2.6-全等模型-2023年升初二人教版暑假衔接教材

❊2.6全等模型（1）考点先知考点先知知识考点中点模型1.中点模型-倍长中线角平分线模型2.角平分线模型-截长补短一线三等角模型3.一线三等角模型，一线三直角模型题型精析题型精析知识点一中点模型-倍长中线知识点一中点模型-倍长中线全等三角形的判定原理内容如图所示，D为BC边上的中点，将中线延长并使得AD=DE（即倍长中线），则△ADB≌△EDC（SAS）.题型一角平分线的性质题型一角平分线的性质例1在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（）例1A．B．C．D．变1在中，，，则边上的中线的取值范围是____________．变1例2辰萱同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：例2（1）求出的取值范围；（2）如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．变2如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．变2例3规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：例3（1）求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．（2）取的中点P，连接，请证明．例4如图1，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求AC边上的中线BD例4（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE=BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是____________．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．变3（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），变3①延长AD到M，使得DM=AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是____________；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．知识点二角平分线模型-截长补短知识点二角平分线模型-截长补短全等三角形的判定原理内容如图所示，BD是∠ABC的角平分线，且BC>BA.【截长】在BC上作一点E，使得BE=BA，则△ABD≌△EBD.【补短】延长BA至E，使得BE=BC，则△EAD≌△CBD.题型一角平分线的性质题型一角平分线的性质例1如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．求证：．例1例2如图，△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，若AC+CD=AB，求∠C例2变1已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．求证：AC=AB+BD．变1变2如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC，则∠A+∠C的度数是______度．变2例3如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（例3A．6B．7C．8D．9变3如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（）变3A．3B．9C．11D．15例4如图，，，分别平分和，经过点E．求证：．例4例5如图中，分别平分相交于点．例5（1）求的度数；（2）求证：变4如图，，，，直线过点交于，交于点．求证：．变4知识点三一线三等角模型知识点三一线三等角模型全等三角形的判定原理内容如图所示，AB=AC，∠B=∠ADE=∠C（即一线三等角），则△ABD≌△DCE（AAS）.如图所示，∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°（即一线三直角），则△ADC≌△CEB（AAS）.题型三一线三等角模型题型三一线三等角模型例1如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长．例1例2在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足．例2（1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是____________；（2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．变1如图所示．已知，，则：变1（1）吗？（2）吗？变2已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作△ABC，使AB=AC，连接BD，CE．变2（1）如图①，若∠BAC=90°，BD⊥m，CE⊥m，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图②，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．例3在中，，，直线经过点，且于，于．例3（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：①；②；（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．变3在中，，，直线经过点，且于，于．变3（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，①求证：；②若，，求长．（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求长；（3）当直线绕点旋转到图3的位置时，，，求长．课后强化课后强化1.三角形两边长分别为8cm和5cm，第三边的中线长可以是（）A．1cmB．2cmC．7cmD．8cm2.已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．3.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．4.如图．AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM．5.（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．（2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C=2∠CDB，AB=12，CD=3，则△ABC的周长为（）A．21B．24C．27D．307.如图，中，平分，，，则的度数为______．8.如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=______．9.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线的交点E在AD上．求证：（1）点E是AD的中点；（2）BC=AB+CD．10.（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°﹣α，BD平分∠ABC．①如图1，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD=CD，这个性质是__________________；②在图2中，求证：AD=CD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD=BC．11.如图，在等腰直角三角形中，，，点在直线上，过作于，过作于．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12.如图，在中，，，于点，于点，若，，则______