第19章 光的衍射

第19章光的衍射◆本章学习目标1．了解惠更斯-菲涅尔原理；2．掌握半波带法，会分析单缝夫琅禾费衍射条纹的分布规律；3．掌握衍射光栅公式；4．了解夫琅禾费圆孔衍射条纹的分布特点，理解光学仪器的分辨率，并能进行相关计算；5．了解X射线的衍射现象。◆本章教学内容1．光的衍射现象；2．单缝衍射圆孔衍射；3．光学仪器的分辨本领；4．衍射光栅衍射光谱；5．伦琴射线衍射布拉赫公式；6．全息照相原理。◆本章教学重点1．夫琅和费单缝衍射；2．光栅衍射。◆本章教学难点1．慧更斯-菲涅尔原理；2．夫琅和费单缝衍射；3．光学仪器的分辨本领；4．衍射光栅公式。◆本章学习方法建议及参考资料1．注意讲练结合；2．要注意依据学生具体情况安排本章进度。参考教材易明编，《光学》，高等教育出版社，1999年10月第一版

§19.1光的衍射现象惠更斯-菲涅耳原理一、光的衍射现象光波遇到障碍物而偏离直线传播，使光的强度重新分布，这种现象称为光的衍射现象.光的衍射现象可分为两种类型.一种是障碍物距光源及接收屏为有限远的衍射成为菲涅耳衍射；另一种是障碍物距光源及接收屏为无限远的衍射为夫琅和费衍射，此时入射光和衍射光是平行光.二、惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理是拨动光学的一个基本原理，应用该原理可较好地解决光的衍射问题.图1惠更斯-菲涅耳原理惠更斯(C.Huygens)原理可以解释光经过障碍物边缘是所发生的现象，但它不能解释为什么会出现明暗相间（或彩色）的条纹.菲涅耳（A.J.Fresnel）在波的叠加原理与干涉现象的基础上，发展了惠更斯原理.他不仅和惠更斯一样，认为波阵面（波前）上每一点都要发射子波，而且还进一步提出：从同一波阵面上各点发出的子波，在传播过程中相遇于空间某点时，可以互相叠加而产生干涉现象.图1惠更斯-菲涅耳原理此即惠更斯-菲涅耳原理.根据这个原理，衍射现象中出现的亮暗条纹，是由于同一波阵面上发出的子波产生干涉的结果.如果已知波动在某时刻的波阵面为，就可以计算波动传到面前方给定点时振动的振幅和周相.（1）波阵面上任意一面元发出的子波在空间一点所产生振动的振幅，正比于此面元的面积，反比于该面元到点的距离，并且与面元对点的倾角有关(如图1)；发出的子波到达点的位相，取决于面元的位相和面元到点的距离.所以在点产生的振动可表示为（19-1）其中为随角增大而缓慢减小的函数，为比例常数.（2）整个波阵面在点所产生的振动，等于此波阵面上所有面元发出的子波在该点所产生的振动总和，即（19-2）一般来说，上式积分相当复杂，但在波阵面已通过的波面法线为轴而有回转对称的情况下，可以用代数加法和矢量加法来代替积分.

§19.2单缝衍射圆孔衍射一、夫琅和费衍射当平行光垂直照射在单缝上，衍射后经透镜会聚后在焦平面处的屏幕上呈现出衍射条纹.刺即夫琅和费衍单缝衍射，简称为单缝衍射.单缝衍射条纹的形成及光强分布可以用菲涅耳波带法定性研究和积分法定量研究，而我们仅用菲涅耳波带法进行定性研究.单缝衍射图样的形成及特点，如图2所示，设单缝的宽度为（实际的单缝是一个长度比宽度大的多的长方形孔），入射光波长为.在平行单色光的垂直照射下，单缝所在处的平面是一个波阵面，根据惠更斯原理，波阵面上各点发射的初相位相同的子波即衍射光线向各个方向传播，方向相同的一组衍射光线经透射镜会聚与屏幕上同一点，不同方向的衍射光线分别会聚在屏幕上不同位置.衍射光线的方向用衍射光线与缝平面发线的夹角表示，叫做衍射角.图2单缝衍射图样的形成当衍射光纤1与入射光线方向相同，即衍射角时，从波阵面（同位相面）到达点的光程相等，即光程差等于零，故各衍射光线到达点时同相位.因此，他们在点的波振动相互加强，在屏幕上点处就形成平行于缝的明条纹，称为中央明纹.图2单缝衍射图样的形成当衍射光线与入射光线方向不同，即衍射角为任意值时，相同衍射角的光线2经透镜汇聚于屏幕上某点，由缝上各点发出的衍射光线到达点的光程不相等.过点作线垂直于衍射光线2，由透镜的等光程性可知，从面上，各点到达点的光程相等，所以各衍射线间的光程差就由它们从缝上的相应位置到面的距离之差来确定，而单缝两端点和点衍射线间的光程差为显然，这是沿衍射角方向的最大光程差.费涅耳采用将波阵面分割成许多面积相等的波带的方法，即菲涅耳波带法，定性地解决了上述问题.菲涅耳波带法：用一组间距为半波长的平行于的平面把分成若干相等的部分，同时，这些平面也把单缝处的波面分成数目相等的波带，因为每个波带的面积相等，所以每个波带发生的子波数可以认为是相等的，这时相当于两个半波长.由于两相邻波带上任何两个对应的点各自发出的光线，从出发点到点的光程差总等于半波长，即在点会聚时周相差总等于，因此他们在点的光振动是相互抵消的，于是点处出现暗条纹.如果将分为三个波带，则相当于三个半波长.显然，相邻两个波带发出的光线在屏幕上会聚点的光振动可以互相抵消，但由于是奇数个半波长，因此在点总有一个半波带的振动存在，因此在点处出现明条纹.因屏上各点与衍射角一一对应，不同角又对应缝按半波带的不同分割情况.当角由小变大，对应的衍射线间的最大光程差逐渐增大，缝可分成的半波带数也由少到多，在屏幕上显示明暗条纹的分布而形成单缝衍射图样.I0图3单缝衍射条纹中光强分布由此可见，对于某一给定的，光程差恰等于半波长的偶数倍，单缝恰被分为偶数各波带，其发出的光线在点的振动都成对地相互抵消，而在点处出现暗条纹.若光程差等于半波长的奇数倍，单缝却被分为奇数个波带，光振动相互抵消的结果总要剩下一个波带发出的光线在会聚点没有被抵消，因而点处出现明条纹.即I0图3单缝衍射条纹中光强分布（19-3）式中正、负号表示各级衍射条纹对称地分布在中央明纹两侧.条纹及光强分布如图3所示，由中央到两侧，条纹级次由低到高，光强迅速下降.而中央明条纹集中了大部分光能，最亮，同时也最宽.这是由于增大，单缝被分成的波带数就越多，即衍射角越大，每一个带的面积就越小，而未被抵消的波带面积也就越小，所以光强迅速由最大值减小到零.条纹宽度：条纹对透镜光心所长的角度称为条纹的角宽度.由于中央明纹位置满足.在夫琅和费单缝衍射中，一般很小，则，于是角宽度.(19-4)第级明条纹位置在很小时满足.(19-5)图4例题19.1用图可见中央明纹的宽度是其他明纹的两倍.当波长不变时，各级条纹的角宽度与缝宽成反比，即越小，条纹铺展愈宽，衍射数应愈显著；反之，衍射效应减弱.当时，，各明纹向中央明纹靠拢而形成一亮斑，光线呈现出光的直线传播，波动光学趋于几何光学.当缝宽不变时，各级条纹的位置和角宽度因波长而异.若用白光做光源，各种波长的中央明纹仍为白色，而中央明纹边缘伴有彩色，其他各级明纹成为彩色条纹并将出现重叠的现象.图4例题19.1用图例题19.1用波长的平行光垂直入射到宽为的单狭缝上，缝后放置一焦距的透镜.求在透镜焦面所形成的中央明纹的线宽及第一级明纹的位置.解：单缝衍射中央明纹的线宽度应等于焦平面上两个第一级暗条纹的距离.如图4所示，设第一级暗纹角位置为，到焦平面中心的距离为，则有.由（19-3）式有第一级暗纹角位置为.图5（a）实验装置简图因在夫琅和费单缝衍射中，一般很小，有，由此关系并由上两式可得中央明纹线宽度图5（a）实验装置简图设焦平面上第一级明条纹的角位置为，到中心的距离为，则有.由（19-3）式，应满足图5（b）爱里斑.图5（b）爱里斑因很小，，则焦平面上第一级明纹位置二、夫琅和费圆孔衍射SAL1如图5（a）所示，用一圆孔代替单缝，同样也会产生衍射现象，此就是夫琅和费圆孔衍射.当用单色平行垂直照射到小圆孔上时，若在圆孔后放置焦距为的透镜，则在透镜的角平面处的屏幕上出现明、暗交替的圆环.中心光斑最明亮，叫爱里（G.Arry）斑，其光强分布如图5（b）所示.第一暗环里的角位置（衍射角）与圆孔直径及入射的单色光波长满足SAL1ADADL2fd图6爱里斑角直径可见，第一暗环的大小（即爱里斑的大小）和圆孔直径成反比.如果，则，此时爱里斑缩至点，结果在出形成一亮点，此即光源经透镜和所造成的像.此时，波动光学过渡为几何光学.而式中为爱里斑的直径对透镜中心张角的一半。称爱里斑的角半径.见图6所示，由几何关系，爱里斑角直径为.(19-6)由此可得爱里斑直径，入射单色光波长，圆孔直径及透镜焦距的关系为.(19-7)

§19.3光学仪器的分辨率ababLDE图7最小分辨率d/2一般光学仪器中都有一些透镜，透镜的边框可以看成为一个圆孔.若在远处有两个电光源，它们各自发出的光到达透镜时可看成是平行光，在透镜焦平面上形成两个衍射圆环纹.若两个圆环（爱里斑）相距充分远，或爱里斑半径充分小，则可清楚地分辩它们；若两个圆环相距很近，以致它们重叠很厉害而不能分辨它们.为了能分辨清两个像点，瑞利（L.Ragleigh）提出了一个判据：如果第一个爱里斑和第二个爱里斑的边缘相重合，我们说这两个像点恰能分辨开.如图7可看出，这时两个衍射中心的角间距d/2（19-8）如果两个物点相对于透镜所张的角小于，则这两个物体不可分辨，如果大于它，这两个物点就可分辨.因此称为最小分辨角.在光学仪器中把的倒数（19-9）叫做光学仪器的分辨率，即分辨本领可见，为了提高光学仪器的分辨率，可增大透镜直径或者减小入射光的波长.例题19.2用一架望远镜观察天空中的两颗星，这两颗星相对于望远镜所张的角，由这两颗星发出的光波波长均为.若要分辨出这两颗星，求所用望远镜的口径至少需多大？解：根据公式可得.

§19.4衍射光栅衍射光谱在实际测定中使用衍射光栅来测定光波波长.衍射光栅，狭义地讲，是由一系列平行的等宽、等间隔的狭缝所组成的；广义地讲，任何只要能起等宽而又等间隔地分割波阵面的作用而产生衍射现象的装置均称为衍射光栅.一、衍射光栅的衍射现象光栅有反射光栅和透射光栅两大类，我们仅讨论透射光栅的衍射.常用的透射光栅是用光学玻璃制成的，在玻璃片上刻有大量等宽间距的平行刻痕，在刻痕处，因为玻璃变毛，入射光线发生散射，几乎是不透光的，而相邻两刻痕之间的光滑部分与一个狭缝相当，可以透光.精制的光栅，1cm的宽度上可达10000条以上，若刻痕的宽度为，则叫做光栅常数，当刻痕为10000条，则光栅常数.当一束平行单色光垂直入射到光栅上，对光栅中每一狭缝，都可以产生衍射效应，并在屏幕上形成各自的衍射图样.二、光栅衍射条纹的形成光栅衍射条纹的分布于单缝衍射情况不同，在单缝衍射中，中央明条纹宽度很大，其他各级明条纹宽度较小，且其强度也随级数递降.而在光栅衍射中，狭缝数目越多，则屏幕上明条纹变得越亮越细窄，且分得越开，即各细亮明条纹之间的暗区扩大了.对光栅中每一个宽度相等的狭缝来说，它们各自在屏幕上产生强度相同和位置重合的单缝衍射图样.但是由于光栅中含有一系列相等面积的平行狭缝，并且从个狭缝射出的光束相互之间要发生干涉，所以最后形成光栅衍射条纹的并不只是由单个狭缝所起的作用，而更重要的还有许多狭缝发出的光束之间的干涉，即多光束的干涉作用.因此，光栅衍射条纹是在单缝衍射的基础上，缝与缝之间的干涉作用的总效果.三、光栅方程如图8所示，在方向衍射的光线，所用狭缝中有许多彼此相距为的对应点.从各狭缝对应点沿方向发出的光线经透镜聚焦而达屏幕上点时，这些光线中任两条相邻光线之间的光程差都是.如满足入射光波长的整数倍，即满足，（19-10）图8衍射光栅时，所有对应发出的光线到达点时周期都是相同的，因而相互干涉加强.即在点出现明条纹.这种明条纹称为光栅条纹，（19-10）式叫做光栅方程.为光栅常数.由于这种明条纹是由所用狭缝的对应点发射的光线的叠加而成，所以强度最大.光栅的狭缝数目愈多，则明条纹愈亮.图8衍射光栅在两条相邻的明条纹之间，分布着许多暗条纹.当满足，（19-11）时，出现暗条纹.式中为狭缝的总数，为正整数，.由（19-11）式可见.在两个明条纹之间，分布着条暗条纹，在暗条纹之间还有其他的个强度很小的明条纹，这些明条纹几乎观察不到，所以在两个明条纹之间是一片连续的暗区.可以证明，缝数愈多，暗条纹也愈多，暗区愈大，即明条纹愈细窄.这样，就很容易确定明条纹的位置，因而可用衍射光栅精确测定光波的波长.实验中测定条纹时不是用屏幕，而是用于以绕光栅转动的望远镜来观测.用衍射光栅测定光波波长的方法为：先用望远镜测出光栅常数，然后将光栅放在分光计上，从分光计上的读数可以测定相应的偏离角度，将光栅常数、角度等数值代入（19-10）式，就可得到波长.四、衍射光谱第一级光谱第二级光谱第三级光谱中央条纹第一级光谱第二级光谱第三级光谱中央条纹白光紫1红1紫2紫3红2红3图9光栅光谱由于各种物质都有各种不同的光谱.因此在工程技术等领域中广泛应用光栅光谱分析物质的成分.例题19.3波长为500nm及520nm的光照射于光栅常数为0.002cm的衍射光栅上.在光栅后面用焦距为2m的透镜会聚在屏幕上，求这两种光线的第三级光谱线间的距离.解：根据光栅公式得.第三级光谱中，，因此.设为谱线为中央明条纹间的距离（即图8中），为光栅与屏幕间的距离或透镜的焦距，则，因此对第三级谱线有由于角很小（用数字代入可以看出），所以，因此波长为520nm与500nm的两种光线的第三级谱线间的距离为

§19.5伦琴射线衍射布喇格公式一、伦琴射线衍射图10劳厄实验X射线又称伦琴射线，它是1955年，德国物理学家伦琴（W.K.RÖntgen）在用真空放电管研究阴极射线时首先发现的.1912年劳厄（Laue）才肯定证明了伦琴射线是一种波长很短的电磁波,波长约0.1nm左右.伦琴射线与光波一样，具有反射、折射、干涉、衍射、偏振等性质.由于其波长很短，当透过普通光栅时，则看不到任何衍射现象，只有自一定条件下才显示出衍射现象.劳厄指出，晶体是由按一定的点阵在空间作用周期性排列的原子构成的，晶体中相邻原子的间距为几埃的数量级，与伦琴射线的波长同数量级.因此，晶体相当于光栅常数很小的空间衍射光栅.据此猜想，果然观察到了伦琴射线通过晶体后产生的衍射图样，从而证实了伦琴射线的波动性.劳厄的实验装置如图10所示.当伦琴射线穿越过铅板上的小孔后，射到一薄片晶体上，结果在垂直于射线的照相底片上形成一系列按一定规则分布的斑点，这种斑点叫做劳厄斑。图10劳厄实验二、布喇格公式O1234图11布喇格公式推导1913年，英国物理学家布喇格父子（W.HO1234图11布喇格公式推导，式中为晶面间的距离（个原子层之间的距离），叫做晶格常数（或叫晶面间距）.当光程差等于入射伦琴射线波长的整数倍，即，（19-12）时，各晶面的反射线相互干涉而加强，形成亮点.此式称为布喇格公式，如果用已知晶格常数的晶体作光栅，则可由测定的角，求得伦琴射线的波长；若对原子发射的伦琴射线的光谱进行分析，可用来研究原子内部结构.如果伦琴射线的波长已知，就可根据它在晶面上的衍射确定晶体的晶格常数，以研究晶体结构，这在工业上及科技上有着广泛的应用.例题19.4当伦琴射线照射岩盐晶体发生第一级反射而加强时，测的射线与晶体表面的掠射角为.已知岩盐的晶格常数，求该伦琴射线的波长.解：已知时的掠射角和晶格常数，由布喇格公式，可得伦琴射线的波长为.

§19.6全息照相原理图12物光和参照光在感光底片上的叠加在现光虚像点图12物光和参照光在感光底片上的叠加在现光虚像点Y（+1级）（+1级）（-1级）BA(-1级)实像点图13全息照相再现示意图全息照片记录（拍摄）过程的示意图如图12所示.有激光器发射出的激光（单色光）由分束镜分成两束，一束经全反射镜改变光路，由扩束镜扩大照射到被摄物体上，在经物体反射后照射到感光底片上，这部分光叫物光；另一束经全反射镜改变光路，由扩束镜扩大后直接照射到感光底片上，这部分光叫做参考光.物光和参考光发生干涉，结果在照相底片上记录下将发生漫反射，因此，物体上每一点都可以把光反射到整个感光底片上，也就是感光底片上每一点都接到整个物体的光.因为物体上反射出来的物光的光强和位相不同，所以物体反射光中的全部信息都以干涉条纹的形式记录在感光底片上，经过显影和定影后，就制成了全息照片.为再现被拍摄物体，用激光照射全息片，如果照射的激光和底片的相对位置和拍摄时的参考光一样，从底片的一侧观察到物体的虚像，它和原来的实物一模一样.激光通过底片，同时还成一个实像，用一个光屏可在全息片的另一侧观察.其示意图如图13所示全息照相的纪录过程是物光和参考光在底片上干涉的结果.为了简单起见，我们分析一个物点的情况.设点时一物点，屏幕到点的距离为，单色片面垂直照射到屏幕，如图14所示.点被光照以后将成为一散射