2025版高中数学课时作业33空间两点间的距离公式新人教A版必修2

PAGEPAGE1课时作业33空间两点间的距离公式基础巩固1．点P(2，3，4)到y轴的距离是()A.eq\r(13) B．2eq\r(5)C．5 D.eq\r(29)解析：点P在y轴的射影P′为(0，3，0)，所以|PP′|＝eq\r(22＋42)＝eq\r(20)＝2eq\r(5).答案：B2．空间点A(1，2，3)关于点C(3，5，1)的对称点B的坐标为()A．(1，1.5，1) B．(5，8，－1)C．(－1，－1.5，－1) D．(－5，8，1)解析：考查空间中的对称问题．设B(x，y，z)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝\f(x＋1,2)，,5＝\f(y＋2,2)，,1＝\f(z＋3,2).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝8，,z＝－1))故选B.答案：B3．点A(1，2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为()A．2eq\r(5) B．4C．2eq\r(2) D．2eq\r(7)解析：点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1，2，1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2，1)，故|BC|＝eq\r(（1－1）2＋（2＋2）2＋（1－1）2)＝4.答案：B4．如图1所示，点P′在x轴的正半轴上，且|OP′|＝2，点P在xOz平面内，且垂直于x轴，|PP′|＝1，则点P的坐标是________．图1解析：由于点P在xOz平面内，故其纵坐标为0，结合图形可知点P的坐标是(2，0，1)．答案：(2，0，1)5．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1，2)，其中心M的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A(3，－1，2)，中心M(0，1，2)所以C1(－3，3，2)．正方体体对角线长为|AC1|＝eq\r([3－（－3）]2＋（－1－3）2＋（2－2）2)＝2eq\r(13)，所以正方体的棱长为eq\f(2\r(13),\r(3))＝eq\f(2\r(39),3).答案：eq\f(2\r(39),3)6．如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．图2解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图3所示的空间直角坐标系．图3因为|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，所以|DE|＝eq\r(（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2)＝eq\r(5)，|EF|＝eq\r(（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2)＝eq\r(6).实力提升1．已知三点A、B、C的坐标分别为A(4，1，3)、B(2，－5，1)、C(3，7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于()A．28 B．－28C．14 D．－14解析：∵AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形，|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.而|BC|2＝λ2－2λ＋146，|AB|2＝44，|AC|2＝(3－λ)2＋37，解得λ＝－14.答案：D2．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形态是()A.等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：|AB|＝eq\r(（1－4）2＋（－2－2）2＋（11－3）2)＝eq\r(89)，|BC|＝eq\r(（4－6）2＋（2＋1）2＋（3－4）2)＝eq\r(14)，|AC|＝eq\r(（1－6）2＋（－2＋1）2＋（11－4）2)＝eq\r(75)，∴|AB|2＝|BC|2＋|AC|2.∴△ABC为直角三角形．答案：C3．在空间直角坐标系中，与点A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)等距离的点的个数为()A．1 B．2C．3 D．多数解析：由两点间距离公式可得|AB|＝eq\r(26)，|BC|＝eq\r(74)，|AC|＝eq\r(26).易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面，在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等．而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等．答案：D4．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4，1，2)的距离为eq\r(30)，则P点坐标为________．解析：设点P的坐标为(x，0，0)，由题意，得|P0P|＝eq\r(30)，即eq\r(（x－4）2＋12＋22)＝eq\r(30).解得x＝9或x＝－1.所以P点坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．答案：(9，0，0)或(－1，0，0)5．与点A(－1，2，3)，B(0，0，5)的距离相等的点的坐标满意的条件为________．解析：设满意条件的点的坐标为(x，y，z)，由题意可得eq\r(（x＋1）2＋（y－2）2＋（z－3）2)＝eq\r(x2＋y2＋（z－5）2)，即2x－4y＋4z－11＝0.答案：2x－4y＋4z－11＝06．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离．图4解：如图5分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，图5∵|DD1|＝|CC1|＝2，∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，∵N为CD1的中点，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，1)).M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M(1，1，2)．由两点间距离公式得|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))\s\up12(2)＋（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\f(\r(21),2).7．如图6所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．图6解：由题意有B(0，－2，0)，C(0，2，0)，设D(0，y，z)，在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，∴|BD|＝2，|CD|＝2eq\r(3)，z＝eq\r(3).∴y＝－1，∴D(0，－1，eq\r(3))．又∵Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，∴|AD|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))\s\up12(2)＋（0－\r(3)）2)＝eq\r(6).8．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，