,或2x+l=0(3x+l)(x—3)=0原方程的根是xl=0,

x2=则3x+l=0,或x—3=0原方程的根是xl=,x2=3注：只含有一个未知数的方程的解也

叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：xl,x2

等练习：课本P162课内练习2

做一做!对于方程：x+2=(x+2)，你是如何解该方程的，方程左右两边能同时除以(x+2)

吗？为什么？

老师总结：运用因式分解解方程的基本步骤(1)假如方程的右边是零,那么把左边分解因

式，转化为解若干个一^一次方程；(2)假如方程的'两边都不是零，为陷应当先移项，把方程

的右边化为零以后再进行解方程；遇到方程两边有公因式，同样须要先进行移项使右边化为零,

切忌两边同时除以公因式！4、学问延长解方程：(x+4)-16x=0解：将原方程左边分解因

式，得(x+4)—(4x)=0(x+4+4x)(x+4—4x)=0(x+4x+4)(x—4x+4)=0(x+2)

(x—2)=0接着接着解方程，5、练一练①已知a、b、c为三角形的三边，试推断a—2ab+b

—c大于零?小于零?等于零？解：a—2ab+b—c=(a—b)—c=(a—b+c)(a—b—c)

‘「a、b、(:为三角形的35a+c>ba<b+ca—b+c>0a—b—c<0即(a—b+cIa—b—c)

<0,因此a—2ab+b—c小于零。6、挑战极限①已知：x=20xx,求|4x—4x+3|-4|

x+2x+2|+13x+6的值。解：/4x—4x+3=(4x-4x+l)+2=(2x—1)+2Ox+2x+2

=(x+2x+l)+1=(x+1)+10|4x—4x+3|-4|x+2x+2|+13x+6=4x—4x+3―4

(x+2x+2)+13x+6=4x—4x+3—4x—8x—8+13x+6=x+1即：原式二

x+l=20xx+l=20xx

(三)梳理学问，总结收获因式分解的两种应用：

(1)运用因式分解进行多项式除法

(2)运用因式分解解简洁的方程

(四)布置课后作业

作业本6、42、课本P163作业题(选做)

因式分解教案9

第十五章整式的乘除与因式分解

依据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5+2z、ab-3.12r2,x2+2x+18都是多项式.清

分别指出它们的项和次数.

15.1.2整式的加减

(3)x-(l-2x+x2)+(-1-x2)(4)(8x-3x2)-5x-2(3x-2x2)

四、提高练习：

1、已知A=a2+b2・c2,B=-4a2+2b2+3c2,并且A+B+C=O,问C是什么样的.

多项式？

2、设A=2x2-3x+2-x+2,B=4x2-6x+22-3x-,若|x-2a|+(+3)2=0,且

B-2A;a,求A的值。

3、已知有理数a、b、c在数轴上(0为数轴原点)的对应点如图：

试化简：|a|-|a+b|+|c-a|+|b+c|

小结：要擅长在图形改变中发觉规律，能娴熟的对整式加减进行运算。

作业：课本P14习题1.3:1（2）、（3）、（6）,2。

《课堂感悟与探究》

因式分解教案10

整式乘除与因式分解

一.回顾学问点

1、主要学问回顾：

鬲的运算性质：

（为数）

aman=am+nmsnIEgg

同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

（为正整数）

=amnmxn

帚的乘方,底数不变，指数相乘.

（n为正整数）

积的乘方等于各因式乘方的积.

=am-n（a^0,m、n都是正整数，且m>n）

同底数幕相除，底数不变，指数相减.

零指数幕的概念：

a0=l（a#0）

任何［一个不等于零的数的零指数幕都等于I.

负指数事的概念：

a-p=（a/0,p是正整数）

任I可一个不等于零的数的-p（p是正整数）指数基,等于这个数的P指数幕的倒数.

也可表示为：（m^O,n=0,p为正整数）

单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数寨分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字

母，则连同它的指数作为积的一个因式.

单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.

多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的

积相加.

单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母,

则连同它的指数作为商的一个因式.

多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

2、乘法公式：

①平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

②完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2

（a-b）2=a2-2ab+b2

文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积

的2倍.

3、因式分解：

因式分解的定义.

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.

驾驭其定义应留意以下几点：

(1)分解对象是多项式，分解结果必需是积的形式，且积的因式必需是整式，这三个要素缺

一不行；

(2)因式分解必需是恒等变形；

(3)因式分解必需分解到每个因式都不能分解为止.

弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为

和差的形式.

二、娴熟驾驭因式分解的常用方法.

1、提公因式法

(1)驾驭提公因式法的概念；

(2)提公因式法的'关键是找出公因式，公因式的构成一般状况下有三部分：①系数一各项系

数的最大公约数;②字母一各项含有的相同字母;③指数一相同字母的最彳氐次数；

(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;其次步是提取公因式并确定另一因式.需留意的

是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一样，这一点可用来检验是否漏项.

(4)留意点：①提取公因式后各因式应当是最简形式，即分解到"底"；②假如多项式的第一

项的系数是负的，一般要提出号,使括号内的第一项的系数是正的.

2、公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来运用;

常用的公式：

①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

因式分解教案11

学习目标：经验探究同底数幕的乘法运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述，并会

娴熟地进行计算。通过由特别到一般的猜想与说理、验证，发展推理实力和有条理的.表达实力.

学习重点：同底数幕乘法运算性质的推导和应用.

学习过程：

一、创设情境引入新课

复习乘方an的意义：an表示个相乘，即an=.

乘方的结果叫a叫做，n是

问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？

歹斌为，你能利用乘方的意义进行计算吗？

二、探究新知：

探一探：

1依据乘方的意义填空

Q)23x24=(2x2x2)x(2x2x2x2)=2();

(2)55x54==50；

⑶(-3)3x(_3)2二=(-3)();

(4)a6a7==a().

(5)5m5n

猜一猜：aman=(m、n都是正整数)你能证明你的猜想吗？

说一说：你能用语言叙述同底数幕的乘法法则吗？

同理可得：aman叩二(m、n、p都是正整数)

三、范例学习：

计算:(1)103xl04;(2)aa3;(3)mm3m5;(4)xmx3m+l(5)xx2+x2x

1.填空:(1)10x109=;(2)b2xb5=;(3)X4X=;(4)X3X3=.

2.计算：

(I)a2a6;(2)(-x)(-x)3;(3)8m(-8)38n;(4)b3(-b2)(-b)4.

:把下列各式化成(x+y)n或(x-y)n的形式.

(l)(x+y)4(x+y)3(2)(x-y)3(x-y)(y-x)

(3)-8(x-y)2(x-y)(4)(x+y)2m(x+y)m+l

四、学以致用：

1.计算:(i)10nl0m+l=(2)x7x5=(3)mm7m9=

(4)-4444=(5)22n22n+l=(6)y5y2y4y=

2.推断题：推断下列计算是否正确?并说明理由

(i)a2a3=a60；(2)a2a3=a5();(3)a2+a3=a5();

(4)aa7=a0+7=a7();(5)a5a5=2al00;(6)25x32=67(),

3.计算：

(I)xx2+x2x(2)x2xn+l+xn-2x4-xn-lx4

(3)-(-a)3(-a)2a5;(4)(a-b)3(b-a)2

(5)(x+y)(x+y)(x+y)2+(x+y)2(x+y)2

4.解答题:

Q)已知xm+nxm-n=x9,求m的值.

(2)据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有

3.34x1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？

因式分解教案12

15.1.1整式

教学目标

1.单项式、单项式的定义.

2.多项式、多项式的次数.

3、理解整式概念.

教学重点

单项式及多项式的有关概念.

教学难点

单项式及多项式的有关概念.

教学过程

I,提出问题，创设情境

在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思索下列问题

I.要表示^ABC的周长须要什么条件?要表示它的面积呢？

2.小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？

结论：

1、要表示AABC的周长，须要知道它的各边边长.要表示&ABC的面积须要知道一条边长

和这条边上的高.假如设BC=a,AC=b,AB=c.AB边上的高为h,那么SBC的周长可以表

示为a+b+c;MBC的面积可以表示为？c?h.

2.小王的平均速度是.

问题：这些式子有什么特征呢？

(1)有数字、有表示数字的字母.

(2)数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接.

归纳：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连

接起来的式子叫做代数式.

推断上面得到的三个式子：a+b+c、ch、是不是代数式？(是)

代数式可以简明地表示数量和数量的关系.今日我们就来学习和代数式有关的整式.

n.明确和巩固整式有关概念

(出示投影)

结论：(1)正方形的周长：4x.

(2)汽车走过的路程：vt.

(3)正方体有六个面,每个面都是正方形，这六个正方形全等，所以它的表面积为6a2;

正方体的体积为长X宽X高，即a3.

(4)n的相反数是-n.

分析这四个数的特征.

它们符合代数式的‘定义.这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、ch、中

还有和与商的运算符号还可以发觉这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同.

请同学们阅读课本P160~P161单项式有关概念.

依据这些定义推断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、这些代数式中，哪些是单项式？

是单项式的，写出它的系数和次数.

结论：4x、vt、6a2、a3、-n、ch是单项式.它们的系数分别是4、1、6、1、-1、.它

们的次数分别是1、2、2、3、1、2.所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、ch都是二次单

项式；a3是三次单项式.

问题:vt中v和t的指数都是1,它不是一次单项式吗？

结论:不是.依据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应当是这两个字母的指数

的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式.

生活中不仅仅有单项式，像a+b+c,它不是单项式，和单项式有什么联系呢？

写出下列式子(出示投影)

结论:(1)t-5.(2)3x+5y+2z.

(3)三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积,即ab-3.12r2.

(4)建筑面积等于四个矩形的面积之和.而右边两个已知矩形面积分别为3x2、4x3,所

以它们的面积和是18.于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18.

我们可以视察下列代数式：

a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18.发觉它们都是由单项式的和组成的

式子.是多个单项式的和，能不能叫多项式?

这样推理合情合理.请看投影，熟识下列概念.

依据定义，我们不难得出a+b+ct-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2xx2+2x+18都是多项式请

分别指出它们的项和次数.

a+b+c的项分另！J是a、b、c.

t-5的项分别是t、・5,其中-5是常数项.

3x+5y+2z的项分另U是3x、5y、2z.

ab-3.12r2的项分别是ab.-3.12r2.

x2+2x+18的项分别是x2、2x、18.找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次

数，二是取每个项次数的最大值.依据这两条很简单得到这五个多项式中前三个是一次多项式,

后两个是二次多项式.

这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映改变的世