2024-2025学年上海市浦东新区高三上册期末教学质量检测数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年上海市浦东新区高三上学期期末教学数学质量检测试卷一、填空题（本大题共12小题）1．若对数函数且）的图象经过点，则实数.2．直线的倾斜角.3．已知复数，，，若为纯虚数，则．4．的展开式中的系数为.（用数字作答）5．在中，，，，则．6．已知实数、满足，则的最小值为．7．若等差数列满足，，则．8．已知函数的表达式为，则不等式的解集为．9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为．

10．某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是．（精确到0.001）11．已知空间中三个单位向量、、，，为空间中一点，且满足，，，则点个数的最大值为．12．已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，，则满足条件的不同集合个数为．二、单选题（本大题共4小题）13．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（）A． B． C． D．14．设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若，则或15．对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（）A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差16．设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（）A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题三、解答题（本大题共5小题）17．已知函数的表达式为，．(1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间；(2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域．18．如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点．(1)若，求三棱锥的体积；(2)若，求异面直线与所成的角的余弦值．19．申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．二分球出手二分球命中率三分球出手三分球命中率小100次100次小190次10次现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率总命中次数÷总出手次数）(1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？(2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3，②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续技篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“”的值，请解答以下两个问题．（ⅰ）若小第一次投篮，请证明小获胜概率大；（ⅱ）若小第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由．20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线交椭圆于A、两点，点A在第一象限．(1)若，求点A的坐标；(2)求的取值范围；(3)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，求面积的最大值．21．过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”．(1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由；(2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值；(3)设，证明：轴上不存在的“类点”．

答案1．【正确答案】2【详解】将点代入得，解得故2.2．【正确答案】【详解】设直线的倾斜角为，易知直线的斜率为，所以，解得.故3．【正确答案】5【详解】，因为为纯虚数，所以，所以，所以，故5.4．【正确答案】20【详解】的展开式中第项为，令得：的系数为.故20．5．【正确答案】【详解】在中，由，，得，由正弦定理得，.故6．【正确答案】【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.故答案为.7．【正确答案】【详解】因为数列为等差数列，则，即，且，可得，即，解得故答案为.8．【正确答案】【详解】因为，若，则，即，解得；若，则，解得；综上所述：不等式的解集为.故答案为.9．【正确答案】【详解】双曲线的焦点，渐近线方程为，依题意，直线的方程为，由，解得，则点的坐标为，所以的面积为.故10．【正确答案】1.172【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接，令圆的半径为，则，解得，设，因此，当且仅当时取等号，所以步行道、长度之和的最小值是.故11．【正确答案】8【详解】由题意得，，且.以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，.设，则，∴，，，∴，，，∴点坐标可能为，，，，，，，，故点个数的最大值为8.故8.12．【正确答案】10【详解】，对比系数可得，，，，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点情况1，四个根两两互为共轭复数，故圆心在轴上，设单位的圆心为，不妨设，，，，，类似计算可得，，，因为，所以只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得，此时集合的个数为5个，情况2，四个根有2个为实数，另外2个为共轭复数故圆心在轴上，设单位的圆心为，不妨设，，，，计算可得，，，，因为，所以只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得，此时集合的个数为5个，综上：满足条件的不同的个数为10.故10.13．【正确答案】C【详解】对于A，令，满足，但，故A错误；对于B，令，满足，但，故B错误；对于C，因为实数、满足，所以，故C正确；对于D，令，满足，但，故D错误；故选：C.14．【正确答案】B【详解】对于选项A，因为，所以，又，所以，故选项A是真命题，对于选项B，如图，取平面为，平面为，则直线为直线，取为直线，显然有，但与异面，所以选项B为假命题，对于选项C，在内任取不在直线上的一点，过确定，则，因为，所以，同理可得，，所以，又，故，又，所以，得到，故选项C为真命题，对于选项D，因为，所以，，若，因为，则，若，易知，又，，所以，故选项D为真命题，故选：B.15．【正确答案】D【详解】数据由小到大排列为：1，1，2，3，3，3，4，5，5，其中位数、众数、平均数都为3，去掉数据1，剩余数据的中位数、众数都不变；去掉数据3，剩余数据的平均数不变，ABC不是；若任意去掉其中一个数据，剩余数据的波动性发生变化，方差一定发生变化，D是.故选：D16．【正确答案】A【详解】对于①，取的值域为，故，，令，满足和是有限集，从而和是-互补函数，①正确；对于②，取是增函数，，由复合函数性质，只需考虑和即可，先让的值域包含，则，，那么接下来考虑让的部分被和取得，因为的值域没有，所以的值域中没有，所以的值域没有，所以考虑让的值域中有，则的值域有，……，依次类推，按照这样的方式构造下去，可以得到满足题意的，②正确.故选：A17．【正确答案】(1)，单调增区间为；(2)【详解】（1）因为，所以，解得，，令，解得，故单调递增区间为；（2），，时，，故，所以.18．【正确答案】(1)4；(2).【详解】（1）依题意，平面，由，得，所以三棱锥的体积.（2）过点作圆柱的母线，连接，则，于是四边形为平行四边形，，因此是异面直线与所成的角或其补角，由，得，，，则，，由平面，得，在中，，所以异面直线与所成的角的余弦值为.19．【正确答案】(1)不正确(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）答案见解析，理由见解析；【详解】（1）由题意小总出手200次，命中120次，命中率为：，小总出手200次，命中136次，命中率为，故小获校，所以小的想法不正确；（2）（ⅰ）证明：若第一次投篮人物为小，，小获胜的概率为，小获胜的概率为，则，所以若小第一次投篮，小获胜概率大，（ⅱ）若第一次投篮人物为小，，小获胜的概率为，小获胜的概率为，则，其中由指数函数的单调性可知：随着的增大而增大，计算可得：，所以当也就是时，，当也就是时，，综上：若小第一次投篮，时，小获胜概率大，时，小获胜概率大.20．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由椭圆方程可知：，则，设直线，，可得，解得，则，解得，则，即，所以.（2）因为，可得，则，因为，则，可得，所以的取值范围为.（3）设，由题意可知：，则，且，因为点均在椭圆上，则，两式相减得，整理可得，即，则，即，可知，又因为，则，可得面积，设，则，当时，；当时，；可知在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，则，所以面积的最大值为.1.数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；2.构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．21．【正确答案】(1)是，理由见解析；(2)2；(3)证明见解析.【详解】（1）函数，，点在上，求导得，设切点为，切线方程为，即，由切线过，得，,解得或，因此切线方程为，所以点为的“类点”.（2）函数，求导得，设切点为，切线方程为，即，切线过，则，依题意，方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为，，因此，则，，则，当时，，不过，所以的值为2.（3）