2024-2025学年陕西省汉中市汉台区高一上册月考数学检测试卷（12月份）附解析

2024-2025学年陕西省汉中市汉台区高一上学期月考数学检测试卷（12月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）−55πA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜5}，N＝{x|x＝2k，k∈N}，则M∩N＝（）A．{2，4} B．{0，2，4} C．{﹣2，0，2，4} D．{0，1，2，3，4}3．（5分）函数f(x)=2A．（2，3）∪（3，+∞） B．[2，3）∪（3，+∞） C．（﹣2，3）∪（3，+∞） D．[﹣2，3）∪（3，+∞）4．（5分）已知函数f（x）＝loga（4x﹣7）﹣3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（m，n），则m+n＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）已知函数f（x）的图象在R上连续不断，则“f（1）f（3）＜0”是“f（x）在区间（1，3）上有零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．（5分）设a＝log30.8，b＝5﹣0.1，c＝log23，则（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a7．（5分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ=θA．22.5℃ B．25℃ C．27.5℃ D．30℃8．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x，g(x)=(12)x−m，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[﹣1，4]，使得g（x1）≤fA．[−152，+∞) B．[1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）小胡同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，OB＝OA＝4，则（）A．∠AOB=πB．弧AB的长为4π3C．扇形OAB的周长为4π3D．扇形OAB的面积为8π（多选）10．（6分）若a＞1，函数f（x）＝|loga（x+2）|，则下列说法正确的是（）A．f(−7B．函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递减 C．函数f（x）在区间[−32D．若f（x1）＝f（x2）（x1＜x2），则（x1+2）（x2+2）＝1（多选）11．（6分）已知实数a，b满足a2+2b2＝4，则下列说法正确的是（）A．ab的最大值为43 B．a2+4b的最大值为6C．b2+2ab的最大值为4 D．b2﹣2ab的最大值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知函数f(x)=log2(1−x)，x＜0，2x，x≥0，则f13．（5分）已知函数f（x），给出两个性质：①f（x）在R上单调递减；②对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）f（x2）＝f（x1+x2）．写出一个同时满足性质①和性质②的函数f（x）＝．14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝x2，且对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），都有f(x1)−f(x2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．求下列各式的值：（1）(1（2）3lg5+lg8﹣log32•log43．16．已知集合A＝{x|2x2﹣2＜3x}，B＝{x|2a﹣3＜x＜a+1}．（1）若a=12，求A∪（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求a的取值范围．17．已知函数f(x)=log（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；（2）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围．18．已知函数f（x）＝ax﹣m•a﹣x（a＞1）是奇函数，且f(1)=3（1）求m和a的值；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）若a2x+a﹣2x﹣4f（x）+3λ﹣1≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，求λ的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b），若函数y＝f（x）满足：∀x∈[a﹣1，a+1]，都有y∈[b﹣1，b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”．（1）判断函数y＝log2x是否为点A（3，2）的“界函数”？并说明理由；（2）若函数y＝x是点A（a，b）的“界函数”，求证：a＝b；（3）若函数y=x−12x2是点

答案与试题解析题号12345678答案CBDBADCC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）−55πA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【分析】根据终边判断角的象限即可．解：−55π12=−−55π12与所以−55π故选：C．【点评】本题考查终边相同角的判断，属于基础题．2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜5}，N＝{x|x＝2k，k∈N}，则M∩N＝（）A．{2，4} B．{0，2，4} C．{﹣2，0，2，4} D．{0，1，2，3，4}【分析】根据交集的定义即可求解．解：因为N＝{x|x＝2k，k∈N}＝{0，2，4，6，8，⋯，}，M＝{x|﹣3＜x＜5}，所以M∩N＝{0，2，4}．故选：B．【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．3．（5分）函数f(x)=2A．（2，3）∪（3，+∞） B．[2，3）∪（3，+∞） C．（﹣2，3）∪（3，+∞） D．[﹣2，3）∪（3，+∞）【分析】根据偶次根式被开方数非负，分式的分母不等于0，列出不等式组，解不等式组即可求出定义域．解：要使函数f(x)=2则2x−14≥0∴f（x）的定义域为[﹣2，3）∪（3，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4．（5分）已知函数f（x）＝loga（4x﹣7）﹣3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（m，n），则m+n＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根据对数函数性质确定P的坐标，可得m，n，再求结论．解：函数f（x）＝loga（4x﹣7）﹣3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（m，n），令4x﹣7＝1，解得x＝2，又f（2）＝loga（4×2﹣7）﹣3＝﹣3，∴函数f（x）＝loga（4x﹣7）﹣3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（2，﹣3），即m＝2，n＝﹣3，∴m+n＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查对数函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）已知函数f（x）的图象在R上连续不断，则“f（1）f（3）＜0”是“f（x）在区间（1，3）上有零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【分析】根据零点存在性定理，及定理本身就是充分不必要条件，即可作出判断．解：函数f（x）的图象在R上连续不断，若f（1）f（3）＜0，则f（x）在区间（1，3）上有零点，则“f（1）f（3）＜0”是“f（x）在区间（1，3）上有零点”的充分条件；对于函数y＝f（x），若满足f（1）f（3）＞0，f（x）在区间（1，3）上也可能有零点，如f（x）＝（x﹣2）2，所以“f（1）f（3）＜0”不是“f（x）在区间（1，3）上有零点”的必要条件，则“f（1）f（3）＜0”是“f（x）在区间（1，3）上有零点”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查函数零点的判定，考查充分必要条件的应用，是基础题．6．（5分）设a＝log30.8，b＝5﹣0.1，c＝log23，则（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【分析】结合对数函数和指数函数性质证明a＜0，0＜b＜1，c＞1，由此比较a，b，c的大小．解：y＝log3x在（0，+∞）上单调递增，a＝log30.8＜log31＝0，y＝5x在（﹣∞，+∞）上单调递增，则0＜b＝5﹣0.1＜50＝1，y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，1＝log22＜log23＝c，所以c＞b＞a．故选：D．【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．7．（5分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ=θA．22.5℃ B．25℃ C．27.5℃ D．30℃【分析】由已知得到50＝20+（80﹣20）e﹣18k，解得e−18k=12，再代入θ＝20+（80﹣20）解：因为t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ=θ当空气温度为20℃时，某物体的温度从80℃下降到50℃用时18分钟，所以θ0＝20，θ1＝80，θ＝50，所以50＝20+（80﹣20）e﹣18k，可得e−18k再经过36分钟后，该物体的温度为：θ＝20+（80﹣20）e﹣54k＝20+（80﹣20）（e﹣18k）3＝27.5，即该物体的温度为27.5℃．故选：C．【点评】本题考查函数的实际应用，属中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x，g(x)=(12)x−m，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[﹣1，4]，使得g（x1）≤fA．[−152，+∞) B．[1【分析】若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[﹣1，4]，使得g（x1）≤f（x2）成立，等价于g（x1）max≤f（x2）max，利用函数的单调性求得在固定区间的最值，即可求得参数范围．解：若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[﹣1，4]，使得g（x1）≤f（x2）成立，即g（x1）max≤f（x2）max，又g(x)=(所以g(x)且f（x）＝x2﹣2x在[﹣1，1]上单调递减，在[1，4]上单调递增，又f（﹣1）＝3，f（4）＝8，所以f（x）max＝8，所以1﹣m≤8，解得m≥﹣7，即m的取值范围是[﹣7，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）小胡同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，OB＝OA＝4，则（）A．∠AOB=πB．弧AB的长为4π3C．扇形OAB的周长为4π3D．扇形OAB的面积为8π【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案．解：在扇形OAB中，∠AOB＝60°，OB＝OA＝4，对于A，∠AOB=π3，故对于B，弧长l=αr=π3×4=对于C，扇形OAB的周长为4π3+8，故对于D，扇形OAB的面积S=12lr=故选：BD．【点评】本题考查了角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．（多选）10．（6分）若a＞1，函数f（x）＝|loga（x+2）|，则下列说法正确的是（）A．f(−7B．函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递减 C．函数f（x）在区间[−32D．若f（x1）＝f（x2）（x1＜x2），则（x1+2）（x2+2）＝1【分析】计算对数式判断A；根据已知范围化简函数再结合函数的单调性判断B，根据函数的单调性得出函数的最小值判断C；应用对数函数的正负去绝对值得出对数式运算即可得出选项D．解：a＞1，函数f（x）＝|loga（x+2）|，因为f（−74）＝|loga4|，又f（2）＝|loga4|，所以f(−74当x∈（﹣1，+∞），a＞1，所以f（x）＝|loga（x+2）|＝loga（x+2）在区间（﹣1，+∞）上单调递增，故B错误；当x∈[−32，0]时，lo当x∈（﹣2，﹣1）时，x+2∈（0，1），又a＞1，所以f（x）＝|loga（x+2）|＝﹣loga（x+2），所以函数f（x）在区间（﹣2，﹣1）上单调递减，又函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递增，若f（x1）＝f（x2）（x1＜x2），则﹣2＜x1＜﹣1＜x2，所以|loga（x1+2）|＝|loga（x2+2）|，即﹣loga（x1+2）＝loga（x2+2），所以loga[（x1+2）（x2+2）]＝0，所以（x1+2）（x2+2）＝1，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了对数函数性质的综合应用，属于中档题．（多选）11．（6分）已知实数a，b满足a2+2b2＝4，则下列说法正确的是（）A．ab的最大值为43 B．a2+4b的最大值为6C．b2+2ab的最大值为4 D．b2﹣2ab的最大值为4【分析】利用基本不等式判断ACD，利用不等式的性质判断B．解：已知实数a，b满足a2+2b2＝4，因为ab=22⋅a⋅2b≤22⋅a2+则ab的最大值为2，故A错误；因为a2+2b2＝4，所以a2＝4﹣2b2，−2所以a2+4b＝4﹣2b2+4b＝﹣2（b﹣1）2+6≤6，当且仅当b＝1时等号成立，则a2+4b的最大值为6，故B正确；因为b2+2ab≤b2+a2+b2＝4，当且仅当a＝b=233则b2+2ab的最大值为4，故C正确；因为b2﹣2ab≤b2+a2+b2＝4，当且仅当a=233，b=−23则b2﹣2ab的最大值为4，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知函数f(x)=log2(1−x)，x＜0，2x，x≥0，则f【分析】利用分段函数和指对数运算，按段落求值，即可．解：由题意可得f（﹣3）＝log2（1+3）＝log24＝2，f(log所以f（﹣3）+f（log25）＝2+5＝7．故7．【点评】本题考查了分段函数和指对数运算，属于基础题．13．（5分）已知函数f（x），给出两个性质：①f（x）在R上单调递减；②对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）f（x2）＝f（x1+x2）．写出一个同时满足性质①和性质②的函数f（x）＝(12【分析】根据指数函数的单调性得出符合性质①再根据指数运算律得出符合性质②即可得出函数．解：①f（x）在R上单调递减；②对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）f（x2）＝f（x1+x2），取函数f(x)=(12)x，由指数函数的单调性可知，函数f(x)=因为f(x1)f(x2故(1【点评】本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝x2，且对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），都有f(x1)−f(x2)x【分析】设g(x)=f(x)−12x2，由f（x）+f（﹣x）＝x2，化简得到g（x）是奇函数，根据f(x解：因为定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝x2，设g(x)=f(x)−1则f（x）−12x2=12x2﹣f（﹣x）＝﹣[f（﹣x）−1故g（x）＝﹣g（﹣x），所以g（x）＝f（x）−1又对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），都有f(x设x1＞x2，则f(x即f(x1)−x122＜f(x2)−所以g（x）在[0，+∞）上单调递减⇒g（x）在R上单调递减，因为f(2x)−f(1−2x)＞2x−12，所以g（2x）＞g（1﹣2所以2x＜1﹣2x，解得x＜1即不等式f(2x)−f(1−2x)＞2x−12的解集为故(−∞，1【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．求下列各式的值：（1）(1（2）3lg5+lg8﹣log32•log43．【分析】（1）根据分数指数幂与根式的转化及指数运算计算化简求值即可；（2）根据对数运算律计算求值．解：（1）(=(2=(=2（2）3lg5+lg8−lo=3(lg5+lg2)−1【点评】本题考查了有理数指数幂和对数运算律，属于基础题．16．已知集合A＝{x|2x2﹣2＜3x}，B＝{x|2a﹣3＜x＜a+1}．（1）若a=12，求A∪（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求a的取值范围．【分析】（1）解不等式化简集合A，把a=1（2）由（1）的信息，利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解．解：（1）依题意，A＝{x|2x2﹣2＜3x}＝{x|−1当a=12时，B=(−2，32)（2）由“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，得A⫋B，因此2a−3＜−12a+1≥2或2a−3≤−12则1≤a≤54，所以a的取值范围是【点评】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了充分必要条件的应用，属于基础题．17．已知函数f(x)=log（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；（2）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围．【分析】（1）若函数的定义域为R，则对数函数的真数大于零恒成立，对a分类讨论解不等式即可求出的范围；（2）若函数在区间[1，2]上单调递减，根据同增异减法则可知，内函数单调递增，且真数大于零恒成立，分类讨论求解即可．解：（1）根据题意，函数f(x)=log若f（x）的定义域为R，则不等式ax2+4x+a﹣3＞0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，4x﹣3＞0，解得x＞3当a≠0时，a＞0，Δ=42综上，a的取值范围是（4，+∞）．（2）当a＝0时，f(x)=log当a＞0时，若f（x）在区间[1，2]上单调递减，则−所以a＞0；当a＜0时，若f（x）在区间[1，2]上单调递减，则−所以−1综上，a的取值范围是(−1【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及不等式的恒成立问题，属于中档题．18．已知函数f（x）＝ax﹣m•a﹣x（a＞1）是奇函数，且f(1)=3（1）求m和a的值；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）若a2x+a﹣2x﹣4f（x）+3λ﹣1≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，求λ的取值范围．【分析】（1）根据奇函数f（0）＝0和f(1)=32即可求得m和（2）根据函数单调性的定义即可证明函数单调性；（3）运用函数f（x）的单调性和奇函数的性质，结合常变量分离法、换元法、构造函数法进行求解即可．解：（1）由题意知f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝1﹣m＝0，解得m＝1，当m＝1时，f（x）＝ax﹣a﹣x，所以f（﹣x）＝a﹣x﹣a﹣（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣（ax﹣a﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，满足题意．又f(1)=a−a即2a2﹣3a﹣2＝0，（a﹣2）（a+1解得a=−12（舍去）或综上，m＝1，a＝2；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，证明如下：设∀x1，x2∈R且x1＜x2，则f(=2=2=(又x1＜x2，所以2x1−2x所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；（3）若a2x+a﹣2x﹣4f（x）+3λ﹣1≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，即22x+2﹣2x﹣4（2x﹣2﹣x）≥1﹣3λ对任意的x∈[1，2]恒成立，令g（x）＝22x+2﹣2x﹣4（2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣4（2x﹣2﹣x）+2，令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，由（2）可知f（x）＝2x﹣2﹣x为增函数，又1≤x≤2，f(1)=32，所以32≤t所以y=t所以g（x）min＝﹣2，t＝2时等号成立，所以﹣2≥1﹣3λ，解得λ≥1，即λ的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查了奇函数、幂函数的性质，考查了转化思想及函数单调性的证明，属于中档题．19．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b），若函数y＝f（x）满足：∀x∈[a﹣1，a+1]，都有y∈[b﹣1，b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”．（1）判断函数y＝log