理论力学课件：运动学基础

动力学基础运动学是什么？研究物体运动几何性质的科学，其任务：从几何性质上说研究物体运动的轨迹、运动方程、速度和加速度。1从结构特征在运动中的作用来看将研究点和刚体的运动。2知识点滴轨迹点在空间运动所经过的路线，分为直线运动，曲线运动。参考系选另一物体作参考体，与参考体固连的坐标系称为参考系。当物体的几何尺寸和形状在运动中不起主要作用点点的运动学1刚体的平行移动2目录Contents刚体的定轴转动3点的运动方程5.1.1矢量法

矢径MrO坐标原点以矢量表示的点的运动方程。

单位

m/s

方向:沿着动点运动轨迹的切线，并与此点的运动方向一致。v速度运动方程加速度矢径MrO坐标原点运动模型说明xzy5.1.2直角坐标法使其的坐标原点与矢径的原点O重合。vMrOkjizxyxx、y、z也是时间的单值连续函数。直角坐标表示的点的运动方程x=f

1(t)y=f

2(t)z=f

3(t)点的运动方程

x=f

1(t)

y=f

2(t)常见的点在平面内运动的情形。因为动点的轨迹与时间无关，消去t，得轨迹方程

f(x,y)=0

设动点M的速度矢量v在直角坐标轴上的投影为，则：

用直角坐标法表示速度

设

用直角坐标法表示加速度

12一人在路灯下由灯柱起以匀速u沿直线背离灯柱行走。设人高AB=l，灯高OL=h，试求头顶影子M的速度和加速度。xhOLABlutxM例题113xhOLABlutxM解：取坐标轴Ox如图。由三角形相似关系即从而求得M点的直线运动方程

M点的速度而加速度a=0，即M点作匀速运动。14

椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺上任一点M的轨迹方程。ACByOxMxy

已知:例题2运动演示1516考虑任意位置，M点的坐标x，y表示成消去角φ，即得M点的轨迹方程:解:ACByOxMxy

运动轨迹1718

例题319

解：活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示

分离变量后积分：积分得：又因为：5.1.3自然法20

在轨迹上任意选一个点

O为参考点，设点

O

的某一侧为正向,另一侧就为负向。M(+)O弧坐标:动点M的位置由弧长S确定,为代数量

s弧坐标表示的运动方程OsOs(-)Os1.自然坐标法的运动方程21密切面22副法线单位矢量切向单位矢量法平面:过M点并与切线垂直主法线

n:法平面与密切面的交线，指向凹的一侧自然坐标系是沿曲线而变动的游动坐标系2324MM’rr’

弧坐标对时间的导数是一个代数量，正负号表示点沿轨迹运动的方向。

点的速度矢

3.速度25法向加速度：速度方向改变的快慢切向加速度：速度大小变化4.加速度方向沿轨迹切线方向总是指向曲率中心重点26点的加速度说明

即v与aτ的符号相同，点作加速运动

即v与aτ的符号相反，点作减速运动而法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。vaτaanaτanaθaτaanaτanaθaτaanaτanaθ27加速度矢可以写成

加速度在自然坐标轴的投影

由于ab=0，全加速度的大小可写成：方向由全加速度与法线间的夹角的正切确定

vθθaτaanaτanaθ28例:列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求:列车起点和未点的加速度。29解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如上②

①

有由常数求:列车起点和未点的加速度。30解：1.点的速度、加速度沿x、y、z轴的投影分别为：

2.点的速度和全加速度的大小分别为：

3.点的切向加速度和法向加速度的大小分别为：

因为：

即：ρ=2.5（m）

所以：

已知点的运动方程为x=2sin4tm，y=2cos4tm，z=4t

m。求点的运动轨迹的曲率半径。例题4V，a计算公式31飞机在铅直面内从位置M0处以s=250t+5t2规律沿半径r=1500m的圆弧作机动飞行（如图），其中s以m计，t以s计，当t=5s时，试求飞机在轨迹上的位置M及其速度和加速度。OM0Mr例题532解：宜用自然法求解。取M0为弧坐标s的原点，正负如图当t=5s时，飞机的位置M可由弧坐标确定求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度例题5OM0Mr(-)s(+)33OM0Mr(-)s(+)v0vatana

故在这瞬时飞机的总加速度a的大小和方向为α代入t=5s得本节小结341、观察物体的运动必须相对某一参考体。2、点的运动方程为动点在空间的几何位置随时间变化的规律。

r=r

(t)——矢量表示的点的运动方程。

x=f

1(t)；y=f

2(t)；z=f

3(t)——直角坐标表示的

点的运动方程

s=f(t)——自然坐标直角坐标表示的点的运动方程3、轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线。轨迹方程可由运动方程消去时间t得到。4、速度和加速度的计算公式35

(1)矢量形式

（2）直角坐标

改

v=vx

i+vy

j+vz

k

a=ax

i+ay

j+az

k

（3）自然坐标36

点的切向加速度只反映速度大小的变化;法向加速度只反映方向的变化。当点的速度与切向加速度方向相同时，点作加速运动；反之，作减速运动。

6、几种特殊运动的特点37（1）直线运动an

≡0，

→∞（2）圆周运动=常数（3）匀速运动v=常数，a

≡

0

（4）匀变速运动a

=常数

v=v0+a

t

点的运动学1刚体的平行移动2目录Contents刚体的定轴转动339平动平动刚体上点的运动特点40平动刚体:各点运动状态相同轨迹形状相同;速度相同；加速度相同分别对等式两边求导：证明：4142例6荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长l，度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为，其中t为时间，单位为s；转角φ0的单位为rad，试求当t=0和t=2s时，荡木的中点M的速度和加速度。OABO1O2φll（+）M解因为荡木作平动，所以求中点M，求A点运动即可。点A以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为：（平动刚体）求出一点的运动=求出任意点的运动再求一次导，得A点的切向加速度代入t=0和t=2，得这两瞬时A点的速度和加速度，即点M的速度和加速度。A点的法向加速度OABO1O2φll（+）M00φ02

（铅直向上）0

（水平向右）00an(m·s－2)at(m·s－2)v(m·s－1)φ(rad)t(s)

点的运动学1刚体的平行移动2目录Contents刚体的定轴转动3刚体定轴转动

:刚体运动过程中，有两个点始终保持不动。一、运动方程：角速度：角加速度：5.3.1刚体的定轴转动定轴转动47按各自半径作角速度相同、角加速度相同的圆周运动3、加速度1、点的运动方程2、速度5.3.2定轴转动刚体上各点的运动特点：按半径比例可以求出同一刚体任意点的速度、加速度转动刚体速度与加速度分布图50平动转动平动和转动的解题区别？

刚体的基本运动：例题752滑轮的半径r=0.2m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图），已知滑轮绕轴O的转动规律φ=0.15t3，其中t以s计，φ

以rad计，试求t=2s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。AOαωM首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度代入t=2s，得轮缘上M点上在t=2s时的速度为vMM解：AOαωM加速度的两个分量总加速度

aM的大小和方向AOαωMvMatanaMφAOαωM