矩 阵 的 秩课件

矩阵的秩矩阵的秩定义2-14设A=(aij

)是一个m×n矩阵，1≤k≤min{m,n}是一个正整数.在A中任取k行（第i1,i2,…,ik行）和k列（第j1,j2,…,jk列）交叉点上的k2个元素，按照它们在A中所处的位置不变，而得到的一个k阶行列式称其为矩阵A的一个k阶子式.当子式D的值为0时，称这个子式D为零子式，否则，称为非零子式.特别地，当is=js,s=1,2,…,k时，称子式D为A的一个k阶主子式.显然，一个m×n矩阵A的k阶子式总共有Ckm·Ckn个.定义2-15如果在矩阵A中存在一个r阶的非零子式D，而A的所有r+1阶子式（如果存在的话）均为零子式，那么D称为矩阵A的一个最高阶非零子式，并将D的阶数r称为矩阵A的秩，记为R(A).并规定零矩阵O的秩为0.显然，m×n矩阵A的秩R(A)满足0≤R(A)≤min{m,n}.根据行列式按行、列展开的性质，可以用数学归纳法证明，当矩阵A的所有r+1阶子式均为零子式时，所有高于r+1阶的子式也为零子式.因此，定义中的r阶非零子式D称为最高阶非零子式是合理的.于是，矩阵A的秩R(A)即为A中非零子式的最高阶数.提示通过矩阵秩的定义，我们注意到，求一个矩阵的秩，需要找到一个r阶的非零子式，还要说明其所有r+1阶子式全为零，这样计算量很大.下面给出矩阵的秩的几个性质，通过这些性质，可以得到一个相对简单的计算矩阵秩的方法.性质2-6R(A)=R(AT).证明由行列式与其转置行列式是相等的，很容易得到，行列式D是矩阵A的一个最高阶非零子式，则DT也是矩阵AT的一个最高阶非零子式.从而R(A)=

R(AT).性质2-7如果矩阵A存在一个k阶的非零子式，那么R(A)≥k；如果矩阵A的l阶子式全为零子式，则R(A)<l.证明根据矩阵的秩即为矩阵中非零子式的最高阶数，及行列式按行列展开的性质，很容易得到.性质2-8初等变换不改变矩阵的秩，即如果A=B，则R(A)=R(B).证明因为A=B意味着A经过一系列初等变换可以变到B，所以只需证明：如果A经过一次初等变换变到B，那么R(A)=R(B).设A是m×n矩阵，R(A)=r，且A的某个r阶子式D≠0.下面针对初等行变换的三种情况分别讨论，初等列变换的情况可以类似证明.（1）当A经过倍乘变换变到B时，即.那么总可以找到一个B的子式D1，使得D1=kD（D包含第i行），或D1=D（D不包含第i行）.因此，矩阵B存在一个非零子式D1.于是，由性质2-7，R(B)≥r.（2）当A经过倍加变换变到B时，即.如果D不包含第j行，那么D也是B的一个r阶非零子式；如果D包含第j行，不妨将矩阵B中的取自与D相同行和相同列的行列式记为D1，若D也包含第i行，则D1=D≠0是B的一个r阶非零子式；如果D不包含第i行，则D1可以写成D1=D+kM，其中M也是B的一个r阶子式.由于D≠0，因此D1和M不能同时为0，因此，也可以找到一个非零子式N=D1，或者N=M.于是，无论哪种情形，都能找到一个r阶非零子式.从而R(B)≥r.（3）当A经过对调变换变到B时，即.那么总可以找到B的一个子式D1，使得D1=D，或者D1=-D.因此，矩阵B存在一个非零子式D1.于是R(B)≥r.于是，矩阵A经过一次初等行变换变到B后，都有R(A)≤R(B)，但是，初等变换是可逆的，也可以经过一次初等行变换，将B变到A，从而也有R(B)≤R(A).因此R(A)=R(B).性质2-9设A是一个m×n矩阵，P,Q分别为m阶、n阶可逆矩阵，则R(PAQ)=R(A)性质1-10设A是一个n阶方阵.则|A|≠0的充分必要条件是R(A)=n.证明必要性：如果|A|≠0，那么|A|即为A的一个n阶的非零子式，因此R(A)≥n.又0≤R(A)≤n，所以R(A)=n.充分性：如果R(A)=n，那么A存在一个n阶的非零子式.而A的n阶子式只有|A|，因此|A|≠0.因此，通常也将可逆矩阵称为满秩矩阵，将不可逆矩阵称为降秩矩阵.计算下列矩阵【例2-20】解直接计算可得对于矩阵B，可以计算得|B|=0.于是R(B)<3；又显然B存在一个二阶子式

因此，由性质2-7知，R(B)≥2.从而R(B)=2.矩阵C是一个行阶梯形矩阵，显然C存在一个非零子式

而所有3阶子式全为0.因此R(C)=2.由【例2-20】中矩阵C的求秩过程，我们注意到，对于一个具有r个非零行的行阶梯形矩阵，很容易找到一个r阶的非零子式（取自这r行非零行，以及各非零行的首个非零元素所在的r列，这个子式是一个上三角行列式）.于是行阶梯形矩阵的秩就是其非零行的行数.因此，根据性质2-8，对于一般的矩阵A，特别是A的行数和列数较高时，可以利用初等变换将A化成一个行阶梯形矩阵B，直接观察非零行的行数r，得到矩阵B的秩，从而也得到了矩阵A的秩为r.求矩阵【例2-21】的秩R(A)，并求A的一个最高阶非零子式.解对矩阵A进行初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵既然R(A)=3，那么A的最高阶非零子式为3阶.而矩阵A的3阶子式总共有C34·C35=40个，验证起来比较烦琐.但是，在进行初等变换时，只是应用了初等行变换，没有打乱列的顺序，则由A的第1,2,4列（也就是行阶梯形矩阵的非零行首个非零元素所在的列）所组成的4×3矩阵B，按上面同样的一系列初等行变换，可以变成因此R(B)=3.于是B中必存在一个3阶非零子式，这样最多只需要验证C34=4个3阶行列式.而且很容易得到由B的前三行所构成的子式这个子式D也是矩阵A的最高阶非零子式.对于一个矩阵，它的所有列向量构成一个列向量组，其所有行向量也构成一个行向量组.根据向量组的秩的定义，矩阵的列向量组存在一个秩，行向量组也存在一个秩.定义2-16设A是一个矩阵，将A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩；将A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩.计算矩阵【例2-22】的秩及其行秩和列秩.解这个矩阵是一个行阶梯形矩阵，由前面的讨论，A的秩即为其非零行的行数，因此R(A)=3.设A按行分块和按列分块分别记为由k1αT1+k2αT2+k3αT3=0，即k1(1,1,－1,2,1)+k2(0,0,2,3,1)+k3(0,0,0,1,4)

=(k1,k1,－k1+2k2,2k1+3k2+k3,k1+k2+4k3)=(0,0,0,0,0)

得到k1=k2=k3=0，从而αT1,αT2,αT3线性无关.但显然αT1,αT2,αT3,αT4线性相关.那么αT1,αT2,αT3是A的行向量组的一个极大无关组，从而A的行秩为3.另外，由l1β1+l3β3+l4β4=0，即l1(1,0,0,0)T+l3(－1,2,0,0)T+l4(2,3,1,0)

T=(l1－l3+2l4,2l3+3l4,l4,0)T=(0,0,0,0)

T

得到l1=l3=l4=0，从而β1,β3,β4线性无关.由于齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A=(β1,β2,β3,β4)的非零行的个数3小于未知数的个数4，故AX=0有非零解，从而β1,β2,β3,β4线性相关，再由可逆矩阵的性质，β2可以由β1,β3,β4线性表出.同样，可以说明β5可以由β1,β3,β4线性表出.因此，β1,β2,β3,β4,β5均可由β1,β3,β4线性表出.于是β1,β3,β4是A的列向量组的一个极大无关组，从而A的列秩也为3.在上面的例题中，矩阵A的行秩＝A的列秩＝A的秩R(A)，并且仿照其证明，也能得到，对于行阶梯形矩阵，矩阵的行秩＝列秩＝非零行的个数＝矩阵的秩.这不是偶然的，下面将证明这个结论对所有矩阵都是成立的.引理2-1初等行变换不改变矩阵的行秩.证明设A是一个m×n矩阵.将A按行分块，得到其行向量组为Ⅰ:αT1,αT2,…,αTm.如果A经过一次初等行变换变为B，将B的行向量组记为Ⅱ:βT1,βT2,…,βTm.显然无论经过倍乘变换，还是倍加和对调变换，向量组Ⅱ都能由向量组Ⅰ线性表出，由于初等行变换是可逆的，也可以经过一次初等行变换将B变到A，故向量组Ⅰ也可以由向量组Ⅱ线性表出.从而向量组Ⅰ与Ⅱ等价.由前可知，向量组Ⅰ与Ⅱ的秩相等，即矩阵A与B的行秩相等.引理2-2初等行变换不改变矩阵的列秩.证明设A是一个m×n矩阵.将A按列分块A=(α1,α2,…,αn)，即Ⅰ:α1,α2,…,αn是A的列向量组.若A经过一次初等行变换变为B，将B的列向量组记为Ⅱ:β1,β2,…,βn.由本节最初的讨论知，α1,α2,…,αn是否线性相关等价于AX=0是否有非零解：α1,α2,…,αn线性无关当且仅当AX=0无非零解；α1,α2,…,αn线性相关当且仅当AX=0有非零解.同样，β1,β2,…,βn是否线性相关等价于BX=0是否有非零解.而A经过一次初等行变换变为B，即是对方程组AX=0经过一次方程组的初等变换变到方程组BX=0，于是AX=0与BX=0是同解的方程组.从而，向量组α1,α2,…,αn与向量组β1,β2,…,βn的线性相关性是一致的.又因为在进行初等行变换时，没有打乱列的顺序，所以向量组Ⅰ:α1,α2,…,αn的部分组和Ⅱ:β1,β2,…,βn同序号的部分组的相关性一致，即若αi1,αi2,…,αir是Ⅰ的线性相关（无关）的部分组，则βi1,βi2,…,βir也是Ⅱ的线性相关（无关）的部分组.如果设A的列秩为r1，B的列秩为r2,则向量组Ⅰ:α1,α2,…,αn存在一个含有r1个无关向量的部分组，从而Ⅱ:β1,β2,…,βn也存在一个含有r1个无关向量的部分组.因此r1≤r2.又由于初等行变换是可逆的，并且其逆变换也是同类型的初等行变换，从而也可以得到r2≤r1.于是r1=r2.定理2-2初等变换不改变矩阵的行秩，也不改变矩阵的列秩.证明由引理2-1和引理2-2，可以得到，对矩阵A进行初等行变换不改变矩阵的行秩，也不改变矩阵的列秩.由于对A进行初等列变换，就是对AT进行初等行变换，因此，再由引理2-1和引理2-2，对A进行初等列变换，AT的行秩不变，AT的列秩也不变.又因为AT的行（列）向量组就是A的列（行）向量组，所以AT的行（列）秩等于A的列（行）秩.于是，初等列变换不改变矩阵的行秩，也不改变矩阵的列秩.定理2-3矩阵的行秩与列秩相等，并且等于矩阵的秩.证明假设矩阵A经过一系列初等行变换变成行阶梯形矩阵B，则由引理2-1和引理2-2，得到A的行秩＝B的行秩，A的列秩＝B的列秩又由于B是行阶梯形矩阵，故有B的行秩＝B的列秩＝B的非零行的行数.因此，矩阵A的行秩等于列秩.又由前面的性质知，A与B的秩相等，即R(A)=R(B).而行阶梯形矩阵B的秩R(B)=B的非零行的行数.于是R(A)等于矩阵A的行秩和列秩.定理2-3及引理2-2的证明，也给我们提供了一个计算向量组的秩及求得此向量组的一个极大无关组的方法，即将n维向量组Ⅰ:α1,α2,…,αs作为列组成一个n×s矩阵A=(α1,α2,…,αs)，利用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵B，则向量组Ⅰ:α1,α2,…,αs的秩等于R(A)=R(B)＝B的非零行的行数r.并且设B的非零行的首个非零元素所在的列分别为i1,i2,…,ir（1≤i1<i2<…<ir≤s），则向量组αi1,αi2,…,αir为向量组Ⅰ:α1,α2,…,αs的一个极大无关组.提示性质2-11

max{R(A),R(B)}≤R(A，B)≤R(A)+R(B).证明根据矩阵秩的定义，矩阵的秩为矩阵中非零子式的最高阶数，而A的非零子式也是(A，B)的非零子式，因此R(A)≤R(A，B).同理R(B)≤R(A，B).这样

max{R(A),R(B)}≤R(A，B)设A为m×n矩阵，B为m×p矩阵，且R(A)=r，R(B)=s.将A，B均按列分块为A=(α1,α2,…,αn)，B=(β1,β2,…,βp)

则(A，B)=(α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βp)不妨设向量组αi1,αi2,…,αir，βj1,βj2,…,βjs分别为A的列向量组和B的列向量组的极大无关组.由极大无关组的定义，A的列向量组和B的列向量组分别可以由αi1,αi2,…,αir，βj1,βj2,…,βjs线性表出，因此(A，B)的列向量组α1,α2,…,αn,β