湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 含答案

2024~2025学年度云学名校联盟高二年级期末考试数学试卷命题学校：东风高中命题人：审题单位：考试时间:2025年1月16日15:00-17:00时长:120分钟试卷满分:150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线与直线相互垂直，则实数a的值是A.1 B.-1C.2 D.02.圆与圆的位置关系是A.相交B.内切C.外切D.内含3.为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下20组随机数：321453142234511454352115243535422134315221451144332254112523.据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为A.0.45B.0.5C.0.512D.0.554.已知AB是过抛物线的焦点的弦，若|AB|=8，则AB中点的横坐标为A.2B.3 C.4 D.55.已知数列{an}的首项且满足则A.63B.32C.31D.156.在空间直角坐标系中,有A(1,0,0),B(0,2,0),C(1,2,3)三点,则点C到直线AB的距离为B.7.已知圆直线l:,若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则ab=8.如图，椭圆双曲线与C₂有共同的焦点F₁，F₂，它们在第一象限的交点为P，且若C₁的离心率则C₂的离心率B.2D.3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A=“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B=“取出的鞋都是一只脚的”，事件C=“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是A.该试验的样本空间共有6个样本点B.事件A与事件C互为对立事件C.P(B∪C)=P(A)D.事件B与事件C相互独立10.如图,在四面体ABCD中,设下列条件能证明的是A.11..若等差数列{an}的前n项和为Sn,首项为a₁,公差为d,设且,则下列说法正确的是A.若k=6,则当且仅当n=6时,Sn有最大值B.若k=7,则当且仅当n=13时,数列的前n项和有最大值C.若k=8,则的取值范围为D.若函数的对称轴方程为,则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足则13.如图，两条异面直线m，n所成的角为60°，在直线m，n上分别取点A,M和B,N,使AB⊥m且AB⊥n.已知AM=1,BN=1,则线段AB的长为.14.已知双曲线的两个焦点分别为.F₁,F₂(F₂在F₁上方),A,B都在双曲线C的下支上，△ABF₂是正三角形，点F₁到直线AF₂的距离为，则双曲线C的实轴长的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知椭圆的短轴长为2，且过点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若经过椭圆C的右焦点F₂作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积.16.(15分)甲、乙两名同学组成“梦队”与AI人工智能进行比赛.每轮比赛均由甲、乙分别与AI挑战一次，已知甲每次挑战成功的概率为乙每次挑战成功的概率为p(p>0).在每轮比赛中，甲和乙成功与否互不影响，各轮结果也互不影响.“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次的概率为(1)求P的值;(2)求“梦队”在两轮比赛中，挑战成功至少2次的概率.17.(15分)在四棱锥P--ABCD中,侧面PAD是边长为2的正三角形，M是PD的中点，底面ABCD为矩形，且侧面PAD⊥底面ABCD，PB与平面ABCD所成角的正切值为(1)求证:AM⊥平面PCD;(2)求平面ABM与平面PBC夹角的余弦值.18.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且,(1)求a₃和a₄的值，再猜想数列{an}的通项公式，并证明；(2)求数列{|an|}的前n项和Tn;(3)若数列{bₙ}满足求数列的前n项和Rn.19.(17分)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点(1，2)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆是直线族的包络曲线,求的取