2.3 有理数的乘法 解答专练 2023-2024学年浙教版数学七年级上册 带解析

2.3有理数的乘法—解答专练—>>>精品解析<<<1、观察下列等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且这个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：①52×2＝×25；②×396＝693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字是a，个位数字是b，且2≤a+b＜9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并用所学的数学知识说明你所写的式子的正确性．［思路分析］（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可．［答案详解］解：（1）①∵5+2＝7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，∴52×275＝572×25，②∵左边的三位数是396，∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，63×369＝693×36；故答案为：①275，572；②63，36；（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]＝[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），证明：左边＝（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，＝（10a+b）（100b+10a+10b+a），＝（10a+b）（110b+11a），＝11（10a+b）（10b+a），右边＝[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），＝（100a+10a+10b+b）（10b+a），＝（110a+11b）（10b+a），＝11（10a+b）（10b+a），左边＝右边，所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]＝[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．［经验总结］本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．2、观察下列各式：×＝××＝×××＝…（1）猜想×××…×＝；（2）根据上面的规律，计算：（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×…×（﹣1）．［思路分析］（1）直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．［答案详解］解：（1）×××…×＝；故答案为：；（2）（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×…×（﹣1）＝﹣×（﹣）×（﹣）×…×（﹣）＝﹣．［经验总结］此题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．3、用简便方法计算（1）99×（﹣9）（2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3）［思路分析］（1）将99变形为（100﹣），然后依据乘法的分配律进行计算即可；（2）逆用乘法的分配律计算即可．［答案详解］解：（1）原式＝（100﹣）×（﹣9）＝﹣900+＝﹣899．（2）原式＝（﹣5﹣7+12）×（﹣3）＝0×（﹣3）＝0．［经验总结］本题主要考查的是有理数的乘法，应用乘法分配律进行简便计算是解题的关键．4、用简便方法计算：29×（﹣3）．［思路分析］先变形，再根据乘法的分配律进行计算即可．［答案详解］解：29×（﹣3）＝（30﹣）×（﹣3）＝30×（﹣3）﹣×（﹣3）＝﹣90+＝﹣89．［经验总结］本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法分配律是解题的关键．5、“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果计入相应的方格中，最后沿斜线方向相加得3266．（1）如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则x＝，y＝；（2）如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝，n＝；（3）如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝．［思路分析］（1）由21＝7x，10+y＝3×4，即可求x、y的值；（2）由题意可得，m+n+8＝11，ad＝10n+4，bc＝10m+2，再推理出m、n的值即可；（3）根据运算法则，将表格补充，当千位是0时，10（6﹣k﹣k）+k﹣4＝7k；当千位是1时，10（16﹣k﹣k）+k﹣4＝7k；即可求k的值．［答案详解］解：（1）∵63＝9×7，21＝7x，∴x＝3，∵10+y＝3×4，∴y＝2，故答案为：3，2；（2）由题意可得，m+n+8＝11，∴m+n＝3，∵ad＝10n+4，∴n＝0或n＝1或n＝2或n＝3，∵bc＝10m+2，∴m＝3或m＝1或m＝0，∵ac＝18＝2×9＝3×6，∴m＝1，∴n＝2，故答案为：1，2；（3）如图4，当千位是0时，10（6﹣k﹣k）+k﹣4＝7k，解得：k＝；当千位是1时，10（16﹣k﹣k）+k﹣4＝7k，k＝6；∵k是整数，∴k＝6，故答案为：6．［经验总结］本题考查有理数的运算，理解所给的算法，借助有理数的运算求解是解题的关键．6、﹣24×（﹣+﹣）［思路分析］利用乘法分配律进行计算即可得解．［答案详解］解：﹣24×（﹣+﹣），＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24），＝20﹣9+2，＝22﹣9，＝13．［经验总结］本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便．7、分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！（1）当ab＜0时，若b＞0，|a|＜|b|，则a+b0；（2）当abc＜0时，若ab＞0，则c0；（3）当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程）［思路分析］（1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定；（2）根据有理数的乘法法则即可确定；（3）a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，分情况讨论：①a＝1，b＝0，②a＝0，b＝1，③a＝﹣1，b＝0，④a＝0，b＝﹣1，分别计算a+b的值即可．［答案详解］解：（1）∵ab＜0，b＞0，∴a＜0，∵|a|＜|b|，∴a+b＞0，故答案为：＞；（2）∵abc＜0，ab＞0，∴c＜0，故答案为：＜；（3）∵a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，分情况讨论：①a＝1，b＝0，此时a+b＝1；②a＝0，b＝1，此时a+b＝1；③a＝﹣1，b＝0，此时a+b＝﹣1；④a＝0，b＝﹣1，此时a+b＝﹣1，∴a+b的值为±1．［经验总结］本题考查了有理数的乘法和有理数的加法，熟练掌握有理数的乘法法则和加法法则是解题的关键，注意分情况讨论．8、已知a的相反数是2，|b|＝6．（1）若ab＜0，求a+b的值．（2）若|a+b|＝﹣（a+b），求a﹣b的值．［思路分析］（1）根据相反数以及绝对值的定义，得a＝﹣2，b＝±6．再根据有理数的乘法解决此题．（2）根据相反数以及绝对值的定义，得a＝﹣2，b＝±6．再根据有理数的加法解决此题．［答案详解］解：由题意得，a＝﹣2，b＝±6．（1）∵ab＜0，∴a与b异号．∴a＝﹣2，b＝6．∴a+b＝﹣2+6＝4．（2）∵|a+b|＝﹣（a+b），∴a+b≤0．∴当a＝﹣2，则b＝﹣6．∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣6）＝4．［经验总结］本题主要考查相反数、绝对值、有理数的乘法以及有理数的加法，熟练掌握相反数、绝对值、有理数的乘法法则以及加法法则是解决本题的关键．9、25×11＝275，13×11＝143，48×11＝528，74×11＝814．观察上面的算式我们可以发现两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一．请根据上面的速算方法，回答下列问题．（一）填空：①54×11＝；②87×11＝；③95×（﹣11）＝；（二）已知一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，将这个两位数乘11．（1）若a+b＜10；①计算结果的百位、十位、个位上的数字分别是、、，这个三位数可表示为．②请通过化简①中所表示的三位数并计算该两位数乘11的结果验证该速算方法的正确性．（2）若a+b≥10，请直接写出计算结果的百位、十位、个位上的数字．［思路分析］（一）根据题中的例题确定所求即可；（二）（1）①根据a+b＜10时”头尾一拉，中间相加“即可判断出，②将100a+10（a+b）+b因式分解即可得其是11的倍数；（2）根据a+b≥10时”头尾一拉，中间相加，满十进一“即可写出．［答案详解］解：（一）①54×11＝594；②87×11＝957；③95×（﹣11）＝﹣1045；故答案为：594，957，﹣1045；（二）（1）①a；a+b；b；100a+10（a+b）+b；②∵100a+10（a+b）+b＝100a+10a+10b+b＝110a+11b（10a+b）×11＝110a+11b，∴100a+10（a+b）+b＝（10a+b）×11，∴该速算方法是正确的；（2）百位、十位、个位上的数字分别为：a+1，a+b﹣10，b．［经验总结］本题考察了有理数的乘法运算，弄清例题中的计算方法“头尾一拉，中间相加，满十进一”是解题关键．10、阅读理解题在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，例如：你能理解上述三题的解题思路吗？理解了，请完成：如图给出了部分速算过程，可得a＝，b＝，c＝，d＝，e＝，f＝．［思路分析］根据表格发现规律：“第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位．“即可得到答案．［答案详解］解：（1）由题意得，第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，如第二个表格：2×8+3×7＝16+21＝37，第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位，∵64×87＝5568，6×8＝48，4×7＝28，6×7+4×8＝42+32＝74，∴a＝4，b＝8，c＝2，d＝8，e＝7，f＝4，故答案为4，8，2，8，7，4．［经验总结］本题属于与有理数乘法有关的规律探索题，根据表格发现规律是解决问题的关键．11、已知非零有理数a，b，c满足ab＞0，bc＞0．（1）求的值；（2）若a+b+c＜0，求的值．［思路分析］（1）根据ab＞0，bc＞0可得a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，所以ac＞0，化简即可；（2）若a+b+c＜0，则a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，根据绝对值的性质化简即可．［答案详解］解：（1）∵ab＞0，bc＞0，∴a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，∴ac＞0，∴＝＝1+1+1＝3；（2）∵a+b+c＜0，∴a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，∴＝＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4．［经验总结］本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．12、对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P是“点M到点N的k倍分点”．例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，则点Q1是点Q2到点Q3的倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点．已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．（1）点B是点A到点C的倍分点，点C是点B到点A的倍分点；（2）点B到点C的3倍分点表示的数是；（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，写出x的取值范围．［思路分析］（1）通过计算，的值，利用题干中的定义解答即可；（2）设这点为E，对应的数字为a，利用分类讨论的思想方法根据＝3分别列出方程，解方程即可得出结论；（3）分两种情况：①点D在点B的左侧，②点D在点C的右侧，分别计算出x的两个临界值即可得出结论．［答案详解］解：（1）∵点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2，∴BA＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC＝2﹣（﹣2）＝4，CA＝2﹣（﹣4）＝6．∵，∴点B是点A到点C的倍分点，∵，∴点C是点B到点A的倍分点．故答案为：；；（2）设这点为E，对应的数字为a，则＝3．当点E在B，C之间时，∵＝3，∴，解得：x＝1．当点E在C点的右侧时，∵＝3，∴＝3，解得：x＝4．综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．故答案为：1或4．（3）①点D在点B的左侧，∵＝2，解得：x＝﹣3．∴x的最小值为﹣3．②点D在点C的右侧，∵，解得：x＝5，∴x的最大值为5，综上，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，则x的取值范围为：﹣3≤x≤5．［经验总结］本题主要考查了有理数与数轴，数轴上的点与表示这个的点的数字的特征，本题是新定义型题目理解新定义并熟练应用以及用数轴上的点对应的数字表示线段的长度是解题的关键．13、红旗中学美术课外小组女同学占全组人数的，加入6个女同学后，女同学就占全组人数的，求美术课外小组原来的人数．［思路分析］列方程求解．［答案详解］解：设美术课外小组原有x人，由题意得：x+6＝（x+6）．解得：x＝12．答：美术课外小组原有12人．［经验总结］本题考查列方程解应用题，找到等量关系，正确列出方程是求解本题的关键．14、用简便方法计算：（﹣9）×18．［思路分析］原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值．［答案详解］解：原式＝（10﹣）×（﹣18）＝﹣180+＝﹣179．［经验总结］此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15、碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量多寡，如图所示．碳足迹标签的数据标示有其规定，以碳排放量大于20公克且不超过40公克为例，此范围内的碳足迹数据标示只有20、22、24、…、38、40公克等11个偶数；碳足迹数据标示决定于碳排放量与这11个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如下表所示．碳排放量碳足迹数据标示20.2公克20公克20.8公克20公克21.0公克20公克或22公克皆可23.1公克24公克请根据上述资讯，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程．（1）若有一个产品的碳足迹数据标示为38公克，则它可能的碳排放量之最小值与最大值分别为多少公克？（2）承（1），当此产品的碳排放量减少为原本的90%时，请求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形．［思路分析］（1）由碳排放量20.2公克，碳足迹数据标示20公克，碳排放量21.0公克，碳足迹数据标示，20公克或22公克皆可，可得碳足迹数据标示为38公克，碳排放量之最小值与最大值分别为37.0和39.0公克．（2）由（1）的最大值和最小值乘以90%就求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形．［答案详解］解：（1）碳排放量之最小值与最大值分别为37.0和39.0公克．（2）∵此产品的碳排放量减少为原本的90%，∴37.0×90%＝33.3（公克），39.0×90%＝35.1（公克），∴此产品碳足迹数据标示为：34公克或36公克．［经验总结］本题考查了不等式的相关知识，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题目即可求解．16、阅读下列材料：|x|＝，即当x＜0时，＝﹣1．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求的值；（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．［思路分析］（1）对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，a、b异号，根据绝对值的意义计算+得到结果；（2）对a、b、c进行讨论，即a、b、c同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算++得结果；（3）根据a，b，c是有理数，a+b+c＝0，把求转化为求++的值，根据abc＜0得结果．［答案详解］解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，①a＜0，b＜0，+＝﹣1﹣1＝﹣2；②a＞0，b＞0，+＝1+1＝2；③a，b异号，+＝0．故+的值为±2或0．（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，①a＜0，b＜0，c＜0，++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a＞0，b＞0，c＞0，++＝1+1+1＝3；③a，b，c两负一正，++＝﹣1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c两正一负，++＝﹣1+1+1＝1．故++的值为±1，或±3．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c两正一负，所以++＝++＝﹣[++]＝﹣1．［经验总结］本题考查了有理数的加法、绝对值的化简，解决本题的关键是对a、b、c的分类讨论．注意＝±1（x＞0，结果为1，x＜0，结果为﹣1）17、已知|x|＝5，|y|＝3．（1）若x﹣y＞0，求x+y的值；（2）若xy＜0，求|x﹣y|的值；（3）求x﹣y的值．［思路分析］（1）根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果；（2）根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果；（3）根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．［答案详解］解：∵|x|＝5，∴x＝5或﹣5，∵|y|＝3，∴y＝3或﹣3，（1）当x﹣y＞0时，x＝5，y＝3或x＝5，y＝﹣3，此时x+y＝5+3＝8或x+y＝5+（﹣3）＝2，即x+y的值为：8或2；（2）当xy＜0，x＝5，y＝﹣3或x＝﹣5，y＝3，此时|x﹣y|＝8或|x﹣y|＝8，即|x﹣y|的值为：8；（3）①x＝5时，y＝3时，x﹣y＝5﹣3＝2；②x＝5时，y＝﹣3时，x﹣y＝5+3＝8；③x＝﹣5时，y＝3时，x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8；④x＝﹣5时，y＝﹣3时，x﹣y＝﹣5+3＝﹣2，综上：x﹣y＝±2或±8．［经验总结］此题考查了有理数的加减法以及绝对值，熟练掌握运算法则及绝对值的代数意义是解本题的关键．18、用短除法求48和120的最大公因数和最小公倍数．［思路分