2024-2025学年北京延庆区高二（上）期末数学试卷（含答案）

第2页/共12页2025北京延庆高二（上）期末数学2025.1本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）复数，则的虚部为（A）（B）（C）（D）（2）双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）（3）若直线与圆相切，则实数的值为（A）（B）（C）或（D）或（4）已知是双曲线上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（A） （B）（C）（D）（5）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则（A）（B）（C）（D）（6）已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（A）（B）（C）（D）（7）如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（A）平面（B）（C）二面角的大小为（D）直线与平面所成角的大小不变（8）“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最大值是（A）（B）（C）（D）（10）如图，在长方体中，，，，，，是平面上的动点，且满足的周长为，则面积的最小值是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）以为直径的两个端点的圆的标准方程是．（12）若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为．（13）已知直线与双曲线的一条渐近线垂直，则斜率的一个取值是．（14）“中国天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），利用了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线照射到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴．如图所示：抛物线，一条光线经过，与轴平行照射到抛物线上的点处，第一次反射后经过抛物线的焦点到抛物线上的点处，第二次反射后经过，则的坐标为，的值为．（15）已知曲线，点，下面有四个结论：①曲线关于轴对称；②曲线与轴围成的封闭图形的面积大于；③曲线上任意点满足；④曲线与曲线的交点个数可以是个、个、个、个．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（16）（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）若，当时，求的最大值和最小值及相应的；（Ⅱ）若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值和的单调递增区间．（17）（本小题13分）在中，为钝角，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．（18）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，为线段上的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）从条件=1\*GB3①、条件=2\*GB3②、条件=3\*GB3③这三个条件中选择一个，使得平面，并求直线与平面所成角的正弦值和二面角的余弦值．条件=1\*GB3①：；条件=2\*GB3②：；条件=3\*GB3③：平面平面．（19）（本小题15分）已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且椭圆两个焦点之间的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）如果过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，两点，求的面积；（Ⅲ）如果过点的直线与椭圆相交于点，两点，且，求直线的斜率．（20）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求直线斜率的取值范围；（Ⅲ）判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论.（21）（本小题15分）设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.例如，判断是否为集合：当时，此时；当时，此时；当时，此时.所以是集合.（Ⅰ）判断集合和是否为集合；（直接写出答案，结论不需要证明）（Ⅱ）若集合为集合，求出所有集合，并说明理由；（Ⅲ）若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D（2）A（3）C（4）B（5）A（6）B（7）D（8）C（9）A（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）（13）或（两个都答不给分）（14），（注：第一问3分，第二问2分）（15）①②④（注：对一个2分，两个3分，有选错0分）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：……2分……3分……4分（Ⅰ）当时，由，可得……5分当时，取最大值，此时……7分当时，取最小值，此时……9分（Ⅱ）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为所以，且，所以，……10分由……11分得的单调递增区间为……13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得，因为为钝角，……1分得，则，……2分由正弦定理……4分得，解得，……5分因为为钝角，则.……7分（Ⅱ）当时，由余弦定理，……9分得，解得……10分则.……13分（18）（共14分）（Ⅰ）证明：设BD交AC于点O，连结.因为底面为正方形，所以O是BD中点，为线段上的中点所以是的中位线……1分所以，……2分平面，……3分平面，……4分所以直线平面．（Ⅱ）解：选择=2\*GB3②，，又因为底面为正方形，可得，所以，所以平面，……5分以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，,,……6分设平面的法向量为由，得；……8分设直线与平面所成角为θ．则．……10分∴直线与平面所成角的正弦值为．设二面角的为，为钝角，平面的法向量为……11分，……13分二面角的余弦值为．……14分选择=3\*GB3③，平面平面，又因为平面平面，，平面，所以平面，选择=1\*GB3①，错误（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点在轴上，标准方程设为所以解得，……3分所以椭圆C的方程为，……4分椭圆离线率．……5分（Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，……6分联立得．……7分则，．……9分的高……10分（Ⅲ）当直线过点且斜率存在时，设方程为，联立得．……11分则，．……12分因为过点的直线与椭圆相交于点，两点，且，设，知成立，……13分，解得，经检验可知当斜率不存在时，不成立。……15分（20）（共15分）（Ⅰ）解：由题意得解得，……2分从而，……3分所以椭圆C的方程为．……4分（Ⅱ）解：当直线l的斜率不存在时，有，，，．当直线l的斜率存在时，设，其中．联立得．……5分由题意，知恒成立，设，则，．……6分直线的方程为，令，得，即，同理可得．……8分所以将代入整理得……10分，解得……11分（Ⅲ）点在以为直径的圆的内部.证明：当直线l的斜率不存在时，有，，，则，，故，即．……12分由（Ⅱ）可知，．所以，．因为，所以，……14分综上，点在以为直径的圆的内部.……15分（21）(共15分）解：（Ⅰ）集合是集合，……2分集合不是集合，……4分（Ⅱ）当时，，当时，，当时，，……5分不妨设，由集合互异性可知：则且互为相反数，若，可得，不符合题意则，可得当时，，不符合题意当时，解得，或，，不符合题意当时，解得，或，，不符合题意……6分当时，解得，或，，符合题意所以集合或……8分（Ⅲ）假设中元素全为正实数，不妨设当时，，当时，，当时，，由于所以……9分①当中元素至少个大于时