北师大版七年级数学上册第二章有理数及其运算1

2.1.1有理数北师大版数学七年级上册第二章有理数及其运算导入新知零上5ºC零下5ºC用小学学过的数能表示下列数吗?素养目标2.通过实际例子,感受学习负数的必要性.1.

体会正数和负数与现实生活的联系,会判断正数和负数,会用正数和负数表示实际生活中具有相反意义的量.3.掌握有理数的分类标准,能正确地将有理数进行分类.知识点1用正、负数表示具有相反意义的量探究新知答对答错不回答

某班举行知识竞赛,评分标准是答对一题加1分,答错一题扣1分,不回答得0分;每个队的基本分均为0分.两个代表队答题情况如下表：答题情况第一队第二队

（1）你能用适当的方式表示每个队答题得分的情况吗？试完成下表.答对题的得分答错题的得分未回答题的得分第一队第二队探究新知（2）如果用“＋1”表示答对1题的得分，用“－1”表示答错1题的得分，那么你如何填写（1）中的表？答对题的得分答错题的得分未回答题的得分第一队+6第二队－2－3+8

0

0探究新知探究新知思考：（1）下表是2023年1月1日四个城市的气温情况.你能说出表中各数的实际意义吗？（2）珠穆朗玛峰的海拔大约是8848.86m，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是－154.31m.

8848.86m，

－154.31m的实际意义分别是什么？探究新知（1）“某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？解：沿顺时针方向转了12圈记作－12圈.（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02克，那么－0.03克表示

.

解：－0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量0.03克.例探究新知（3）某大米包装袋上标注着“净含量：10kg±150g”，这里的“10kg±150g”表示什么？解：每袋大米的标准质量应为10kg，但实际每袋大米可能有150g的误差，即最多超出标准质量150g，最少少于标准质量150g.例零上与零下盈利与亏损加分与扣分高出与低于具有相反意义的量总结:具有相反意义的量的特点：（1）成对性；（2）同类性；（3）规定性.探究新知

例

如果一个物体向右移动2米记作移动+2米，那么这个物体又移动了－2米的意思是（

）A．物体又向右移动了2米 B．物体又向右移动了4米C．物体又向左移动了2米 D．物体又向左移动了4米探究新知素养考点具有相反意义的量的表示C方法点拨：表示具有相反意义的量时，首先找到具有相反意义的同类量，然后将其中一个量用正数表示，与其意义相反的量就用负数表示.需注意的是：用正数、负数表示相反意义的量时，一定要说明数量和单位.巩固练习变式训练如果收入1500元记作＋1500元，那么支出2000元记作（

）A．＋500元B．＋2000元C．－500元D．－2000元D知识点2正数和负数的概念探究新知总结：为了表示具有相反意义的量，我们把其中一个量规定为正的；而把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用“﹢”“－”来表示.具有相反意义的量用正数和负数可以表示具有相反意义的量探究新知1.形如8，2.6，150，…这样的数叫做正数.正数＿0（用“＜”“＞”“＝”填空).＞

2.在正数前面加上“－”号的数叫做负数,形如－8,－2.6,

－150，…负数＿0（用“＜”“＞”“＝”填空).＜

素养考点正数、负数的概念例下列给出的各数，哪些是正数？哪些是负数？探究新知

解:22,,0.33是正数;－8.4,

,－9是负数;方法点拨：判断一个数是正数还是负数的方法：从符号上判断，即只含有“+”或省略符号的数（0除外）是正数，数前面有“－”的数是负数，从数的性质上判断，即所有大于0的数都是正数，所有小于0的数都是负数.

巩固练习变式训练

D探究新知海平面记为“0”,高于海平面都记为“正”,低于海平面都记为“负”.瓦罐没有东西了——有了0知识点3“0”的意义探究新知结论:(1)0既不是正数,也不是负数,0是正数与负数的分界点.

(2)0不仅仅可以表示没有,它还可以表示一个确定的量.素养考点“0”的意义例

0这个数(

)A．是正数

B．是负数C．是整数

D．不是有理数方法点拨：正确理解“0”的含义，0既不是正数，也不是负数，但0是整数和自然数.C探究新知巩固练习变式训练数0是（

）A．最小整数B．最小正数

C．最小自然数D．最小有理数C知识点4有理数的概念及分类探究新知

想一想将学过的数进行分类，并与同伴交流.探究新知

整数正整数零负整数负分数分数有理数正分数整数与分数统称为有理数有理数还有没有其他的分类方法呢?有理数正整数负整数负分数正有理数负有理数正分数零探究新知探究新知2.如果一个数是非负数（不是负数），那么这个数可能是正数或零.3.如果一个数是非正数（不是正数），那么这个数可能是负数或零.零和正数统称为非负数！说明：1.分类的标准不同，结果也不同；分类的结果应无遗漏、无重复；零是整数，但零既不是正数，也不是负数.探究新知(1)并不一定必须将某一种量规定为正,若将其中的一种量规定为正,则与其意义相反的量即为负.对正数和负数的理解要注意以下几点:(2)负数前面的“一”号,表示这个数的性质,是性质符号,读作“负”号,但正数前面的“+”可以省略.拓展:

－4都是练一练2.7

探究新知素养考点有理数的分类例

把下列各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）：负

数：{}；正整数：{}；负分数：{}.方法点拨：将所给数填入相对应的集合的两种方法：（1）逐个考察给出的数，看它是什么数，即是否属于某一或某几个集合，如果属于就可以填入；（2）逐个填写相关的集合从给出的数中找出属于这个集合的数.

+2，17

探究新知巩固练习变式训练下列各数中，5

属于正数的有______个．连接中考规定：“→2”表示向右平移2个单位长度，记作+2，则“←3”表示向左移动3个单位长度，记作（

）BA．+3 B．－3

C．

D．

课堂检测基础巩固题1.如果“盈利5%”记作+5%,那么－3%表示(

)A．亏损3%B．亏损8% C．盈利2%D．少赚3%A2.有理数中，最大的负整数是____.－1课堂检测基础巩固题3.下面的说法正确的是（）A．正有理数和负有理数统称有理数B．整数和分数统称有理数C．正整数和负整数统称整数D．有理数包括整数、自然数、零、负数和分数B4.下表是某日上海发行的部分债券行情表，试说明各债券当天涨跌情况.名称99国债(1)99国债(2)99国债(3)01通化债券01三峡债券涨跌/元＋0.01－0.05－1.24＋0.15－2.0199国债(1)__________;99国债(2)_________;99国债(3)__________;01通化债券________;01三峡债券___________.涨0.01元跌0.05元跌1.24元涨0.15元跌2.01元课堂检测基础巩固题课堂检测．

某厂一周计划每天生产400辆自行车，实际生产量（单位：辆）分别为405，393，410，409，387，406，397.（1）用正、负数表示实际生产量与计划量的增减情况；（2）该厂实际共生产多少辆自行车？平均每天生产多少辆自行车？能力提升题能力提升题课堂检测．

解：（1）以每日生产400辆自行车为标准，多出的数记作正数，不足的数记作负数，则有+5，－7，

+10，+9，－13，+6，－3；（2）405+393+410+409+387+406+397=2807(辆)，

或400×7+5－7+10+9－13+6－3=2807(辆)2807÷7=401(辆)

．即总产量为2807辆，平均每日实际生产401辆．拓广探索题课堂检测将一串有理数按图示规律排列，回答下列问题：（1）在A处的数是正数还是负数？（2）负数排在对应于A，B，C，D中的哪个位置？（3）第2019个数是正数,还是负数？排在对应于A，B，

C，D中的什么位置？拓广探索题课堂检测解：（1）在A处的数是正数.（2）负数排在对应于B和D的位置.（3）2019÷4=504……3，则第2019个数是负数，

排在对应于D的位置.有理数课堂小结按定义分整数正整数零负整数分数负分数正分数按符号分正有理数正整数零正分数负有理数负整数负分数2.1.2绝对值北师大版数学七年级上册素养目标1.理解相反数和绝对值的概念.2.知道|a|的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系.3.能求一个数的绝对值和相反数,会利用绝对值比较两个负数的大小.4.通过运用绝对值解决实际问题,体会绝对值的意义和作用.探究新知知识点1相反数

探究新知数量相等符号不同+3_3如果两个数只有符号不同，数量相等，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．相反数的定义特别地，0的相反数是0.探究新知探究新知练一练判断题，看谁回答的又对又快！(1)－10是10的相反数。

(

)(2)10是－1的相反数。(

)(3)1.5与－1.5互为相反数。(

)(4)－2是相反数。

(

)×√√×相反数的绝对值是相等的，只是符号不同，所以10是－10的相反数.相反数是成对出现的，所以－2是2的相反数.

探究新知素养考点求相反数B方法点拨：求一个数的相反数的方法：求一个具体数的相反数时，只需改变这个数前面的符号，其他部分不变.巩固练习变式训练

下列说法：①－2是相反数；

②2是相反数；③－2是2的相反数；

④－2和2互为相反数.其中正确的有(

)A.1个B.2个C.3个D.4个B知识点

2绝对值探究新知一个数的数量大小叫作这个数的绝对值，如3和－3的绝对值都等于3,0的绝对值等于0.通常用│a│表示数a的绝对值，如3的绝对值记作│3│＝3，－5的绝对值记作│－5│＝5.|+2|=________，

|－2|=________，－|－2|=________，－|+2|=________，|0|=________.－2022－2做一做思考:一个数的绝对值与这个数有什么关系？(1)正数的绝对值是它本身;(2)负数的绝对值是它的相反数;(3)

0的绝对值是0.探究新知|a|

aa＞0a＝00

－aa＜0

＝

(1)当是正数时，｜a｜＝____；

(2)当a是负数时，｜a｜＝＿＿；

(3)当a=0时，｜a｜＝＿＿＿.a－a0探究新知若字母a表示一个有理数，你知道a的绝对值等于什么吗？素养考点求绝对值

求下列各数的绝对值：探究新知

解：｜－2｜=2；

｜30｜=30.｜0｜=

0;｜－3.8｜=3.8;方法点拨：求一个数的绝对值的方法：先判断这个数是正数、0、还是负数，再根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，求出这个数的绝对值.例巩固练习变式训练C

知识点3比较两个数的大小(1)下表呈现了2023年1月1日四个城市的最低气温和最高气温。你能将这四个城市的最低气温从低到高进行排列吗？你是怎么比较的？探究新知探究新知(2)你能仿照气温的比较将下列这组数按照从小到大的顺序进行排列吗？－1，0，,－3，2.5，－1.5，4.(3)你认为负数和正数应怎样比较大小？负数和0呢？两个负数呢？正数大于0，负数小于0，正数大于负数.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.探究新知素养考点利用绝对值比较两个负数的大小

例探究新知解:(1)

因为|－1|=1，|－5|=5，1﹤5，

所以－1﹥－

5；方法点拨：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：第一步，先求出这两个负数的绝对值；第二步，比较这两个负数的绝对值的大小；第三步，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”得出这两个负数的大小关系.(2)

因为|－

|=

，|－2.7|=2.7，

﹤2.7，

所以－

﹥－2.7.

探究新知巩固练习变式训练

解：

(1)因为

连接中考1.在0，－1，2，－3这四个数中，绝对值最小的数是（

）A．0 B．－1

C．2 D．－3A2.

|x－3|=3－x，则x的取值范围是______．x≤

3课堂检测1.下列结论正确的是（

）A．－4与+（－4）互为相反数 B．0的相反数是0C．

互为相反数 D．

本身是相反数

B基础巩固题课堂检测基础巩固题2.|－6|

的相反数是（）A.6 B.－6C.

－

D.

B

课堂检测基础巩固题所以x＝4，y＝3，故x+y＝7.3.已知｜x－4｜+｜y－3｜=0，求

x+y的值。解：根据题意可知，x－4＝0，y－3＝0，两个负数，绝对值大的反而小课堂小结绝对值相反数绝对值的性质比较两个数的大小正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0符号不同，数量相等的两个数正数大于0，负数小于0，正数大于负数。2.1.3数轴北师大版数学七年级上册想一想（1）图中温度计上显示的温度各是多少？（2）温度计上的刻度有什么特点？（3）你能用直线上的点表示有理数吗？导入新知导入新知刻度都标在同一直线上；有一点表示0℃；刻度表示温度有方向性；刻度是均匀的.5℃0℃－10℃（2）特点：（1）（3）在一条水平直线上取一点（称为原点）表示0，选取某一长度作为单位长度，规定这条直线上向右的方向为正方向，那么相反方向就是负方向.原点右边的点可以表示正数，原点左边的点可以表示负数.这样，所有有理数就都可以用直线上的点表示了.导入新知素养目标1.通过与温度计的类比认识数轴,理解数轴的三要素并会画数轴.2.能说出数轴上的已知点所表示的数,能将已知数在数轴上表示出来.3.能利用数轴比较有理数的大小.....探究新知数轴像什么？——像一个平放的温度计！知识点

1数轴的概念及画法规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴.通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向.探究新知数轴的画法：1.画：画一条水平直线；2.取：在直线上取一点表示0（原点）；4.选：选取某一长度作为单位长度.3.定：规定直线上向右的方向为正方向;01原点23－3－2－1探究新知01－1－22－33

数轴就是规定了原点、单位长度和正方向的直线.数轴的三要素单位长度原点正方向思考：你认为数轴最重要的是哪几点？素养考点判断数轴是否正确01－1错－101错2－11错0错2－110错01－12对－2例

判断下面所画数轴是否正确.1.2.3.4.5.6.方法点拨：原点、正方向、单位长度一个也不能少.探究新知巩固练习变式训练四个同学各画了一条数轴，只有一人画对了，你认为正确的是

(

)A.B.C.D.B12－101010－1知识点2有理数与数轴上的点的对应关系0123－1－2－3－44－1.5结论：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,但是数轴上的点不都是有理数.在数轴上表示下列各数：+3，－4，－1.5，+3－4

探究新知探究新知解:012345－5－4－3－2－1－3|23|2－3.505－4画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数:

例

方法点拨探究新知

用数轴上的点表示有理数的步骤:（1）选择恰当的单位长度建立数轴；（2）在数轴上找出所给数相对应的点，先通过这个数的符号确定它所对应的点在数轴上原点的哪一边，再在相应的方向上确定它所对应的点与原点相距几个单位长度，然后画出点即可.巩固练习

指出下图中数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数.0123－1－2ADCB解：点A表示－2；点B表示2；点D表示－1；点C表示0；知识点3利用数轴比较两个有理数的大小探究新知讨论：数轴上的两个点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系？0123－1－2－3数轴上两个点表示的数，右边数的总比左边的数大.正数大于0，负数小于0，正数大于负数.越来越大（1）－2＜+6（正数大于负数）；（2）0＞－1.8（负数小于零）；

解：练一练比较下列每组数的大小：（1）－2和+6;（2）0和－1.8;（3）和－4.

探究新知素养考点有理数大小的比较探究新知例

比较下列每组数的大小，并说明理由.（1）－1.5和－4；（2）3.8，－4.1，－3.方法点拨：利用数轴比较有理数大小的三个步骤：（1）画数轴；（2）定顺序，确定点在数轴上的左右顺序，标出各点；（3）定大小，根据数轴上两个点表示的数，右边的总比

左边的大，用“<”或“>”将各数连接起来.解：（1）－1.5>－4，因为数轴右边的数大于左边的数；（2）3.8>－3>－4.1，因为数轴右边的数大于左边的数.巩固练习变式训练画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“＞”将它们连接起来：012345－5－4－3－2－1

－2－0.5

01.53

连接中考点O，A，B

，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC=1，OA=OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（

）A．－（a+1）B．－（a－1）

C．a+1D．a－1B课堂检测基础巩固题A.1．如图，下列数轴正确的是(

)DB.C.D.2.如图，点A表示的数是6，那么点B表示的数是

.－40AB3.如图，该数轴的原点在点（

）BA3－2BCD课堂检测基础巩固题课堂检测基础巩固题4.下列命题正确的是（

）A.数轴上的点都表示整数.B.数轴上表示5与－5的点分别在原点的两侧，并且到原点的距离都等于5个单位长度.C.数轴包括原点与正方向两个要素.D.数轴上的点只能表示正数和零.B课堂检测基础巩固题5．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，那么下列关系正确的是(

)A．b>c>0>a

B．a>b>c>0C．a>c>b>0

D．a>0>c>b

D能力提升题课堂检测

邮递员骑摩托车从邮局出发，先向南骑行2km到达A村，继续向南骑行3km到达B

村，然后向北骑行9km到达C村，最后回到邮局．(1)以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1个单位长度表示1

km，请你在如图的数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置．(2)C村离A村有多远？课堂检测解：（1）A，B，C三个村庄的位置如图所示．（2）依题意，得点C与点A之间的距离为2+4=6(km)．所以C村离A村有6km远．ABC能力提升题拓广探索题课堂检测

有一只青蛙从数轴上的原点开始向右跳，每次跳跃的距离都相等，且方向不变，跳第17次时落到表示的数为68的点A处．若跳第20次时会落到点B处，求点B表示的数．解：由题意，知青蛙在数轴上每次跳跃的距离均为68÷17=4，所以青蛙在数轴上跳跃20次的距离为4×20=80，所以点B表示的数为80.数轴概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.利用数轴：数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大课堂小结有理数画法一画（直线）二取（原点）三定（正方向）四标（单位长度）数轴上的点与有理数的关系比较有理数的大小利用数的性质：正数大于0，负数小于0，正数大于负数数轴上的点都可以用数轴上的点来表示并不都表示有理数2.2.1有理数的加法（第1课时）北师大版数学七年级上册导入新知1.一位同学在一条东西方向的跑道上，先向东走了20米，记作+20米，又向西走了30米，记作-30米，他现在的位置与原来出发的位置相距多少米？该问题用算式表示为____________.（+20）+（-30）2.甲、乙两支足球队进行足球比赛，如果甲队在主场输了2个球，记作-2，在客场又输了3个球，记作-3，那么甲队的净胜球数用算式表示为____________.（-2）+（-3）素养目标1.理解并掌握有理数加法法则.2.熟练运用加法法则进行计算.3.体验数形结合的数学思想.某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，记作+1分，答错一题扣1分，记作-1分，不回答得0分.每个参赛队的基本分均为0分.“加1分、扣1分，得0分”

“扣1分、加1分，得0分”可以分别用如下算式表示：

（+1）+（-1）＝0，（

-

1）+（+1）＝0.知识点有理数加法法则探究新知探究新知（1）第一环节和第二环节各有5道题.三个参赛队在前两个环节的得分情况见下表，你能把下表补充完整吗？探究新知（2）小明用1个表示+1，用1个表示-1，用（+直观表示（+1）+（-1）＝0，用直观表示（

-

1）+（+1）＝0.他列出了两个算式，并给出了直观的解释，你能理解他的做法吗？（-2）+（-3）＝

-5，（-3）+2＝

-1.在方框中放进2个和3个：探究新知（-2）+（-3）＝

-5.探究新知（-3）+

2＝

-1.在方框中放进3个和2个，移走所有的.探究新知（3）如果有第四个参赛队，那么第四队前两个环节的得分可能会出现哪些情形，据此可以列出哪些算式？你能直观解释运算过程和结果吗？探究新知思考（1）两个有理数相加，有哪几种情形？你是怎样分类的？（2）对于（1）中的每种情形，和是怎么确定的？同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法法则探究新知探究新知(-4)+(-8)=-(4+8)=-

12

↓

↓

同号两数相加取相同符号通过绝对值化归

为算术数的加法(-9)+(+2)=-(9–2)=-7

↓↓

异号两数相加取绝对值较大通过绝对值化归

的加数的符号为算术数的减法探究新知1.先判断类型（同号、异号等）；2.再确定和的符号；3.最后进行绝对值的加减运算.有理数加法的运算步骤：算术加减+符号法则.八字口诀:探究新知素养考点有理数的加法法则

计计算下列各题：（1）180+(-10)；

（2）(-10)+(-1)；

（3）5+（-5）；（4）

0+（-2）.

（异号两数相加）（取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值）=170

解：（1）

180+（-10）=+（180-10）例探究新知方法点拨：有理数的加法运算法则是进行有理数加法计算的根据.首先要明确是同号两数相加、异号两数相加还是互为相反数的两个数相加，然后按各自的运算法则进行计算.（2）（-10）+（-1）（3）5+（-5）（4）0+（-2）

=-（10+1）11=0=-2

=-（同号两数相加）（互为相反数的两数相加）（一个数同0相加）（取相同的符号,并把绝对值相加）探究新知思考（1）根据有理数加法法则，如果两个数互为相反数，那么它们的和等于0.反过来，如果两个数的和等于0，那么这两个数互为相反数吗？（2）根据有理数加法法则进行正数或0的运算，得到的结果与小学数学中的加法运算结果一致吗》（3）一个数加一个正数，所得的和与这个数有怎样的大小关系？一个数加一个负数呢?探究新知如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，到达原点左边1个单位长度处.（1）根据图你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？（2）对于(-3)+(-2)，你能借助数轴解释运算结果吗？巩固练习变式训练计算下列各式:1.(＋11)＋(＋9)=

2.(-8)＋(-2)=3.(-12)＋(＋4)=4.(＋7)＋(-6)=5.(＋100)＋(-100)=6.

(-18)＋0=+20-10-8+10-181.计算-19+20等于（

）A．-39B．-1C．1 D．39连接中考C2.

若m+1与

-2互为相反数，则m的值为_______.11.计算4+（-6）的结果等于（

）A．-2 B．2 C．10 D．-10A2.已知A地的海拔高度为-36米，B地比A地高20米，则B地的海拔高度为（

）A．16米

B．20米

C．-16米

D．-56米C课堂检测基础巩固题课堂检测基础巩固题3.

1999-1=

_______．-20004.绝对值小于4的所有整数的和是_______．0课堂检测基础巩固题5.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种算法，观察图①可推出图②中所得的数值为（

）AA．-2 B．+2 C．-6 D．+6能力提升题课堂检测若|m|=3，|n|=5，且m-n＞0，则m+n的值是（

）A．-2 B．-8或8 C．-8或-2 D．8或-2C拓广探索题课堂检测若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e=_____．-2100-2-1课堂小结有理数的加法有理数加法法则有理数加法法则运用同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加首先判断加法类型，再确定和的符号，最后确定和的绝对值异号两数相加，绝对值相等时和为0.一个数同0相加，仍得这个数.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值.2.2.1有理数的加法（第2课时）北师大版数学七年级上册导入新知在小学中我们学过哪些加法的运算律？加法交换律:两个数相加，交换加数的位置和不变.加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.想一想加法的运算律是不是也可以扩充到有理数范围？素养目标1.掌握有理数加法的运算律，能正确运用加法运算律简化运算.2.能运用有理数加法及其运算律解决生活中的实际问题.3.培养观察、比较、归纳及运算能力，进一步培养协作学习的能力.探究新知加法的交换律：a+b=b+a.加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).有理数加法的运算律探究新知知识点有理数加法的运算律计算并比较每组的两个算式的结果：（1）（-8）+（-9）=

（-9）+（-8）=（2）

4+（-7）=

（-7）+4=你发现了什么？（3）[2+(-3)]+(-8)=

2+[(-3)+(-8)]=（4）[10+(-10)]+(-5)=

10+[(-10)+(-5)]=-17-17-3-3-9-9-5-5

例1计算:素养考点1运用加法运算律计算（1）31+(-28)+28+69;（2）(-64)+17+(-23)+68.思考：有没有简便的方法？（3）

探究新知探究新知（1）解：原式=（31+69）+[（-28）+28]

（2）

解：原式=[（-64）+（-23）]+（17+68）（加法交换律和结合律）=100+0=100;（加法交换律和结合律）

=（-87）+85（一个数同0相加，仍得这个数）=-2.（异号相加法则）解：（3）原式===

探究新知

方法点拨使用运算律通常有下列情形：（1）互为相反数的加数放在一起相加（相反数结合法）；（2）能凑整的加数放在一起相加（凑整法）；（3）同号的加数放在一起相加（同号结合法）；（4）同分母或易于通分的分数放在一起相加（同分母结合法）.探究新知巩固练习变式训练

计算(-12)+(+11)+(-8)+(-7)+(+39)+7.解：原式=（+11）+（+39）+[（-12）+（-8）]+[（-7）+7]=50-20+0=30.连接中考计算：（+45）+（-92）+35+（-8）.（+45）+（-92）+35+（-8）=45+35-（92+8）=80-100=-20解:课堂检测基础巩固题1.

7+（–3）+（–4）+18+（–11）=（7+18）+[（–3）+（–4）+（–11）]是应用了（）A．加法交换律

B．加法结合律C．分配律

D．加法交换律与结合律D课堂检测D2.计算

+（+4.71）+

+（–6.71）的结果为（）基础巩固题A．–2 B．3 C．–3 D．–1

3.一潜艇所在高度为-80米，一条鲨鱼在潜艇上方30米处，则鲨鱼所在高度为_______。课堂检测-50米

4.某种零件的直径规格是20±0.2mm，经检查，一个零件的直径18mm，该零件____________(填“合格”或“不合格”)。不合格基础巩固题基础巩固题5.小虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右为正方向，爬行的记录如下（单位：厘米）：+5、-3、+10、-8、-6、+12、-7.则小虫最终在起点O的

侧，距离点O

厘米处.右3课堂检测能力提升题课堂检测有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和.如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是

，这2019个数的和是_____.02拓广探索题

如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推（1）阴影部分的面积是多少？（2）受此启发，你能求出

的值吗？课堂检测

课堂检测解：（1）部分①的面积为：

，

部分②的面积为：

，…

以此类推，部分

的面积

，n○

所以阴影部分面积为

或

；

（2）由图可得，原式

．

有理数的加法运算律3.同分母的分数相加课堂小结1.互为相反数的两个数先相加5.易于通分的数可先相加4.符号相同的正数或负数相加2.相加能得整数的数可先相加使用运算律的情形运算律1.加法交换律：

a+b=b+a2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2.2.2有理数的减法北师大版数学七年级上册导入新知下图是某市未来一周的天气预报,你能求出每天的温差吗?素养目标1.经历探索有理数减法法则的过程,理解有理数减法法则.2.会进行有理数的减法运算，并能灵活应用有理数减法解决实际问题.3.通过把减法运算转化为加法运算,初步体会转化思想.问题1

你能从温度计上看出8℃比-8℃高多少摄氏度吗？用式子如何表示？8℃-8℃8-(-8)=16.另一方面8+(+8)=16.由上面的式子可知，8-(-8)=8+(+8).16℃知识点1有理数的减法法则探究新知探究新知问题2

根据前面获得的规律，计算下面各式，看前面的规律是否成立.0-(-3)=___，0+(+3)=___；1-(-3)=___，1+(+3)=___．3443想一想这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗？相同探究新知问题3

计算下面各式，进一步探究其中的规律.

15-6=___；

15+(-6)=___；

3-19=___；3+(-19)=___．99-16-16总结：有理数的减法可以转化为加法来进行.探究新知你能从温度计看出4℃比-3

℃高多少度吗?

-3~4℃某地一天的气温是：4-（-3）=0123-1-2-3-44-3

~4℃的距离是774-（-3）=4+

3=减号变加号减数变为相反数77观察并思考下面两个算式有什么异同点？探究新知（–1）–（–3）=

（–1）+（+3）=

2减数变为相反数减号变加号计算：（-1）-（-3）.探究新知探究新知有理数减法法则减一个数，等于加上这个数的相反数.注意：减法在运算时有

2

个要素要发生变化.2.

减数

a–b=a+(–b)加相反数1.

减探究新知练一练下列算式：①2-(-2)=0;

②(-3)-(+3)=0;③(-3)-｜-3｜=0；④0-(-1)=1.其中正确的有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个A

计算下列各题：素养考点有理数的减法运算（1）

9－

(-5);

（2）(-3)-

1;（3）

0－8;

（4）(-5)-0.解：（1）9-（-

5）=9+5=14（2）（-3）－1=-4=（

-3）+（

-1）例探究新知探究新知方法点拨：有理数的减法是有理数加法的逆运算。减法法则要注意“两变一不变”：（1）变运算符号，即减号变加号；（2）变减数的性质符号，即变为减数的相反数；（3）被减数与减数的位置不变.解：（3）0

-

8=

0+（-8）=

-8（4）（-5）－

0=

（-5）+0=

-5巩固练习变式训练解：（1）｜-18｜－（-8）=18+8=26;（2）5-12.5=5+（-12.5）=-7.5;（3）（-1）-（-5）=（-1）+5=4;=（-15）+（-22）=-37.计算：（1）｜-18｜－（

-8）;

（2）5-

12.5;（3）（-1）－（-5）;

（4）（-15）－22.

（4）（-15）-

22

探究新知知识点2有理数减法的实际应用

世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约是8848.86m，吐鲁番盆地的海拔高度大约是-154.31m．两处高度相差多少米？例

8848.86－（-154.31）每层楼平均高度为3m，9003.17m约有多少层楼高？=8844.86+154.31=9003.17（m）答：两处高度相差9003.17m.解：探究新知素养考点有理数减法的实际应用例

一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表：探究新知此时飞机比起飞点高了多少千米？方法点拨：进行有理数的减法时，要善于运用转化思想，把有理数的减法运算转化为有理数的加法运算.探究新知下面有两种算法：4.5－3.2＋1.1－1.4＝1.3＋1.1－1.4＝2.4－1.4＝1（km）.4.5＋（-3.2）＋1.1＋（-1.4）＝1.3＋1.1

＋（-1.4）＝2.4

＋（-1.4）＝1（km）.比较以上两种算法，你发现了什么？巩固练习变式训练某工厂在2019年第一季度效益如下：一月份获利150万元,二月份比一月份少获利70万元,三月份亏损5万元,则一月份比三月份多获利________万元,该工厂第一季度共获利______万元.155225连接中考某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如下表，则这四天中温差最大的是（）A．星期一

B．星期二C．星期三

D．星期四星期一二三四最高气温10℃12℃11℃9℃最低气温3℃0℃-2℃-3℃C课堂检测基础巩固题1．下列计算结果正确的是(

)A．（-3.8）-7=（-3.8）+7=3.2B．

4.2-4.7=4.7-4.2=0.5C．（-1）-

=D．（-1）-（-1）=0D

课堂检测2．下列说法正确的是(

)A．两数的差一定比被减数小B．两数的和一定大于其中一个加数C．减去一个数等于加上这个数的相反数D．一个正数减去一个负数的差必小于零C基础巩固题课堂检测3.下列表示某地区早晨、中午和午夜的温度(单位：℃)，则下列说法正确的是(

)A．午夜与早晨的温差是11℃B．中午与午夜的温差是0℃C．中午与早晨的温差是11℃D．中午与早晨的温差是3℃C基础巩固题课堂检测基础巩固题4．计算：

(1)2-(-2)=______；

(2)(-2)+(-3)=______；

(3)-4-4=______；

(4)0+(-7)=______；

(5)|-3|-2=_____．4-5-8-71课堂检测基础巩固题5.某次安全知识竞赛中规定：抢答题答对一题得20分，答错一题扣10分，问答对一题与答错一题得分相差多少分？解：20-（-10）=20+10=30（分）

答：答对一题与答错一题得分相差30分.能力提升题课堂检测已知|a|=3，|b|=4，且a＜b，求a-b的值．解：因为|a|=3，|b|=4，综上，a-b的值为-1或-7.所以a=±3，b=±4.因为a＜b，所以a=±3，b=4.当a=3，b=4时，a-b=3-4=-1；当a=-3，b=4时，a-b=-3-4=-7；拓广探索题课堂检测如图，数轴上的点A，O，B，C，D分别表示-3，0，2.5，5，-6，回答下列问题：(1)求O，B两点间的距离；(2)求A，D两点间的距离；(3)求C，B两点间的距离；(4)请观察思考，若点A表示数m，且m＜0，点B表示数n，且n＞0，用含m，n的代数式表示A，B两点间的距离．拓广探索题课堂检测解：(1)O，B的距离为|2.5-0|=2.5；(2)A，D两点间的距离为|-3-(-6)|=3；(3)C，B两点间的距离为|5-2.5|=2.5；(4)A，B两点间的距离为|m-n|=n-m.有理数的减法有理数的减法法则有理数的减法的应用课堂小结减去一个数和，等于加上这个数的相反数.有理数减法的运算步骤（1）根据有理数的减法法则，把减号变为加号，把减数变为它的相反数；（2）利用有理数的加法法则进行运算.2.2.3有理数的加减混合运算（第1课时）北师大版数学七年级上册导入新知试一试观察图中物体的运动轨迹，完成下列问题.0-1-2-3123-44

先向左边移动_____格，再向右边移动____格，最后向左边移动_____格，可以到达______的位置.475-2列算式：（-4）+7+（-5）=-2.素养目标1.能进行简单的有理数的加减混合运算.2.能根据具体问题，运用加减混合运算解决问题.3.使学生理解有理数的加减法可以转化为加法，并感受、体会“代数和”的思想.知识点有理数的加减混合运算游戏规则

（1）每人每次抽取4张卡片．若抽到白底卡片，则加卡片上的数字；若抽到红底卡片，则减卡片上的数字．（2）比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果大的为胜者.探究新知探究新知小丽抽到了下面4张卡片:她抽到的卡片的计算结果是多少?05-37（-3）+7-0+5=9.=4-0+5=4+5探究新知4-57.获胜的是谁？小丽小彬抽到了下面4张卡片:他抽到的卡片的计算结果是多少?

探究新知于是我们可以将加减法统一成加法：减去一个数，等于

这个数的

.例如：（-8）-（-10）+（-6）-（+4）可写成：（-8）+（+10）+（-6）+（-4）.再将各个加数的括号和它前面的加号省略不写，得：-8+10-6-4，看作和式，读作“负8、正10、负6、负4的和”，按运算意义可读作“负8加10减6减4”.加上相反数算式(-20)+(+3)-(-5)-(+7)是_____，_____，___，_____四个数的和，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为-2035

-7-20+3+5-7.我们可以读作

的和，或读作

加

加

减

.负20、正3、正5、负7负20357练一练

(-20)+(+3)-(-5)-(+7).探究新知解：(-20)+(+3)-(-5)-(+7)=

(-20)+(+3)+(+5)+(-7)=

(-17)+(+5)+(-7)=

-19归纳：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算.a+b-c=a+b+(-c)=

(-12)+(-7)探究新知（1）(-40)-(+27)+19-24-(-32);（2）-9-(-2)+(-3)-4.(1)原式=（-40）+（-27）+19+（-24）+（+32）练一练解：=-14.=-40-27+19-24+32=-40;(2)原式=-9+（+2）+（-3）+（-4

）=-9+2-3-4探究新知计算素养考点有理数的加减混合运算:（1）解：（1）原式===（2）例探究新知

方法点拨：有理数的加减混合运算可以按照运算顺序从左向右逐一进行.解：原式=====（2）探究新知

巩固练习变式训练解:原式=(+28)+(+15)+(-27)

=(+43)+(-27)

=16.减法转化成加法按有理数加法法则计算计算：(-2)+(+30)-(-15)-(+27).

连接中考某地某天早晨的气温是-2℃到中午升高了6℃，晚上又降低了7℃,那么晚上的温度是

℃.-3课堂检测基础巩固题1.-6的绝对值减去4的相反数,再加上-7,结果为

(

)

A.3B.-3 C.-5 D.5A

2.下列各式中与a-b-c的值不相等的是(

)

A.a-(+b)-(-c)

B.a-(+b)-(+c)

C.a+(-b)+(-c)

D.a-(+b)+(-c)

A课堂检测3.数学活动课上,王老师给同学们出了一道题:规定一种新运算“☆”,对于任意有理数a和b,有a☆b=a-b+1,请你根据新运算,计算(2☆3)☆2的值是(

)A.0

B.-1 C.-2 D.1B基础巩固题

解:

(1)原式=-2.7+（-3.2）+（-1.8）+（-2.2）=-9.9；

课堂检测基础巩固题课堂检测市质量技术监督局从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：与标准质量的差值(单位：g)-6-20134袋数143453能力提升题(1)若标准质量为450g，则抽样检测的20袋食品的总质量为多少克？(2)若该种食品的合格标准为450±5g，求该食品的抽样检测的合格率．能力提升题课堂检测解：(1)总质量为：450×20+(-6)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)

+3×0+1×4+3×5+4×3=9000-6-8+0+4+15+12=9017(g)(2)合格的有19袋，所以该食品的抽样检测的合格率为：

拓广探索题课堂检测某公路养护小组乘车沿南北公路巡护.某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）：+18，-9，-7，-14，-6，+13，-6，-8，

B地在A地何方？相距多少千米？若汽车行驶每千米耗油a升，求该天共耗油多少升？拓广探索题课堂检测解：（+18）+（-9）+（-7）+（-14）+（-6）+（+13）+（-6）

+（-8）=-19（千米）.81×

a=81a（升）.答：A地在B地的南方，距B地19千米.该天共耗油81a升.所以，B地在A地的南方，距A地19千米处.|+18|+|-9|+|-7|+|-14|+|-6|+|+13|+|-6|+|-8|=81（千米）课堂小结有理数的加减混合运算有理数加减混合运算的方法有理数加减混合运算的步骤(1)将加减混合运算统一成加法运算(2)省略加号和括号统一成加法运算2.2.3有理数的加减混合运算（第2课时）北师大版数学七年级上册导入新知某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：星期一二三四五六日增减/辆﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？（2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增减数为多少？导入新知解:（1）+7﹣（﹣10）=17（辆）.（2）100×7+（﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10）=696（辆）,

700

﹣696=4（辆）.答：生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产17辆.答：本周总生产量是696辆，比原计划减少了4辆．素养目标1.熟悉在水位变化过程中出现的量，进一步加深对有理数意义的理解，巩固用有理数表示实际生活中的量.

．2.能综合运用有理数及其加法减法的有关知识，解决简单的实际问题，从中体会数学与现实生活的联系.3.能用折线统计图描述实例的变化过程.知识点有理数加减混合运算的应用解:最高水位可以记作35.3-33.4=+1.9(m).最低水位可以记作11.5-33.4=-21.9(m).平均水位可以记作22.6-33.4=-10.8(m).

右图是流花河的水文资料（单位：m）,取河流的警戒水位作为0点，那么图中的其他数据可以分别记作什么探究新知探究新知下表是今年雨季流花河一周内的水位变化情况(上周末的水位达到警戒水位).星期一二三四五六日水位变化/m+0.20+0.81-0.35+0.03

+0.28-0.36-0.01注:正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降.(1)本周哪一天河流的水位最高?哪一天河流的水位最低?它们位于警戒水位之上还是之下