《函数及函数的合成》课件

函数及函数的合成什么是函数？映射关系函数是一种特殊的对应关系，将一个集合中的元素与另一个集合中的元素一一对应。输入输出函数将输入值（自变量）映射到输出值（因变量），每个输入值对应唯一的输出值。符号表示函数通常用字母表示，例如f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。函数的表示函数可以用多种方式表示，包括：解析式：用数学公式表示函数，例如y=x^2图像：用坐标系上的曲线表示函数表格：用表格列出函数的值文字描述：用语言描述函数的对应关系函数的性质定义域函数定义域是指函数可以接受的所有输入值的集合。值域函数值域是指函数输出的所有可能值的集合。单调性函数的单调性描述了函数值随着输入值变化的趋势，可以是递增或递减。奇偶性函数的奇偶性描述了函数关于原点的对称性，可以是奇函数或偶函数。函数的基本分类1一次函数一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数。2二次函数二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c是常数。3指数函数指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数。4对数函数对数函数是指数函数的反函数，形如y=log_ax的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数。常用的初等函数指数函数y=a^x(a>0,a≠1)对数函数y=log_ax(a>0,a≠1)幂函数y=x^a(a为实数)反函数定义如果两个函数f(x)和g(x)满足f(g(x))=x且g(f(x))=x，则称g(x)是f(x)的反函数，记作f-1(x)。性质反函数的图像关于直线y=x对称。求法将y=f(x)中的x和y交换，并解出y，即得反函数y=f-1(x)。复合函数1定义当一个函数的输出作为另一个函数的输入时，就形成了复合函数。2表示复合函数通常用符号f(g(x))或(fog)(x)表示。3性质复合函数的性质与原始函数的性质相关。复合函数的性质可逆性复合函数的逆函数，如果存在，可以用其组成函数的逆函数表示。连续性如果组成函数都连续，则复合函数也连续。可导性如果组成函数都可导，则复合函数也可导。函数的图像函数的图像是一种直观的表示方式，它将函数的输入值和输出值对应地表示在坐标系中。通过观察函数图像，我们可以直观地了解函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性等。利用函数的图像描述函数性质1单调性递增或递减2奇偶性关于原点对称或关于y轴对称3周期性图像呈周期性重复4最大值和最小值图像最高点和最低点函数的平移向上平移将函数图像向上平移a个单位，则得到函数y=f(x)+a的图像。向下平移将函数图像向下平移a个单位，则得到函数y=f(x)-a的图像。向右平移将函数图像向右平移a个单位，则得到函数y=f(x-a)的图像。向左平移将函数图像向左平移a个单位，则得到函数y=f(x+a)的图像。函数的伸缩1纵向伸缩将函数图像沿y轴方向进行伸缩。2横向伸缩将函数图像沿x轴方向进行伸缩。函数的对称关于y轴对称若函数f(x)的图像关于y轴对称，则对于任意实数x，都有f(x)=f(-x)。关于原点对称若函数f(x)的图像关于原点对称，则对于任意实数x，都有f(x)=-f(-x)。函数的奇偶性偶函数对称于y轴奇函数对称于原点周期函数定义如果对于任意实数x，都存在一个正数T，使得f(x+T)=f(x)成立，那么函数f(x)就称为周期函数，T称为该函数的周期。性质周期函数的图像在x轴方向上平移T个单位后，与原图像重合。例子三角函数sinx,cosx,tanx等都是周期函数。指数函数定义形如y=ax(a>0且a≠1)的函数称为指数函数，其中a为底数，x为指数。性质定义域为全体实数，值域为(0,+∞)当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减函数图像过点(0,1)函数图像关于y轴对称对数函数定义如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaN=x。性质loga1=0logaa=1loga(M×N)=logaM+logaNloga(M÷N)=logaM-logaNlogaMn=n×logaM幂函数定义形如y=x^a(a为常数)的函数称为幂函数，其中x为自变量，a为幂指数。图像幂函数的图像形态取决于幂指数a的取值，a的不同取值会产生不同的图像特征。性质幂函数具有多种性质，例如单调性、奇偶性、对称性等，这些性质可以用来分析和理解幂函数的函数关系。三角函数正弦函数周期函数，表示角度的正弦值余弦函数周期函数，表示角度的余弦值正切函数周期函数，表示角度的正切值反三角函数1定义反三角函数是三角函数的反函数，用于求解三角函数的值对应的角度。2符号反三角函数的符号通常用arcsin、arccos、arctan等表示。3应用反三角函数在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛应用。双曲函数双曲函数以双曲线为基础定义双曲函数的图像具有独特的形状和性质双曲函数具有特定的公式和关系双曲函数的性质双曲函数的图像与三角函数的图像相似，但它们不是周期函数。双曲函数的图像可以通过将正弦和余弦函数的图像进行适当的缩放和平移得到。双曲函数的定义可以通过指数函数来表示。例如，双曲正弦函数定义为(e^x-e^-x)/2，双曲余弦函数定义为(e^x+e^-x)/2。双曲函数之间存在一些重要的恒等式。例如，cosh^2(x)-sinh^2(x)=1，类似于三角函数中的恒等式sin^2(x)+cos^2(x)=1。函数的极限1定义函数的极限是指当自变量无限接近某一值时，函数值无限接近的另一个值.2重要性极限是微积分的基础，它帮助我们理解函数在特定点附近的行为，并为导数和积分的定义提供基础.3应用极限广泛应用于物理、工程、经济等领域，用于分析和解决各种问题.函数的连续性定义如果一个函数在一个点处是连续的，那么该函数在该点附近的变化是平滑的，没有突然的跳跃或断裂。函数在该点的极限值等于该点的函数值。性质连续函数具有许多重要的性质，例如：介值定理，最大最小值定理等。这些性质在数学分析和实际应用中都非常有用。应用连续性是许多数学领域的重要概念，例如微积分，微分方程，概率论等。函数的可导性可导性函数在某一点可导，表示该点存在导数。函数在某区间内可导，表示该区间内所有点都存在导数。可导性与连续性若函数在某点可导，则该点必连续。但若函数在某点连续，该点不一定可导。导数与切线导数在几何上表示函数曲线在某一点的切线的斜率。函数可导，意味着其图像在该点存在切线。导数的几何意义切线斜率在曲线上某一点处的导数，代表了该点处的切线的斜率。变化率导数反映了函数在某一点的变化速率，即函数值随自变量的变化率。导数的运算法则和差法则两个函数的和差的导数等于它们分别导数的和差。积法则两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。商法则两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。复合函数的求导链式法则复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数例子例如，求y=sin(x^2)的导数，则外函数是sin(u)内函数是u=x^2因此，y'=cos(u)*2x=2xcos(x^2)应用链式法则在求解涉及多个函数嵌套的导数时至关重要高阶导数二阶导数二阶导数表示函数的凹凸性，可以判断函数的拐点。高阶导数高阶导数用于研究函数的更深层次的性质，例如函数的极值点