极限运算法则

极限运算法则两个重要极限一、极限运算法则本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则.在下面的讨论中，没有表明自变量变化过程的记号“lim”是指对x→x0和x→∞均成立.但在论证时,只证明了x→x0的情形.定理1

（极限的四则运算法则）设limf(x)=A,limg(x)=B，则（1）lim［f(x)±g(x)］=A±B=limf(x)±limg(x).（2）lim［f(x)·g(x)］=A·B=limf(x)·limg(x).（3）limf(x)/g(x)=AB=limf(x)/limg(x)B≠0.一、极限运算法则

证明因为limf(x)=A,limg(x)=B，所以由第三节定理1得f(x)=A+α,g(x)=B+β，其中α和β是无穷小.（1）由于f(x)±g(x)=A±B+α±β,而α±β是无穷小，故由第三节定理1得lim［f(x)±g(x)］=A±B=limf(x)±limg(x).（2）由于f(x)·g(x)=A+αB+β=AB+αB+Aβ+αβ,又由无穷小的运算性质知，αB+Aβ+αβ是无穷小，故由第三节定理1知lim［f(x)·g(x)］=A·B=limf(x)·limg(x).一、极限运算法则

一、极限运算法则法则（1）和（2）均可推广到有限个函数的情形.若limf1(x),limf2(x),…,limfn(x)都存在，则有lim［f1(x)±f2(x)±…±fn(x)］=limf1(x)±limf2(x)±…±limfn(x)，lim［f1(x)·f2(x)·…·fn(x)］=limf1(x)·limf2(x)·…·limfn(x).注意一、极限运算法则

推论1若limf(x)存在，而C为常数，则lim［Cf(x)］=Climf(x),即常数因子可以移到极限符号外面.推论2若limf(x)存在，而n是正整数，则lim［f(x)］n=［limf(x)］n.一、极限运算法则极限的四则运算法则要求参与运算的各个函数极限均存在，且法则（3）还必须满足分母的极限不为零；否则，不能直接使用法则.注意一、极限运算法则

【例1】一、极限运算法则

【例2】一、极限运算法则

【例3】一、极限运算法则【例4】一、极限运算法则【例5】一、极限运算法则【例6】一、极限运算法则【例7】一、极限运算法则【例8】一、极限运算法则定理2

（复合函数的极限运算法则）设函数y=f［g(x)］是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成，f［g(x)］在点x0的某去心邻域内有定义，若一、极限运算法则（1）对u0或x0为无穷大的情形，也可得到类似的定理.（2）定理2表明，若函数f(u)和g(x)满足该定理的条件，则作代换u=g(x)，可把求注意一、极限运算法则二、两个重要极限

数学中常常会对一些重要且有典型意义的问题进行研究并加以总结，以期通过对该问题的解决带动一类相关问题的解决，下面介绍的重要极限就体现了这样的一种思路，利用它们并通过函数的恒等变形与极限的运算法则就可以使得两类常用极限的计算问题得到解决.1.证明在图1-38所示的单位圆中,设∠AOB=x,先假设0<x<π/2,点A处的切线与OB的延长线相交于D，又BC⊥OA，故二、两个重要极限

易见，三角形AOB的面积<扇形AOB的面积<三角形AOD的面积，所以1/2sinx<1/2x<1/2tanx,即sinx<x<tanx,不等式两边同时除以sinx，整理得cosx<sinx/x<1.因为cosx,sinxx,1都是偶函数,所以上面的不等式在－π/2<x<0时也成立.再由二、两个重要极限

二、两个重要极限【例9】【例10】二、两个重要极限【例11】二、两个重要极限2.

证明先考虑x取正整数n而趋于+∞的情形.二、两个重要极限

同样的，比较xn与xn+1的展开式的各项可知，除前两项相等外，从第三项起，xn+1的各项都大于xn的对应项，而且xn+1还多了最后一个正项，因而xn+1>xn,即{xn}为单调增加数列.因为二、两个重要极限

下面考虑x取任意正实数而趋于+∞的情形.对于任何正实数x，总可找到正整数n，使得n≤x<n+1，当x→+∞时，有n→∞，因为二、两个重要极限

其中□代表自变量的某个函数,在自变量的变化过程中是无穷大.二、两个重要极限利用复合函数的极限运算法则，若令y=1/x，则第二个重要极限变为其更一般的形式是其中□代表自变量的某个函数,在自变量的变化过程中是无穷小.注意二、两个重要极限【例12】【例13】二、两个重要极限三、柯西极限存在准则定理3（柯西极限存在准则）数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m>N，n>N时，恒有|xm－xn|<ε.