连续函数的运算与性质

连续函数的运算与性质一、连续函数的四则运算定理25二、反函数与复合函数的连续性定理26若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续，则它的反函数x=φ(y)也在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续.

证明略.

例如，由于y=sinx在闭区间－π2,π2上单调增加且连续，所以它的反函数y=arcsinx在对应区间［－1,1］上也是单调增加且连续的.同理可得其他反三角函数的连续性.总之,反三角函数在其定义域内都是连续的.二、反函数与复合函数的连续性定理27二、反函数与复合函数的连续性把定理27中的x→x0换成x→∞，可得类似的定理.注二、反函数与复合函数的连续性【例50】二、反函数与复合函数的连续性【例51】二、反函数与复合函数的连续性定理28设函数u=φ(x)在点x

0处连续，且φ(x0)=u0，而函数y=f(u)在点u=u0处连续，则复合函数f［φ(x)］在点x0处也连续.

例如，函数u=1x在(－∞,0)∪(0,+∞)内连续.函数y=sinu在(－∞,+∞)内连续，所以y=sin1x在(－∞,0)∪(0,+∞)内连续.三、初等函数的连续性定理29

基本初等函数在其定义域内是连续的.

因初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的，故得到下列重要结论.

三、初等函数的连续性定理30一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

三、初等函数的连续性定义区间是指包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续.例如,函数y=x2(x－1)3的定义域为{0}∪［1,+∞),函数在点x=0的邻域内没有定义，因而函数y在x=0处不连续，但函数在定义区间［1,+∞)上连续.注三、初等函数的连续性定理30的结论非常重要,因为微积分的研究对象主要是连续或分段连续的函数，而一般应用中所遇到的函数基本上是初等函数，其连续性的条件总是满足的，从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用前景.此外，根据定理30求初等函数在其定义区间内某点的极限，只需求初等函数在该点的函数值，即

三、初等函数的连续性【例52】四、闭区间上连续函数的性质下面介绍闭区间上连续函数的几个基本性质，由于它们的证明涉及严密的实数理论，故略去其严格的证明，但可以借助几何直观地来理解.

先说明最大值和最小值的概念.对于在区间I上有定义的函数f(x),如果存在x0∈I，使得对于任一x∈I都有f(x)≤f(x0)［f(x)≥f(x0)］，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值).

例如，函数y=cosx在区间π2,π上有最大值0和最小值－1.函数y=sgnx在(－∞,+∞)内有最大值1和最小值－1.

四、闭区间上连续函数的性质定理31(最值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.

定理31表明，若函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则至少存在一点ξ1∈［a,b］，使f(ξ1)是f(x)在闭区间［a,b］上的最小值；又至少存在一点ξ2∈［a,b］，使f(ξ2)是f(x)在闭区间［a,b］上的最大值(见图2-13).

图2-13四、闭区间上连续函数的性质当定理31中的“闭区间上连续”的条件不满足时，定理的结论可能不成立.例如，函数在闭区间［0,1］上有间断点x=0,x=1.该函数在闭区间［0,1］上既无最大值又无最小值(见图2-14).注图2-14四、闭区间上连续函数的性质定理32(有界性定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界.

例53证明：若函数f(x)在(－∞,+∞)上连续，且limx→∞f(x)存在，则f(x)在(－∞,+∞)上必有界.

证设limx→∞f(x)=A.若取ε=1，则X>0,当x>X时，总有f(x)－A<ε=1，即f(x)<1+A.

四、闭区间上连续函数的性质另一方面，f(x)在(－∞,+∞)上连续，所以在闭区间［－X,X］上连续，因此当x≤X时，f(x)在［－X,X］上一定有界，即存在M0>0，使f(x)≤M0.

若取M=maxM0,1+A，则对于任意的x∈(－∞,+∞)，均有f(x)≤M，即f(x)在(－∞,+∞)上有界.

如果f(x0)=0，则称x0为函数f(x)的零点.

四、闭区间上连续函数的性质定理33(零点定理)设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且f(a)与f(b)异号［f(a)·f(b)<0］，则在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使f(ξ)=0.

零点定理的几何意义是：若连续曲线y=fx在［a,b］的端点处的函数值异号，则曲线与x轴至少有一个交点，如图2-15所示.图2-15四、闭区间上连续函数的性质【例54】证明方程x5－7x+3=0在区间(0,1)上至少有一个实根.

证令f(x)=x5－7x+3,则f(x)在区间0,1上连续,又f(0)=3>0,f(1)=－3<0，由零点定理知,在区间(0,1)内至少存在一点ξ,使f(ξ)=0，即ξ5－7ξ+3=0.因此方程x5－7x+3=0在区间(0,1)上至少有一个实根.四、闭区间上连续函数的性质定理34(介值定理)设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且在该区间的端点处有不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C.

介值定理的几何意义是：对介于fa与fb之间的任何一个数C,直线y=C与连续曲线y=fx至少有一个交点，如图2-16所示.图2-16四、闭区间上连续函数的性质推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.四、闭区间上连续函数的性质【例54】设函数f(x)在(a,b)上连续，任取x1，x2∈(a,b)且x1<x2，证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使得五、一致连续性由前面的内容知，如果函数在区间I上连续，即对每一个x0∈I，任意给定的ε>0，都存在δ>0(δ不仅与ε有关且与x0有关)，当x－x0<δ时，恒有f(x)－f(x0)<ε.当ε给定以后，对不同的x0，一般来说，δ是不同的，而在实际问题的研究中，有时需要对δ(x0,ε)有较严格的限制，希望在ε给定以后，要找的δ只与ε有关而与x0无关.这就是下面要引入的一致连续性(有时也称为均匀连续性).

五、一致连续性定义22设函数f(x)在区间I上有定义，若对任意给定的ε>0，存在δ>0，使得对于区间I上的任意两点x1，x2，当x1－x2<δ时，有f(x1)－f(x2)<ε，则称函数f(x)在区间I上是一致连续的.五、一致连续性一致连续定义中的x1，x2是任意的，δ与x无关，只要x1与x2接近到一定程度，就可使fx1与fx2达到所指定的接近程度.注五、一致连续性