2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练(新高考专用)重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】(解析版)

重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】【新高考专用】基本不等式是每年高考的必考内容，是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看，高考题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.【知识点1利用基本不等式求最值的解题策略】1．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．2．常见的求最值模型(1)模型一：，当且仅当时等号成立；(2)模型二：，当且仅当时等号成立；(3)模型三：，当且仅当时等号成立；(4)模型四：，当且仅当时等号成立.3．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1．基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.【题型1直接法求最值】【例1】（2024·北京东城·一模）已知x>0，则x−4+4x的最小值为（

）A．－2 B．0 C．1 D．2【解题思路】由基本不等式求得最小值．【解答过程】∵x>0，∴x+4x−4≥2x×4故选：B．【变式1-1】（2024·甘肃定西·一模）x2+7A．27 B．37 C．47【解题思路】利用基本不等式即可得解.【解答过程】由题意知x≠0，所以x2所以x2当且仅当x2=7故选：B.【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知ab为正数，则2ab+bA．有最小值，为2 B．有最小值，为2C．有最小值，为4 D．不一定有最小值【解题思路】利用基本不等式计算可得.【解答过程】因为ab为正数，所以ab>0，所以2ab+ba≥2所以2ab+b故选：B.【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）3+1x2A．93 B．7+42 C．83【解题思路】依题意可得3+1【解答过程】3+1当且仅当1x2=12故3+1x2故选：D.【题型2配凑法求最值】【例2】（2024·全国·模拟预测）函数y=x2+A．2 B．5 C．6 D．7【解题思路】由基本不等式即可求解.【解答过程】由x2>5可得x2当且仅当x2−5=1故选:D.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知a>0,b>0，则a+2b+4a+2b+1的最小值为（A．6 B．5 C．4 D．3【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由于a>0,b>0，所以a+2b+1>0，由a+2b+4（当且仅当a+2b=1时取等号），可得a+2b+4故选：D．【变式2-2】（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设x>2，则函数y=4x−1+4x−2，的最小值为（A．7 B．8 C．14 D．15【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为x>2，所以x−2>0，所以y=4x−1+4当且仅当4x−2=4所以函数y=4x−1+4故选:D．【变式2-3】（2024·山西忻州·模拟预测）已知a>2，则2a+8a−2的最小值是（A．6 B．8 C．10 D．12【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.【解答过程】因为a>2，所以a−2>0所以2a+8当且仅当2a−2=8所以2a+8a−2的最小值为故选：D.【题型3常数代换法求最值】【例3】（2024·河北·模拟预测）已知非负实数x,y满足x+y=1，则12x+1A．3+222 B．3+224 【解题思路】根据x+y=1，化简求得12x+1+y=1，得到1【解答过程】因为x+y=1，可得x+y+1=2，即12又因为非负实数x,y，所以x>0，y+1>0，则1≥1当且仅当1+y2x=x所以12x+1故选：B．【变式3-1】（2024·云南大理·模拟预测）已知a≥0，b≥0且2a+b=1，则9a+1+1A．4 B．6 C．8 D．10【解题思路】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可.【解答过程】9=≥10+29a+ba+1⋅故选:C.【变式3-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知x>0，y>0，且2x+y=1，则x+yxy的最小值为（

A．4 B．42 C．6 D．【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【解答过程】因为x>0，y>0，且2x+y=1，所以x+yxy当且仅当2xy=yx，即故选：D.【变式3-3】（2024·四川成都·模拟预测）若a,b是正实数，且13a+b+12a+4b=1A．45 B．23 C．1 【解题思路】观察等式分母可知3a+b+【解答过程】因为a+b==1当且仅当a=3所以a+b的最小值为45故选：A.【题型4消元法求最值】【例4】（2024·全国·模拟预测）已知x,y,z∈0,+∞，且满足x−2y+3z=0．则y2A．12 B．6 C．9 D．3【解题思路】消元后用基本不等式求得最小值．【解答过程】因为x,y,z∈0,+∞，且满足x−2y+3z=0．即所以y2xz=(x+3z)24xz=故选：D．【变式4-1】（2024·北京·模拟预测）设正实数x、y、z满足4x2−3xy+y2A．0 B．2 C．1 D．3【解题思路】计算得出xyz=1【解答过程】因为正实数x、y、z满足4x2−3xy+则xyz=xy故xyz的最大值为1故选：C.【变式4-2】（2024·浙江绍兴·三模）若x,y,z>0，且x2+xy+2xz+2yz=4，则4．【解题思路】由题意可借助x、y表示出z，从而消去z，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.【解答过程】由x2+xy+2xz+2yz=4，则即2x+y+2z=2x+y+==x+y+4当且仅当x+y=4x+y，即故答案为：4.【变式4-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz+xz+x+z=6，则3x+2y+z的最小值是4【解题思路】因式分解得到x+z=6x+y+1，变形后得到【解答过程】因为x,y,z为正实数，故x2即xx+z3x+2y+z=2=2x+y+1当且仅当2x+y+1=6x+y+1，即所以3x+2y+z的最小值为43故答案为：43【题型5齐次化求最值】【例5】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且x+y=2，则x+6y+6xy的最小值为（

A．12 B．3+22 C．252 【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得.【解答过程】由x+y=2，则x+6y+6=4当且仅当2xy=9y2x，即故选：C.【变式5-1】（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数x,y满足x+2y=1，则x2+yxyA．122 B．22 C．1【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.【解答过程】x2+yxy=x2则xy+2yx+1≥2故x2+yxy故选：D.【变式5-2】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知xy=1，且0<y<12，则x−4yx2+16【解题思路】由xy=1且0<y<12，可得y=1x(x>2)，可得x−4y>0【解答过程】解：由xy=1且0<y<12，可得y=1又x−4yx当且仅当x−4y=8x−4y，即又xy=1，可得x=2+6即x−4yx2+16故答案为：28【变式5-3】（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知实数x>0，y>0，则(x+1)2+(3y+1)【解题思路】利用分离常数法，把分子降为一次式，再可以利用基本不等式结合条件即得.【解答过程】因为(x+1)2又因为x>0，y>0，所以可由平方均值不等式得：x2取等号条件是x=3y，即x2所以上式可变为：1+2取等号条件是：2x+3y=x+3y2，即可得取到最大值的条件是：x=1,y=1故答案为：2.【题型6多次使用基本不等式求最值】【例6】（2024·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则ab+bca2+2A．12 B．14 C．22【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【解答过程】因为a，b均为正实数，则ab+bc=1当且仅当a2+c2b则ab+bca2+2故选：A．【变式6-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，则当4y+A．1 B．32 C．2 D．【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.【解答过程】因为实数x,y,z>0，满足xy+z所以xy+zx=2≥2xy×z所以4y+1z≥2所以当yz=1且4y=1此时解得y=2z=故选：D.【变式6-2】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且1a+2b=A．3 B．2C．3+22 【解题思路】由题意，根据基本不等式先求解1cd≥1，从而将a+b【解答过程】因为1a+2b=c2+d2=2，所以cd≤c2+d22故选：D.【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+aA．12 B．24 C．22【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【解答过程】因为a为非零实数，a2>0，b，则a=1当且仅当4a2=b2则a2b+a故选：B．【题型7实际应用中的最值问题】【例7】（23-24高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金100g，售货员先将50g砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将A．小于100g B．等于C．大于100g 【解题思路】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项.【解答过程】设天平左、右两边的臂长分别为x，y，设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克，则50x=aybx=50y，解之得a=则顾客购得的黄金为a+b=50x（当且仅当x=y时等号成立），由题意知，x≠y，则a+b>100克.故选：C.【变式7-1】（24-25高三上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：元）与x成正比；若在距离车站6km处建仓库，则y2A．2km B．3km C．4km D．5km【解题思路】设y1=k【解答过程】由题意设y1=k由于在距离车站6km处建仓库，则y2=4y两项费用之和为y=y当且仅当9k2x即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.故选：B.【变式7-2】（24-25高一上·四川泸州·期中）如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形花室．(1)若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值；(2)若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值．【解题思路】（1）由题意得面积表达式结合表达式性质以及二次函数性质即可得解；（2）由基本不等式即可得解.【解答过程】（1）设每间花室与墙体垂直的围墙的边长为a米，与墙体平行的围墙的边长为b米．因为栅栏的总长为120米，所以3a+2b≤120，其中0<a<40，0<b<60，则a≤120−2b每间花室的面积S=ab≤120−2b因为120−2bb当且仅当a=20，b=30时，等号成立，所以每间花室面积的最大值为600平方米．（2）因为每间花室的面积为150平方米，所以ab=150，则b=150栅栏的总长l=3a+2b=3a+300当且仅当a=10，b=15时，等号成立，故栅栏总长的最小值为60米．【变式7-3】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计6400元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为x6≤x≤12(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为320a1+xxa>0【解题思路】（1）设甲工程队的总报价为y元，根据题意可得出y关于x的函数关系式，利用基本不等式可求出y的最小值，利用等号成立的条件求出x的值，即可得出结论；（2）根据题意可得出320x+100x+6400>320a1+xx，可知，a<【解答过程】（1）解：设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为x6≤x≤12则长方体前面新建墙体的长度为100x所以y=160×2x×1+320×100即y=320x+当且仅当x=100x时，即故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12800元.（2）解：由题意可知，320x+即x+100x+20>所以x+102x>a1+xx+102当且仅当x+1=81x+1时，即x=8时，x+102则0<a<36，即a的取值范围是0,36.【题型8与其他知识交汇的最值问题】【例8】（23-24高三上·山西运城·阶段练习）在△ABC中，已知AB→⋅AC→=9，b=c⋅cosA，△ABC的面积为6，若P为线段AB上的点（点P不与点AA．9 B．34 C．914 【解题思路】先根据题意得bccosA=9，bcsinA=12，进而得tanA=43，sinA=45，cosA=35，bc=15，b=【解答过程】解：因为AB→⋅AC因为△ABC的面积为6，所以bcsin所以tanA=所以sinA=45，cos由于b=c⋅cos所以b=3所以c=5,b=3，所以由余弦定理得：a2=b所以CP→因为P为线段AB上的点（点P不与点A，点B重合），所以x3+y所以x所以1=5当且仅当3y+212x=x所以1x故选：C.【变式8-1】（2020·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2A．4 B．8 C．16 D．32【解题思路】因为C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D【解答过程】∵C:∴双曲线的渐近线方程是y=±∵直线x=a与双曲线C:x2a2−不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=故D(a,b)联立{x=ay=−故E(a,−b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S∵双曲线C:∴其焦距为2c=2当且仅当a=b=22∴C的焦距的最小值：8故选：B.【变式8-2】（23-24高三·全国·阶段练习）在ΔABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且acos（1）求角A的大小；（2）若a=3，求bc【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，再由两角和的正弦公式即可求出tanA，结合角A（2）由（1）知，结合余弦定理得到关于b,c的方程，利用基本不等式即可求解.【解答过程】（1）因为acos利用正弦定理可得，sinA即sinA+CtanA=所以sinπ−BtanA=因为0<B<π，所以sinB≠0，tan因为0<A<π，所以A=π（2）由（1）及余弦定理可得，a2=b所以3=b2+所以bc的最大值为3.【变式8-3】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置，基本不等式a+b2≥aba>0,b>0就是最简单的平均值不等式.一般地，假设a1,a2,⋅⋅⋅,an为n个非负实数，它们的算术平均值记为An=(1)已知x>y>0，求x+8(2)已知正项数列an，前n项和为S（i）当Sn=1时，求证：（ii）求证：Πi=1【解题思路】（1）凑配成三个数的均值不等式；（2）（i）对1+ai=a1【解答过程】（1）x−y+y+当且仅当x−y=y=8yx−y则x+8（2）（i）证明：因为a1所以由均值不等式可得1+ai=1−ai=a1（ii）证明：因为Gn所以1+a11+a=1+C因为n!=n−i所以Cn从而证明成立．一、单选题1．（2024·河北·模拟预测）已知x>1，y>0，且1x−1+1y=1A．13 B．15+552 C．14 【解题思路】由4x+y=4x−1【解答过程】∵x>1，∴x−1>0，又y>0，且1x−1∴4x+y=4≥9+2y当且仅当1x−1+1y=1故选：A.2．（2024·四川绵阳·一模）已知x>0,y>0，且满足x+y=xy−3，则xy的最小值为（

）A．3 B．23 C．6 【解题思路】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy的范围，从而求得xy的最小值.【解答过程】x+y=xy−3≥2xyxy2xy−3≥0,xy≥9当且仅当x=y=3时等号成立，所以xy的最小值为9.故选：D.3．（2024·江苏宿迁·一模）若a>0,b>0,a+2b=3，则3a+6A．9 B．18 C．24 D．27【解题思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.【解答过程】根据题意可得3a当且仅当6ab=6b此时3a故选：A.4．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（

）A．若正实数a,b满足a+b=1，则1aB．若正实数a,b满足a+2b=1，则2C．y=x2D．若a>b>1，则ab+1<a+b【解题思路】对于A，利用1a+1b=a+b1a+1b【解答过程】对于A，若正实数a,b满足a+b=1，则1a+1b=a+b1a+1b对于B，若正实数a,b满足a+2b=1，则2a对于C，设x2+3=t∈[3,+对于D，当a=3，b=2时，有a>b>1，但ab+1=3⋅2+1=7>5=3+2=a+b，故D错误.故选：D.5．（2024·四川成都·三模）设a>b>0，若a2+λb2≤A．2+22 B．4 C．2+2 【解题思路】由不等式可得λ≤a3+【解答过程】因为a>b>0，若a2+λb设t=ab>1则1+(令s=t−1>0，可得t=s+1，所以1+(s+1)2s=s+2所以λ≤2+22即λ的最大值为2+22故选：A．6．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a，b斜边为c（a、b、c均为正数）.则a+b2=4ab+b−a2，a+b2=2cA．9 B．18 C．27 D．36【解题思路】根据题意可得a+b=6,a>0,b>0，结合基本不等式即可得a2【解答过程】由题可知a+b=6,a>0,b>0，则a+b≥2ab，即6≥2ab，所以ab≤9，当且仅当又“赵爽弦图”的面积为a2所以当a=b=3时，“赵爽弦图”的最小面积为18.故选：B.7．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2A．{m∣−1<m<2} B．{m∣m<−1或m>2}C．{m∣−2<m<1} D．{m∣m<−2或m>1}【解题思路】根据题意，利用基本不等式求得x+y4的最小值，把不等式x+y【解答过程】由两个正实数x,y满足4x+y=2xy，得1x则x+y当且仅当4xy=y又由不等式x+y4<m2−m有解，可得所以实数m的取值范围为{m∣m<−1或m>2}.故选：B.8．（2024·山东淄博·二模）记maxx,y,z表示x,y,z中最大的数．已知x,y均为正实数，则maxA．12 B．1 C．2 【解题思路】设M=max2x【解答过程】由题意可知：x,y均为正实数，设M=max2x,1则3M≥2当且仅当x2=4y又因为2x当且仅当2x=1可得3M≥6，即M≥2，所以M=max故选：C.二、多选题9．（2024·贵州铜仁·模拟预测）下列不等式正确的有（）A．当0<x<10时，x10−xB．已知正实数x,y满足x+y=2，则1C．当x>−1时，x+D．函数y=1−2x−3x【解题思路】利用基本不等式及特殊值依次判断选项即可.【解答过程】对选项A，0<x<10，所以10−x>0，则x10−x≤x+10−x22对选项B，取x=1,y=1，满足x+y=2，显然1x对选项C，因为x>−1，x+1>0，所以x+1当且仅当x+1=1x+1，即对选项D，当x<0时，y=1−2x−3当且仅当−2x=−3x，即故选：ACD.10．（2024·广东佛山·一模）已知a，b>0，且ab=a+2b+6，则（

）A．ab的最小值为18 B．a2C．2a+1b的最小值为23【解题思路】对于A，根据基本不等式可得ab=a+2b+6≥22ab+6，进而求解即可判断；对于B，根据基本不等式可得a2+b2≥2ab≥36，验证取等条件即可判断；对于C，由题意可得2a+【解答过程】对于A，由于ab=a+2b+6≥22ab+6，即则ab≥32，即ab≥18，当且仅当所以ab的最小值为18，故A正确；对于B，由a2+b2≥2ab≥36显然不能同时成立，取不到等号，故B错误；对于C，由于ab=a+2b+6，所以有2a当且仅当a=2b=6时等号成立，即2a+1对于D，因为a>0，b=a+6a−2>0所以a+b=a+a+6当且仅当a−2=8a−2，即a=2+22则a+b的最小值为3+42故选：ACD．11．（2024·吉林长春·模拟预测）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若a>0,b>0，则下面结论正确的是（）A．若a>b，则1B．若1a+4bC．若ab+b2D．若a+b=2，则ab有最大值2【解题思路】利用不等式性质判断A；利用“1”的妙用计算判断B；确定b的取值范围，求出a+b范围作答；利用均值不等式计算判断D作答.【解答过程】对于A，a>b>0，则aab>b对于B，a>0,b>0，1a+4当且仅当ba=4a对于C，a>0,b>0，由ab+b2=2得：a=2b对于D，a>0,b>0，a+b=2，则ab≤(a+b2故选：AB.三、填空题12．（2024·海南·模拟预测）已知实数a，b满足ab=2，则a2+4b2的最小值为【解题思路】利用重要不等式计算可得.【解答过程】因为ab=2，所以a2+4b即a2+4b故答案为：8.13．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知x>0,y>0，且x+y=3，则yx+1+1y的最小值为【解题思路】根据分母特点，将x+y=3化为x+1+y=4，将1y化为【解答过程】由于x+y=3，因此x+1+y=4则yx+1+1当且仅当y=4故答案为：5414．（2024·河南郑州·模拟预测）设a>0，b>0，记M为1a，2．【解题思路】分类讨论1a【解答过程】由a>0，①当1a≥b时，而a+3b+则M的最小值为2；②当1aM=max而b+a+3b>b+M的最小值不小于2.综上，M的最小值为2