中考数学二轮培优训练第17讲 解直角三角形中的“拥抱”型（解析版）

第17讲解直角三角形中的“拥抱”型【应对方法与策略】【模型展示】【多题一解】一、解答题1．（2017·陕西·中考真题）某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长（结果精确到1米）．（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）【答案】34米．【详解】试题分析：作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，则BD=CE=x米，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．试题解析：如图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，则BD=CE=x米，在Rt△MBD中，MD=x•tan23°，在Rt△MCE中，ME=x•tan24°，∵ME﹣MD=DE=BC，∴x•tan24°﹣x•tan23°=1.7﹣1，∴x=，解得x≈34（米）．答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．2．（2022秋·全国·九年级期末）如图,某幢大楼顶部有广告牌CD,小宇身高MA为1.89米,他站在立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°;接着他向大楼前进15米,站在点B处测得广告牌顶端点C的仰角为45°.(1)求这幢大楼的高DH;(2)求这块广告牌CD的高度.(取≈1.732,计算结果保留一位小数)【答案】（1）楼高DH为27.9米；（2）广告牌CD的高度为4.0米.【分析】在Rt△DME与Rt△CNE；应利用ME-NE=AB=15构造方程关系式，进而可解即可求出答案．【详解】解:(1)在Rt△DME中,ME=AH=45;由tan30°=,得DE=45×≈15×1.732=25.98;又因为EH=MA=1.89,故大楼DH=DE+EH=25.98+1.89=27.87≈27.9.(2)在Rt△CNE中,NE=45-15=30,由tan45°=,得CE=NE=30,因而广告牌CD=CE-DE=30-25.98≈4.0.答:楼高DH为27.9米,广告牌CD的高度为4.0米.【点睛】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.3．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物，高为10米.某校数学兴趣小组的同学为了测量山的高度，在公园找了一水平地面，在处测得建筑物点（即山顶）的仰角为，沿水平方向前进20米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为，求山的高度.（结果精确到1米，参考数据：，，）【答案】假山的高度DE约为70米．【分析】过点D作水平线的垂线，利用直角三角形中的三角函数解答即可．【详解】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上，设DE的长为x米，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米，在Rt△ADE中，∠A＝35°，AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x，tanA＝，∴tan35°＝≈，解得：x≈70，答：假山的高度DE约为70米．【点睛】此题是解直角三角形的应用---仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答．4．（2021·吉林·统考模拟预测）宋家州主题公园拟修建一座柳宗元塑像，如图所示，柳宗元塑像（塑像中高者）在高的假山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求柳宗元塑像的高度.（精确到.参考数据：，，，）【答案】柳宗元塑像的高度约为.【分析】在中，利用正切函数的定义求得AC的长，继而求得BC的长，在中，同样利用正切函数的定义求得CD的长，从而求得结果.【详解】在中，∵，，，∴，∴∵∴在中，∵，，，∴，∴∴答：柳宗元塑像的高度约为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－俯角仰角问题，要先将实际问题抽象成数学问题，分别在两个不同的直角三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系.5．（2021·河南·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

【答案】塑像“夸父追日”DE的高度约为10.5米【分析】设，则，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，从而可计算得出DE的值．【详解】解：在Rt△ACD中，，则.设，则在Rt△BCD中，.∴∴

解得：.

在Rt△ACE中，.∴答：塑像“夸父追日”DE的高度约为10.5米.【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，难度不大，但容易在计算上面出错．6．（2020·四川眉山·统考中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度．【答案】小山的高度为米【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高．【详解】解：设为米，则米，∵∴，而米，在中，，则米，米，在中，，解得．答：小山的高度为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是解题的关键．7．（2021秋·云南昆明·九年级云南师大附中校考期末）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73）【答案】炎帝塑像DE的高度约为64m．【分析】根据正切的定义用x表示出BC，再根据正切的定义求出AC，结合图形列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设DE=xm，则DC=(x+54)m，在Rt△DCB中，tan∠DBC=，∴BC===(x+54)，在Rt△ECA中，tanA=，∴AC=≈=90，由题意得，90﹣(x+54)=22，解得，x≈64，答：炎帝塑像DE的高度约为64m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．8．（2020·山西太原·统考模拟预测）山西大学主校区内有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山西大学的标志性建筑之一，目前已被列入保护文物．综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛主席塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表．课题测量毛主席塑像的高度组长：XXX

组员：XXX，XXX，XXX测倾器，皮尺等成员测量工具测量示意图说明：线段的长表示塑像从最高点到地面之间的距离，为测点，线段，表示测倾器（点在上），点，，，，都在同一竖直平面内，且，；、表示两次测量的仰角，点，在上．测量数据测量项目第一次第二次平均值的度数的度数测倾器的高测倾器的高任务：（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛主席塑像的高度；（参考数据：，，，，，）（2）该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器测出仰角，再测出的长来计算塑像高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）【答案】（1）毛主席塑像的高度为；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出．【分析】（1）根据题意ABBC，CEBC，ABEG，ABDF，可推得四边形BCEG与四边形DEGF都是矩形，其中BG=CE=1.70m，，EG=DF，在AEG和ADF分别用正切函数写出对应边的式子，即可求得AG的长度，则AB的长度可求；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC．【详解】解：（1）由题意，得ABBC，CEBC，ABEG，ABDF，∴，∴四边形BCEG与四边形DEGF都是矩形，∴BG=CE=1.70m，，EG=DF，在AEG中，∠AEG=33.5°，∠AGE=90°，且，即，在ADF中，∠ADF=35.0°，∠AFD=90°，，即，∴，即，解得：AG=10.56m，∴AB=AG+BG=10.56+1.70=12.26m，答：毛主席塑像的高度为12.26米．（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，解题的关键是找出两个直角三角形，并运用正切函数写出对应边的比例式子．9．（2021秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°；前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°，再前进4米后到达景区指示牌底部A处，求指示牌的高MN长（结果精确到0.1米，=1.414，=1.732）【答案】MN2.9米【分析】通过两次解直角三角形计算出AN和AM，再根据AM-AN即可求出MN