空间向量-向量法在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用1.常见角的范围：（1）异面直线的夹角：0＜θ≤eq\f(π,2)；（2）直线与平面所成的角：0≤θ≤eq\f(π,2)；（3）二面角：0≤θ≤π；（4）直线的倾斜角：0≤θ＜π；（5）向量的夹角：0≤θ≤π；2.空间向量在立体几何中的应用：3.空间向量与距离的关系：（1）点到线的距离如上图，点C为直线AB外一点，则点C到直线AB的距离：，因为，所以可以求出，进而求出.

（2）点到面的距离如下图，设直线AB为平面的一条斜线，点A在平面内，点B在平面外，为平面的法向量，设，则.点B到平面的距离：.注意：点到面的距离有时也可以用等体积法来求解。另外，由于知道了，所以可以求出的值，进而可以求出点A到直线OB的距离为：；点O到AB的距离：.（3）线到面的距离如下图，直线AD平行于平面A1BCD1（直线AD平行于直线A1D1），则直线AD到平面A1BCD1的距离等于直线AD上任意一点到平面A1BCD1的距离（线面距转化为点面距），设为平面A1BCD1的法向量。所以，直线AD到平面A1BCD1的距离：或者；或者或者.（4）异面直线的距离如上图（同（3）中的图），直线AD和直线BC为异面直线，直线A1D1平行于直线AD且与直线BC共面，则异面直线AD和直线BC的距离等于直线AD到平面A1BCD1的距离（线线距转化为线面距，线面距再转化为点面距）。所以，异面直线AD和直线BC的距离的求法和直线AD到平面A1BCD1的距离的求法相同。注意：异面直线的距离有时会以求两异面直线最短距离为考查点。（5）平行直线的距离如上图，直线AB平行于直线CD，则直线AB和直线CD间的距离等于直线AB上任意一点到直线CD的距离（线线距转化为点线距）。所以，直线AB和直线CD间的距离：（详见“点到直线距离”的求法）（6）面到面的距离如上图，平面平行于平面，，为两平面的法向量，则平面到平面的距离等于平面内任意一点到平面的距离（面面距转化为点面距）。注意：二面角的夹角有时可用面积投影法来求解。所以，平面到平面的距离：.4.说明：用几何法解立体几何题时，一般是“一作、二证、三计算”，其中“证”是难点，该方法过程繁琐，耗时长，计算量大，但步步紧凑，中间过程不易出错，即使出错（一般是计算出错），仍可以得到很多步骤分。用向量法解立体几何题时，一般是“一建系、二求坐标、三求法向量、四应用公式”，其中建系和求法向量是难点，该方法过程简单，操作方便，思考难度小，但过程中一旦坐标求解出错，几乎全题皆错，得不到任何步骤分。所以，在解立体几何题时，要综合利用几何法和向量法：对于计算简单、辅助线少的题目尽量选用几何法；对于思考难度大、计算复杂的题目则用向量法；有时可以同时使用几何法和向量法。例1.（2016全国）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）若M、N分别为D、B、AC上的动点，求MN长度的最小值例2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC变式训练：1.二面角QUOTEα-l-β为，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面QUOTEα，，

QUOTEAC⊥l，BD⊥l，且QUOTEAB=AC=a，BD=2a，则CD的长为________________2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1QUOTEABCD-A1B1C1D1中，点P在截面QUOTEA1DB则线段AP的最小值等于_____________

3.如图，在棱长为1的正方体QUOTEABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是线段QUOTECC1，BD、上的点，R是直线AD上的点，满足QUOTEPQ//平面，QUOTEABC1D1，PQ⊥RQ，且P、Q不是正方体的顶点，则QUOTE|PR|的最小值是____________________4.在平行四边形ABCD中，，。QUOTEBC=2AB=2，∠B=60∘，点E是线段AD上任一点(QUOTE(不包含点D)，沿直线CE将QUOTE△CDE翻折成QUOTE△CD'E，使在平面ABCE上的射影F落在直线CE上，则QUOTEAD'的最小值是______________5.正四面体ABCD的棱长为2，棱AD与平面所成的角QUOTEθ∈[π3，π2]，且顶点A在平面QUOTEα内，B、C、D均在平面QUOTEα外，则棱BC的中点E到平面QUOTEα的距离的取值范围是___________

6.如图，在单位正方体QUOTEABCD-A1B1C1D1中，点P在线段QUOTEAD1上运动，给出以下四个命题：=1\*GB3①QUOTE①异面直线QUOTEA1P与QUOTEBC1间的距离为定值；

QUOTE②=2\*GB3②三棱锥QUOTED-BPC1的体积为定值；

QUOTE③=3\*GB3③异面直线QUOTEC1P与直线QUOTECB1所成的角为定值；

QUOTE④=4\*GB3④二面角QUOTEP-BC1-D的大小为定值．

其中真命题是________________（填序号）7.如图所示，在单位正方体QUOTEABCD-A1B1C1D1的面对角线QUOTEA1B上存在一点P使得QUOTEAP+D1P最短，则QUOTEAP+D1P的最小值为______8.如图，在直三棱柱QUOTEA1B1C1-ABC中，，QUOTE∠BAC=π2，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱QUOTEA1B1和QUOTECC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点(不包括端点).若QUOTEGD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是______________QUOTE(  )

9.如图，四棱锥QUOTEP-ABCD的底面ABCD是直角梯形，,QUOTE∠ABC=90∘，BC//AD，且QUOTEAB=AD=2BC，顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上。（1）求证：QUOTEPD⊥AC；

（2）若QUOTEPO=AB，求直线PD与AB所成角的余弦值；

（3）若平面APB与平面PCD所成的二面角为QUOTE45∘，求QUOTEPOBC的值。

10.在直角梯形ABCD中，，，QUOTEAD//BC，BC=2AD=2AB=22，∠ABC=90∘，如图1把QUOTE△ABD沿BD翻折，使得平面QUOTEABD⊥平面BCD，如图2.

（1）求证：QUOTECD⊥AB；

（2）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；

（3）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为QUOTE60∘？若存在，求出QUOTEBNBC的值；若不存在，说明理由。

11.（2006江西）如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形。（1）求证：AD^BC（2）求二面角B－AC－D的大小（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在确定E的位置；若不存在，说明理由。12.（2013全国）如图,四棱锥中,与都是等边三角形.（1）证明：（2）求二面角的大小。13.（2014山东）如图1­3所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB图1­3（1）求证：C1M∥平面A1ADD1（2）若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝eq\r(3)，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值。14.（2006江苏）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB＝CF：FA＝CP：PB＝1：2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（