2025高考数学二轮复习-专题1 函数与导数-第2讲 基本初等函数、函数的应用【课件】

第2讲基本初等函数、函数的应用专题一2025内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.1.指数运算与对数运算的常用结论

2.指数函数与对数函数的图象和性质

(1)函数y=k·amx+n+p(a>0,且a≠1)的图象经过的定点为,根据a0=1推知

根据loga1=0推知

函数y=k·loga(mx+n)+p(a>0,且a≠1)的图象所经过的定点为

(2)函数y=loga|x|(a>0,且a≠1)是偶函数,图象关于y轴对称,当a>1时,在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增;当0<a<1时,在区间(-∞,0)内单调递增,在区间(0,+∞)内单调递减.(3)函数y=|logax|(a>0,且a≠1)是非奇非偶函数,图象在x轴上方及x轴上,在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.底数0<a<1与a>1时结论相同

3.函数的零点问题(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.4.应用函数模型解决实际问题的一般步骤

关键能力•学案突破突破点一指数与对数运算[例1-1]已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(

)C[例1-2]青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(

)A.1.5 B.1.2

C.0.8

D.0.6C解析

由题意L=5+lg

V,当L=4.9时,有4.9=5+lg

V,lg

V=-0.1,规律总结指数、对数运算的常用方法与技巧(1)将指数式与对数式进行互化,构造同底数的对数或指数式.(2)逆用对数的运算性质,将同底数对数的和、差、倍化简.(3)当对数的底数不同但真数相同时,可以取倒数,将其化为同底数的对数再进行运算.(4)运用换底公式,转化对数的底数,再进行化简.对点练1深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为

,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为22,且当训练迭代轮数为22时,学习率衰减为0.45,则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(

)(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)A.11 B.22

C.227

D.481D突破点二基本初等函数的图象与性质[例2-1]当0<a<1时,在同一平面直角坐标系中,函数y=a-x+1与y=-loga(x-1)的图象大致是(

)B解析

由于0<a<1,所以y=a-x=在R上单调递增,且其图象过点(0,1),将其图象向右平移1个单位长度,得y=a-x+1的图象;y=-logax在区间(0,+∞)内单调递增,且其图象过点(1,0),将其图象向右平移1个单位长度,得y=-loga(x-1)的图象,故选B.[例2-2](多选题)已知函数f(x)=log2(1+4x)-x,则下列说法正确的是(

)A.函数f(x)是偶函数B.函数f(x)是奇函数C.函数f(x)在区间(-∞,0]内单调递增D.函数f(x)的值域为[1,+∞)AD则f(-x)=log2(2-x+2x)=f(x),所以f(x)是偶函数,因此A选项正确,B选项错误;令g(x)=2x+2-x,则g'(x)=2xln

2-2-xln

2=ln

2(2x-2-x),当x≤0时,g'(x)≤0且不恒为零,所以g(x)在区间(-∞,0]内单调递减,于是f(x)=log2g(x)在区间(-∞,0]内单调递减.故C选项错误;技巧点拨基本初等函数的图象与性质应用技巧(1)指数函数与对数函数的图象分别经过定点(0,1)和(1,0),在进行图象识别与判断中注意对图象所经过定点的分析.(2)与指数函数和对数函数有关的函数的奇偶性,在利用定义判断时,注意对f(-x)表达式的变形与转化,以便得出f(x)与f(-x)的关系.(3)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.对点练2(1)已知

,b=log910,c=lg11,则(

)A.b>c>a B.c>b>aC.b>a>c D.c>a>bAA.函数f(x)的定义域为RB.函数f(x)在R上为增函数C.函数f(x)的值域为(-3,+∞)D.函数f(x)只有一个零点AC解析

对于选项A,由已知可得函数定义域为R,故A正确;对于选项B,当x<1时,函数f(x)单调递增,当x≥1时,函数f(x)单调递增,但41-3=1>ln

1=0,所以函数在R上不单调,故B错误;对于选项C,当x<1时,-3<f(x)<1,当x≥1时,f(x)≥0,所以函数f(x)的值域为(-3,+∞),故C正确;对于选项D,当x<1时,令4x-3=0,解得x=log43,当x≥1时,令ln

x=0,解得x=1,故函数f(x)有两个零点,所以D错误.故选AC.突破点三函数的零点及其应用命题角度1确定函数零点的个数或范围[例3-1]函数f(x)=ex+x-2的零点所在区间为(

)A.(-1,0)

B.(0,1)C.(1,2)

D.(2,3)BB[例3-2]已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=x,f(1+x)=f(1-x),令g(x)=f(x)-lgx,则函数g(x)的零点个数为(

)A.4 B.5C.6 D.7B解析

由f(1+x)=f(1-x)可得,f(x)的图象关于直线x=1对称.因为f(1+x)=f(1-x),f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以函数f(x)以4为周期,在同一直角坐标系中作出f(x),y=lg

x的图象如下.

g(x)=f(x)-lg

x的零点个数即方程f(x)=lg

x的根的个数,也即f(x)的图象与y=lg

x图象的交点个数.因为lg

9<1,lg

10=1,所以数形结合可得f(x)的图象与y=lg

x图象的交点个数为5.方法点拨函数零点个数的判断方法(1)直接法求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则方程有几个解,函数f(x)就有几个零点.(2)零点存在性定理:若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则结合函数的性质(如单调性、奇偶性)即可确定函数f(x)零点的个数.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画出两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.(4)形如f(g(x))的函数,可采用换元法,先令g(x)=t,求得当f(t)=0时t的值,然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时x的值的个数即为f(g(x))的零点的个数,解答时注意数形结合,注意对函数f(x)与g(x)图象及性质的分析.对点练3B图1图2(2)已知函数f(x)=2x+x+1,g(x)=log2x+x+1,h(x)=x3+x+1的零点分别为a,b,c,则(

)A.f(a)>f(b)>f(c)

B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)

D.f(b)>f(a)>f(c)B解析

由f(x)=2x+x+1=0,得2x=-x-1,所以a为y=2x与y=-x-1图象交点的横坐标.由g(x)=log2x+x+1,得log2x=-x-1,所以b为y=log2x与y=-x-1图象交点的横坐标.由h(x)=x3+x+1=0,得x3=-x-1,所以c为y=x3与y=-x-1图象交点的横坐标.在同一直角坐标系中分别作出y=2x,y=log2x,y=x3和y=-x-1的图象,由图象可得a<c<b,因为y=2x和y=x+1在R上单调递增,所以f(x)=2x+x+1在R上单调递增.所以f(b)>f(c)>f(a).故选B.命题角度2根据函数零点求参数的取值范围D解析

由函数y=f(x)-a有两个零点,可得y=f(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点.方法点睛已知函数有零点(方程有根),求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法.直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法.先将参数分离,转化成求函数的值域问题进行求解.(3)数形结合法.先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.对点练4D解析

由题意可知x=0为g(x)的一个零点.函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,即函数f(x)与h(x)=|kx2-2x|(k∈R)的图象有4个交点,其中(0,0)为一个交点.当x>0时,由x3=|kx2-2x|可得x2=|kx-2|;当x<0时,由-x=|kx2-2x|可得1=|kx-2|.令φ(x)=

(x)=|kx-2|,即函数φ(x)与μ(x)的图象有3个交点.图1图2突破点四函数模型及其应用[例4]长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=(水库实际蓄水量)÷(水库总蓄水量)×100)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下:a.调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100];b.调度后每座水库的蓄满指数都不能降低;c.调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.②④

方法总结函数模型应用问题的两个关键点(1)正确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行抽象概括,将实际问题转化为数学问题.(2)合理建立函数模型,选取恰当的变量,寻找变量之间的内在联系,用恰当的代数式表示变量之间的关系,然后利用函数知识解决数学问题,从而解决实际问题.对点练5中国茶文化博大精深,茶