第16讲-抛物线解析版

第16讲抛物线1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的几何性质．2．通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合思想．3．了解抛物线的简单应用．1定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.如图，P在抛物线上，2几何性质 标准方程y(p>0)y(p>0)x(p>0)x(p>0)图象顶点(0,0)对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(F(−F(0,F(0,−准线方程x=−x=y=−y=离心率e=13一些常见结论①过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A,B两点的线段AB，称为抛物线的“通径”，即|AB|=2p②若A、B在抛物线y2=2px上，F【题型1抛物线的定义与方程】【典题】（1）与圆x－22+y2=1外切，且与直线x+1=0【解析】由圆x－22+y2=1可得：圆心F(2，设所求动圆圆心为P(x,y)过点P作PM⊥直线l：x+1=0，则|PF|－r=|PM|，可得|PF|=|PM|+1因此可得点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线L：x=－2的距离相等的点的集合．由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线，定点F(2,0)为焦点，定直线L：x=－2是准线．∴抛物线的方程为：y2∴所求轨迹方程是y2【点拨】①直线l与圆O相切⇔圆心O到直线l的距离d=r;②根据抛物线定义求方程，要确定好焦点与准线.巩固练习1.若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1，则动点P的轨迹方程是．【答案】y2【解析】∵点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1∴点P到直线x=－4的距离和它到点(4,0)的距离相等．根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x=－4为准线的抛物线，∴p=8，∴P的轨迹方程为y2故答案为：y22.到直线x=－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是()A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线【答案】C【解析】动点M到定点P(2,0)的距离与到定直线l：x=－2的距离相等，所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，故选：C．【题型2抛物线的图象及其性质】【典题】（1）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M，N在抛物线上，且M，N，F三点共线点【解析】如图，分别过M，N作ME，由PN→=由抛物线定义可知NF=NG再由△PNG∽△PME，得∴MF=2NF，则NF=1∴p故答案为：23【点拨】①本题主要利用了相似三角形的性质(A字型)与抛物线的定义得到各线段的比值关系，平时解题中要多观察图象；②题中线段过多，显得有些乱，其实在考试的非解答题中，遇到这类似问题，由于题目中没出现任一线段长度，确定p|MF|=FKME后，可设某一线段等于一具体数值，比如本题设PN=1(其实令【典题】（2）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点【解析】如图所示：连接MF，∵y2=4x的焦点为F，准线为∴FH=2∵M，N分别为PQ∵PQ垂直l于点Q∴四边形MQFR是平行四边形，∵PQ=PF，∠∴MF⊥PQ，∴四边形MQHF是矩形，∴FR=MQ=2，故答案为：2．【点拨】①△PQF为等边三角形⇒三线合一：MF⊥PQ②M，N分别为PQ，【典题】（3）已知F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，K为C的准线与x轴的交点，点P在抛物线C上，设∠①β的最大值是π4；②tanβ=sinθ；③存在点P，满足其中正确结论的序号是．【解析】①由于对称性，不妨设点P在第一象限，设点P(m,n)，则n当直线PK与抛物线相切时，可使β取得最大值．可设直线PK方程为y=k(x+p由y=k(x+p2则∆=k∵β是锐角，∴tanβ=k=1⇒β=π4②过P作PQ⊥x轴于点Q，在Rt△PQK中在Rt△PQF中，∴tanβ=sinθ，即②③在△PKF中，由正弦定理知，若α=2β，则m+p故存在点P符合题意，即③正确．故答案为：①②③．【点拨】第一问是通过几何法确定直线PK与抛物线相切时，可使β取得最大值；第二问，涉及到三角函数tanβ、sinθ之类的，可想到构造直角三角形；第三问，是否存在点P，用了假设法确定m是否在自身范围之内，即m>0与否.巩固练习1.如图过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若A．2 B．32 C．3 D．6【答案】B【解析】过A，B|BC|=2|BF|=2BM，∠MCB=30°所以F为AC的中点，故选：B．2.【多选题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2=4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(xA．x1x2=1C．|PQ|=254 D．l1与【答案】ABC【解析】如图所示，由题意可得，点P的坐标为(14,1)∴x1x∴kPQ=由抛物线的定义可知，|PQ|=x1∵l1与∴l1与l2之间的距离d=|故选：ABC．3.已知点A(0,4)，抛物线C：x2=2py(0<p<4)的准线为1，点P在C上，作PH⊥l于H，【答案】x2【解析】设抛物线的焦点为F(0,p2)，∵|PH|=|PA|，不妨设点P在第一象限，过点P作PQ⊥y轴于点Q则Q为AF的中点，∵∠APH=120°，∴∴|PQ|=3∴点P的坐标为(∵点P在抛物线C上，化简得5p2+112p－192=0∴抛物线方程为x24.【多选题】已知抛物线x2=1A．点F的坐标为(18，B．若直线MN过点F，则xC．若MF→=λNF→，D．若|MF|+|NF|=32，则线段MN的中点P到x【答案】BCD【解析】抛物线x2=12y的焦点为F根据抛物线的性质可得：MN过F时，则x1x2若MF→=λNF→，则|MN|抛物线x2=12过点M、N、P分别作准线的垂线MM'则|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|所以|PP'|=所以线段MN的中的P到x轴的距离为|PP'|−18=故选：BCD．5如图，点A是曲线y=x2+2(y≤2)上的任意一点，P(0,－2)，Q(0,2)，射线QA交曲线y=18x2于B点，BC垂直于直线y=3A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确【答案】A【解析】曲线y=x2为双曲线y22−x2由双曲线定义知，||AP|－|AQ||=22，又曲线y=18x2即抛物线x过B作BD垂直直线y=－2于D由抛物线定义，知|QB|+|BC|=|BD|+|BC|=|CD|=5，②故选：A．【题型3最值问题】【典题】（1）已知O是坐标原点，A，B是抛物线y=x2A．|OA|∙|OB|≥2B．|OA|+|OB|≥2C．直线AB过抛物线y=x2的焦点 D．O到直线AB【解析】设A(∵OA⊥OB，∴OA∴OA∴1+x∴OA=1+当且仅当x12=1x又|OA|+|OB|≥2|OA|⋅|OB|≥22，∵直线AB的斜率为x∴直线AB的方程为：y－x当x=0时，y=1，焦点坐标(0,14)不满足直线AB原点(0,0)到直线AB：(x1−故选项D正确，故选：ABD．【点拨】①题中垂直关系相当了向量数量积为0，②本题求最值用了基本不等式a+b≥2ab【典题】（2）若点P是曲线C1：y2=16x上的动点，点Q是曲线C2：x－42+y2=9【解析】设P的坐标(x,y),由抛物线的方程y2可得焦点F(4,0),恰好为圆：x－42+因为P在抛物线上，所以|OP|=|PQ|的最小值为P到圆心的距离减半径3，即P到准线的距离减3(P、Q、F三点共线时取到)，所以|PQ|=x+4－3=x+1，所以|设t=x+1，则x=t－1，所以PQ当t=157，即x=87所以|PQOP|故答案为：158【点拨】求PQOP的最小值，而它是由两个动点P、Q(1)可先假设点P是定点，思考点Q在哪里PQOP取到最小值(此时两动点问题变成了一动点问题)，而P是定点，OP是确定的，由抛物线定义可知PQmin(2)接着再思考点P在哪里PQOP取到最小值，即思考x为何值时，巩固练习1.若点A为抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|=6，点P为直线x=－1【答案】221【解析】由题意可知，由抛物线的定义可知，代入抛物线方程，得yA2=20，设点F关于x=－1的对称点为E，则∴|PA|+|PF|=|PA|+|PE|≥|AE|=(5+32.已知点Q(22,0)及抛物线y=x24上一动点P(【答案】2【解析】用抛物线的定义：焦点F(0,1)，准线设P到准线的距离为dy0(当且仅当F、Q、P共线时取等号)故y0+|PQ|的最小值是故答案为：2．3.已知点M(2,0)，点P在曲线y2=4x上运动，点F为抛物线的焦点，则|PM【答案】4【解析】设P(x,y)，可得|PM当且仅当x=2时取得最小值4．4.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，M(x1,y1【答案】π3【解析】∵抛物线方程为：y2=4x设P(m,n)(m>0)，则Q(0,n),∴PQ∴当m=12时，5.已知点P是抛物线y2=4x上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(－1,0)，则【答案】2【解析】由抛物线的方程y2=4x可得焦点过抛物线上的点P作PD垂直于准线交于D点，由抛物线的性质可得PF=PD在△PAD中，所以PDPA最小时，则cos∠PAF最小，则∠PAF而∠PAF最大时即过点A的直线与抛物线相切，设P(x,y)在第一象限，y>0，由y所以在P处的切线的斜率为1整理可得：2x=x+1，解得x=1，代入抛物线的方程可得y=2所以PFPA的最小值为故答案为：22．一、单选题1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故.故选：D.2．（2007·山东·高考真题）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点做轴，令，则，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解即可.【详解】如图所示过点做轴，令，因为是抛物线的焦点，与轴正向的夹角为，所以由抛物线的性质得，解得，所以，故选：B3．（2007·全国·高考真题）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（

）A．9 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】设出三点的坐标，把（三个焦半径之和）转化为三个点线距之和，用上条件即可求解.【详解】解：设点的坐标分别为．又，则，，．由抛物线的定义可得：，，故选：B4．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：C.5．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.二、多选题6．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

7．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.三、填空题8．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.【答案】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.9．（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为．【答案】【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．当时，同理可得．故答案为：．10．（2005·重庆·高考真题）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是.（填写所有正确选项的序号）①菱形;②有3条边相等的四边形;③梯形;④平行四边形;⑤有一组对角相等的四边形.【答案】②③⑤【分析】根据具体的情况在抛物线上进行分析,画图即可得到结果.【详解】解:关于选项A,因为菱形是4条边相等,而且对角线垂直,但是抛物线只有一个顶点,所以无法做到两条直线垂直,且各边长度相等,最多三边相等,故①错误,②正确;因为梯形是只有上底和下底平行,作两条垂直于对称轴的直线交抛物线于四点,顺次连接,即可得到,故③正确;连接抛物线上四点,只有垂直于对称轴的直线平行,其他的不可能做到平行且相等,故④错误;以一个点为顶点做两条射线交抛物线于两点,剩下的角有一个角取值,故⑤正确.故答案为:②③⑤11．（2020·山东·统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于.【答案】【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.【详解】由题意知：抛物线方程为：在抛物线上，所以在双曲线上，，又，故答案为：四、解答题12．（2008·浙江·高考真题）已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹．l是过点的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，，轴（如图）．(1)求曲线C的方程；(2)求出直线l的方程，使得为常数．【答案】(1)(2)2x−y＋2＝0【分析】（1）设N（x,y）为C上的点，进而可表示出|NP|，根据N到直线的距离和|NP|进而可得曲线C的方程．（2）先设，直线l：y＝kx＋k,进而可得B点坐标，再分别表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根据求得k.【详解】（1）设N（x,y）为C上的点，则，N到直线的距离为．由题设得，化简，得曲线C的方程为．（2）设，明显直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋k，则B（x,kx＋k），从而．在Rt△QMA中，因为，．所以，∴，．当k＝2时，，从而所求直线l方程为2x−y＋2＝0，使得为常数13．（2003·上海·高考真题）在以O为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点．已知，且点B的纵坐标大于零．(1)求向量的坐标；(2)求圆关于直线对称的圆的方程；(3)是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围．【答案】(1);(2);(3)存在实数，.【分析】（1）设出要求的向量的坐标，根据所给的模长的关系和直角三角形两条直角边垂直的关系，写出关于向量坐标的关系式，解方程，舍去不合题意的结果，得到向量的坐标.（2）要求圆关于直线的对称圆，只要求出圆心关于直线的对称点即可，先根据向量的坐标求出点的坐标，从而求出直线的方程,通过计算得到结果.（3）设出抛物线上关于直线的对称的两个点，两个点的中点在直线上且两点连线与已知直线垂直，写出所设的点的关系，构造一元二次方程，根据方程有解用判别式得到结果.【详解】（1）设，则由,得，解得或.因为，所以，解得，得，所以.（2）由，得，于是直线方程为，由，得，得圆心为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以所求圆的方程为（3）存在实数,理由如下：设为抛物线上关于直线对称两点，则，得，即为方程的两个相异实根，于是由，得.所以当时，抛物线上总有关于直线对称的两点.故实数的取值范围为.14．（2005·上海·高考真题）已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离为5，过A作轴，垂足为B，OB的中点为M．(1)求抛物线的方程；(2)过M作，垂足为N，求点N的坐标；(3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析.【分析】（1）根据抛物线的定义有求p，即可得抛物线方程.（2）由题设可得、、，写出直线、直线，联立求它们的交点坐标即可.（3）讨论、两种情况下的直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离和半径的大小关系得出位置关系．【详解】（1）由题设，，则，故抛物线的方程为.（2）由（1）及已知可得：，故，而，所以直线为，故直线为，则，解得，故.（3）由题意，圆M的圆心是，半径为2．当时，直线AK为，此时直线AK与圆M相离，当时，直线AK为，即，圆心M到直线AK的距离，当，即时直线AK与圆M相离；当，即时直线AK与圆M相切；当，即时直线AK与圆M相交．15．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，据此整理可得点的轨迹方程为，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为．设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为．设直线的斜率为k，则．令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设．因为，所以．于是，所以则直线的斜率为．当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.五、双空题16．（2005·北京·高考真题）抛物线的准线方程是．焦点坐标是．【答案】【分析】根据抛物线准线和焦点坐标的定义直接得到答案.【详解】抛物线，则，准线方程是，焦点坐标是.故答案为：；一、单选题1．抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】设出P的横坐标为，利用条件列出方程，去掉不合题意的解，求出.【详解】由题意得：，准线方程为，设点P的横坐标为，，由抛物线的定义可知：则，解得：或（舍去），从而点P的横坐标为1故选：A2．过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（

）A． B． C．18 D．20【答案】B【分析】依题意抛物线的准线为，即可求出，从而求出抛物线方程，再由，求出，从而求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再根据焦半径公式计算可得.【详解】依题意抛物线的准线为，即，解得，所以抛物线方程为，则焦点为，又，所以，解得，所以，所以，所以直线的方程为，由，消去整理得，解得、，即，所以.故选：B3．抛物线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简得，即得焦点坐标.【详解】由题得，所以抛物线的焦点坐标为.故选：C4．抛物线的焦点与圆C：上动点的距离的最小值为（

）A．7 B．3 C． D．1【答案】B【分析】确定抛物线的焦点坐标，以及圆的圆心和半径，根据抛物线的焦点与圆C：上动点的距离的最小值为：,求得答案.【详解】抛物线的焦点为，圆C：即，圆心为,半径，则抛物线的焦点与圆C：上动点的距离的最小值为：,故选：B5．已知A，B两点在以F为焦点的抛物线上，并满足，过弦AB的中点M作抛物线对称轴的平行线，与OA交于N点，则MN的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知结合抛物线的性质，求得坐标，进而求得坐标，即可得解.【详解】由，利用抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，作垂直于抛物线准线，垂足分别为，作于C,如图所示，设，由抛物线的定义知,在中，，则,所以，所以直线AB的方程为,与抛物线的方程联立得，解得，,所以，，故AB的中点,直线OA的方程为，令，得，所以MN的长为故选：C6．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，在准线上的射影为，，则等于()．A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：由抛物线的定义及内错角相等，可得∠AFA1=∠A1FK，同理可证∠BFB1=∠B1FK，由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°，可得答案．解答：解：如图：设准线与x轴的交点为K，∵A、B在抛物线的准线上的射影为A1、B1，由抛物线的定义可得，AA1=AF，∴∠AA1F=∠AFA1，又由内错角相等得∠AA1F=∠A1FK，∴∠AFA1=∠A1FK．同理可证∠BFB1=∠B1FK．由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°，∴∠A1FK+∠B1FK=∠A1FB1=90°，故选B．二、多选题7．平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（

）A．曲线的方程为B．曲线关于轴对称C．当点在曲线上时，D．当点在曲线上时，点到直线的距离【答案】AC【分析】根据抛物线的定义可判断曲线C为抛物线，求出其方程，结合抛物线的性质一一判断各选项，可得答案.【详解】由抛物线定义，知曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线，则焦准距，故其方程为，故A正确；抛物线关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误；由知，故C正确；当点在曲线上时，由于抛物线开口向上，当点位于原点时，到直线l的距离最小为1，故点P到直线l的距离，所以D错误，故选：.8．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N.下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则MB平分C．若，则 D．若，延长交直线于点D，则D，B，N三点共线【答案】CD【分析】对AB：根据已知条件，求得的坐标，结合抛物线焦点弦的计算，以及的长度关系，即可判断；对CD：根据已知条件，求得的坐标，即可求得，再结合直线的方程，求得的坐标，即可判断.【详解】对A：若，则抛物线方程为，其焦点坐标为，由题可知，此点坐标为，又三点共线，则直线的斜率，故直线的方程为，联立抛物线方程可得：，即，解得，即，代入抛物线方程可得，则点的坐标为，故，故A错误；对B：根据题意，作图如下：根据选项A中所求可得，又，故，则△中，，又//，，则，即不平分，故B错误；对C：若，此时抛物线方程为，则焦点坐标为，则点坐标为，又三点共线，且所在直线为，对，令，解得或，即，则点的坐标，故，C正确；对D：根据题意，作图如下：根据选项C中所求，点坐标为，故直线的方程为：，联立可得，，即点的坐标为，又点的坐标我，且与轴平行，故三点共线，D正确.故选：CD.三、填空题9．抛物线过点，则抛物线的焦点坐标为．【答案】/【分析】利用待定系数法，即可求出，再根据抛物线焦点的概念，即可求出结果.【详解】因为抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：.10．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为.【答案】2【分析】求出双曲线的渐近线与准线的焦点坐标，利用的面积，找到的关系式，即可求出离心率.【详解】因为双曲线的两条渐近线为,抛物线的准线为，所以，因为的面积为,所以故答案为：11．已知圆：和抛物线：，请写出与和都有且只有一个公共点的一条直线的方程.（写出一条即可）【答案】（或，或，或，或，或，写出一个即可）【分析】所求直线l方程可设为，利用其与圆相切和与抛物线有且只有一个公共点列方程即可求得的值，进而得到直线的方程.【详解】圆：的圆心，半径，由题意可得所求直线l斜率存在，其方程可设为，由，整理得，当时，方程可化为，方程组有一组解，又直线与圆相切，则，或；当时，由直线l与抛物线相切可得，，即，又由直线l与圆相切可得，，即联立，整理得解之得或或或则直线l方程为或或或综上，直线l方程为或，或，或，或，或，故答案为：（或，或，或，或，或，写出一个即可）12．已知抛物线E：的焦点为F，直线l的倾斜角，l与抛物线交于，两点，且，过F作l的垂线，垂足为D，P为抛物线上任意一点，则的最小值为．【答案】8【分析】先设出直线l的方程并代入抛物线方程，再利用根与系数的关系及已知条件得到直线l过点，进而得到D在以FG为直径的圆的上运动，最后利用抛物线的定义、三角形的三边关系及垂线段最短求解．【详解】如图，设直线l与x轴的交点为，则可设l的方程为，联立，整理得，∴，，∴，∴或（舍去），G的坐标为．∵，直线l的倾斜角，点D在以FG为直径的圆的上运动分别过P