2.5-角平分线的性质 带解析-2023年升初二人教版暑假衔接教材

❊2.5角平分线的性质考点先知考点先知知识考点角平分线的性质1.角平分线的性质2.角平分线性质与三角形面积三角形的内心3.内心与三角形的面积题型精析题型精析知识点一角平分线的性质知识点一角平分线的性质全等三角形的判定原理内容角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等.题型一角平分线的性质题型一角平分线的性质例1如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（）例1A．3B．C．2D．4【答案】A【分析】根据角平分线的性质进行求解即可．【详解】解：∵，，平分，，∴，故选A．例2如图，平分，点P是射线上一点，于点，点是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（）例2A．3B．4C．5D．6【答案】A【分析】根据垂线段最短可得时，最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而可知的最小值，即可判断．【详解】解：当时，的值最小，∵平分，，∴，∵，∴的最小值为4．故选：A．变1如图，在中，，平分，，点D到的距离为5，则等于（）变1A．5B．10C．15D．20【答案】C【分析】过点D作于点E，依据角平分线的的性质，即可得到的长，进而得出的长，依据，即可得出结论．【详解】解：如图所示，过点D作于点E，点D到的距离为5，，，平分，，，又，，，故选：C．变2如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为（）变2A．2B．C．4D．【答案】C【分析】根据垂线段最短得出当时，的长度最小，求出，根据角平分线的性质得出即可得出结论．【详解】解：，，，，，，当时，的长度最小，，，，的最小值是4，故选：C．题型二与角平分线性质有关的面积题型二与角平分线性质有关的面积例1在中，是的高线，平分，交于点E，，DE=3，则的面积等于（）例1A．3B．5C．9D．12【答案】C【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：过点E作于点F，∵平分，，，∴，∴，故选：C．变1如图，在中，，，为此三角形的一条角平分线，若，则三角形的面积为（）变1A．3B．10C．12D．15【答案】D【分析】过点作，垂足为，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】如图，过点作，垂足为，∵，，为的角平分线，∴，又∵∴的面积为，故选D．例2如图，在中，平分，若，，则=（）例2A．25：16B．5：4C．16：25D．4：5【答案】B【分析】先根据角平分线性质得到点到和的距离相等，然后根据三角形的面积公式得到．【详解】平分，点到和的距离相等，，故选：B例3如图，AD是的角平分线，E是AB的中点，的面积为21，AC=6，，则的面积为（）例3A．B．5C．4D．【答案】C【分析】作于F，于点M，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作于F，于点M是的角平分线于F，，，即：得，E是AB的中点，故选：C．变2如图，中，，BC=1，，是的平分线，设、的面积分别为S1、S2，则S1：S2等于（）变2A．B．C．D．【答案】A【分析】由已知条件可得点D到两边距离相等，即两三角形的高相等，要求三角形的面积比，只要求出两个三角形的底的比即可．【详解】解：过D作于E，如图所示：∵，∴，∵是的平分线，∴，∵，，又∵，，∴，故A正确．故选：A．变3如图，是中的角平分线，于点E，，，，则的长是（）变3A．8B．10C．12D．16【答案】A【分析】作交于点F，根据角平分线的性质可得，再由，即可求解．【详解】解：如图，作交于点F，∵平分，，，∴，∴，∴，∴，故选：A．例4如图，是的平分线，于点E，，，，则_______cm．例4【答案】1.5【分析】首先过点D作于点F，由是的平分线，，根据角平分线的性质，可得，然后由，即求得答案．【详解】解：过点D作于点F，∵是的平分线，，，∵，，，∴，故答案为：1.5．变4如图，在中，平分，垂足为，，，，则的长是_______．变4【答案】【分析】过D作交于点F，根据角平分线性质得到，求出面积即可得到面积，利用面积公式即可得到答案；【详解】解：过D作交于点F，∵平分，，，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为；知识点二三角形的内心知识点二三角形的内心全等三角形的判定原理内容三角形的内心：三角形的三条角平分线线交于一点，我们把该点叫做三角形的内心（即内切圆圆心）；三角形内心的应用：1.三角形的内心到三角形三边距离相等；2.与内心有关的三角形的面积公式：.题型三三角形内心的应用题型三三角形内心的应用例1如图，的三边、、的长分别是8，10，14，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，则等于（）例1A．B．C．D．【答案】C【分析】过点作，，，垂足分别为，，，根据角平分线的性质可知：，利用三角形的面积公式计算可求解．【详解】解：过点作，，，垂足分别为，，，的三条角平分线交于点，，在中，，，，，故选：C．变1如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（）变1A．S1+S2=S3B．S1+S2＜S3C．S1+S2＞S3D．无法确定【答案】C【分析】过点I分别向边AB，BC，AC做垂线，垂足分别为D，E，F，因为角平分线上的点到角两边的距离相等，故△ABI，△ACI，△BCI的高相等，所以比较面积即比较底即可，再根据三角形中两边之和大于第三边即可得出答案．【详解】过点I分别向边AB，BC，AC做垂线，垂足分别为D，E，F，如图，根据角平分线的性质，，，设，则，，，∵，．故选：C．例2如图，的角平分线交于点，，，的周长为17，则的面积为（）例2A．17B．34C．18D．21【答案】A【分析】过点作于点，作于点，连接，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的周长公式可得，然后根据即可得．【详解】解：如图，过点作于点，作于点，连接，的角平分线交于点，且，，，的周长为17，，的面积为，故选：A．例3如图，中，，点I为各内角平分线的交点，过I点作的垂线，垂足为H，若，，，那么的值为（）例3A．1B．C．2D．【答案】A【分析】连接、、，过I作于M，于N，利用角平分线的性质，以及等积法求线段的长度，即可得解．【详解】解：连接、、，过I作于M，于N，∵点I为各内角平分线的交点，，，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，，，，∴，故A正确．故选：A．变2如图，已知的周长是，分别平分和，于D，且，的面积是_______．变2【答案】##38平方厘米【分析】过O作于E，于F，连接，根据角平分线性质求出，根据，即可求出答案．【详解】解：过O作于E，于F，连接，∵分别平分和，于D，∴，即，∴的面积是：，故答案为：．变3在中，和的平分线交于点D，于点E，如果，的面积是6，则周长是_______．变3【答案】【分析】根据角平分线的性质得到，．根据的面积，利用即可解答．【详解】解：如图，过点作于点，于点，连接．平分，，，．平分，，，．，，即，∴，即的周长为，故答案为：．课后强化课后强化1.如图，在中，，是的平分线，于点E，已知，，则的长为（）A．4B．6C．8D．10【答案】D【分析】根据角平分线的性质得到，再利用证明得到即可求解．【详解】解：∵是的平分线，，，∴，，在和中，∴，∴，又，∴，故选：D．2.如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】过点作于E，根据角平分线的性质得，再根据求解即可．【详解】过点作于，平分，点到的距离是故选：D．3.如图，中，，平分，，，则的面积为（）A．12B．10C．15D．30【答案】C【分析】过点作交于点，由角平分线的性质，即可求得的长，再利用三角形的面积公式即可求得的面积．【详解】解：如图所示，过点作交于点，，平分，，，故选：C．4.如图在中，AD是它的角平分线，，，则_______．【答案】【分析】如图，过作于作于再证明再利用面积公式直接进行计算即可．【详解】解：如图，过作于作于∵AD是它的角平分线，而，，故答案为：．5.如图，，为和的平分线的交点，于点E，且，则与间的距离为_______．【答案】8【分析】过O点作于点H，交于点G，根据角平分线的性质即可得解．【详解】解：过O点作于点H，交于点G，，，，、为角平分线，，，，，，，故答案为：8．6.如图，在中，为其角平分线，于点，于点，的面积是9cm2，，，求的长．【答案】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据，计算即可得解．【详解】解：为的平分线，，，，∵，∴，即，解得：，．7.如图，在中，为角平分线的交点，若的面积为，则的面积为（）A．18B．20C．22D．24【答案】D【分析】过点作于，于，如图，根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，然后利用比例性质计算．【详解】解：过点作于，于，如图，为角平分线的交点，，，．故选D．8.如图，在中，和的平分线相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，若，，则的面积为_______．【答案】4【分析】根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解．【详解】解：如图，作于M，∵平分，，，∴，∴的面积为．故答案为：4．9.如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24B．27C．30D．33【解题思路】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积．【解答过程】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC=12