函数的微分及其应用

函数的微分及其应用函数的微分及其应用前面介绍的导数是描述函数在某点处的变化率.有时还需要考虑某点处当自变量有较小改变时，函数值相应的增量大小，而要精确计算函数值的增量往往很复杂，于是引入微分的概念.一、引例引列1求自由落体运动中，物体由时刻t到t+Δt所经过路程的近似值.

一、引例分析自由落体的路程s与时间t的函数关系是s=12gt2，当时间从t到t+Δt时，路程s有相应的增量上式中，gtΔt是Δt的线性函数，12g(Δt)2是当Δt→0时比Δt高阶的无穷小.因此，当|Δt|很小时，可以把12g(Δt)2忽略，而得到路程增量的近似值

Δs≈gtΔt.

一、引例引列2一块正方形均匀铁板(见图3-5)，受热膨胀后边长由x0变到x0+Δx，问面积y改变了多少？图3-5一、引例分析分析设此铁板的边长为x,则面积y是x的函数：y=x2.铁板受温度变化影响时，面积的增量可以看成是当自变量x自x0取得增量Δx时,函数y相应的增量Δy,即

Δy=x0+Δx2-x20=2x0Δx+Δx2.

上式中，2x0Δx是Δx的线性函数，它是Δy的主要部分；Δy的另一部分是Δx2，它是Δy的次要部分，当Δx很小时，Δx2比2x0Δx要小得多，也就是说，当Δx很小时，面积增量Δy可以近似地用2x0Δx表示，即

Δy≈2x0Δx,

一、引例由此式作为Δy的近似值，略去的部分Δx2是比Δx高阶的无穷小.

这两个问题的实际意义虽然不同，但在数量关系上却具有相同的特点：函数的增量可以表示成两部分，一部分为自变量增量的线性函数，另一部分是当自变量增量趋于零时，比自变量增量高阶的无穷小.据此特点，便形成了微分的概念.

二、微分的定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0及x0+Δx在这区间内,如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)可表示为

Δy=A·Δx+o(Δx),

其中A是与Δx无关的常数,则称函数y=f(x)在点x0可微,并且称A·Δx为函数y=f(x)在点x0处相应于自变量增量Δx的微分,记为dyx=x0,即

dyx=x0=A·Δx.

下面讨论可微与可导之间的关系.

二、微分的定义定理7函数y=f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数y=f(x)在点x0处可导，且当f(x)在点x0可微时，其微分

dyx=x0=f′(x0)Δx.

证必要性.函数y=f(x)在点x0处可微,即Δy=A·Δx+o(Δx)，有二、微分的定义【例46】求函数y=1+3x2在x=1,Δx=0.01时的增量及微分.函数y=fx在任意点x的微分，称为函数的微分，记为dy或df(x)，即

dy=f′(x)Δx.

为了统一记号，通常把自变量x的增量称为自变量的微分，记为dx，即dx=Δx，于是函数y=fx的微分又可记为

dy=f′xdx.

二、微分的定义【例47】三、微分的几何意义下面我们来讨论微分的几何意义，这样大家能对微分有比较直观的了解.在直角坐标系中，已知曲线y=f(x)及其上一点M(x0,y0)和邻近点N(x0+Δx,y0+Δy)，由图3-6可见图3-6三、微分的几何意义MQ=Δx,QN=Δy，过点M作曲线的切线MT交QN于点P，它的倾角为α，则

QP=MQtanα=f′(x0)Δx，即dy=QP.由此可见，当自变量有增量Δx时，y=f(x)在点x0处的微分dy等于曲线在点M(x0,y0)处的切线的纵坐标的改变量.四、微分基本公式及运算法则由微分定义知，函数的微分是函数的导数f′(x)乘以自变量的微分dx，所以只要把导数表中的导数运算公式都乘以dx，就得到相应函数的微分表和微分的运算法则.

四、微分基本公式及运算法则微分公式表1.四、微分基本公式及运算法则微分的四则运算法则2.四、微分基本公式及运算法则复合函数的微分法则3.与复合函数的求导法则相对应的复合函数的微分法则可推导如下.

若u=φ(x)在点x处可导，y=f(u)在点u处可导，则

dy=f′uφ′xdx=f′udφx=f′udu.

由此可见，对于y=f(u)来说，不论u是自变量还是中间变量，函数y=f(u)的微分总保持同一形式dy=f′(u)du，这一性质称为微分形式不变性.有时，利用微分形式不变性求复合函数的微分比较方便.

四、微分基本公式及运算法则【例48】y=cos(3x2－2)，求dy.解把3x2－2看成是中间变量u，则

dy=d(cosu)=－sinudu=－sin(3x2－2)d(3x2－2).又由于d(3x2－2)=6xdx，所以有dy=－6xsin(3x2－2)dx.四、微分基本公式及运算法则【例49】y=(a2－x2)2，求dy.解把a2－x2看成中间变量u，则

dy=2udu=－4x(a2－x2)dx.【例50】四、微分基本公式及运算法则【例51】y=eaxcosbx，求dy.解dy=cosbxdeax+eaxd(cosbx)=acosbxeaxdx－beaxsinbxdx=eax(acosbx－bsinbx)dx.四、微分基本公式及运算法则【例52】在下列等式左端的括号内填入适当的函数，使等式成立.五、微分在近似计算中的应用这里只介绍微分在近似计算中的应用.我们知道，如果函数y=f(x)在点x处可导，那么当Δx→0时，函数的改变量Δy与微分dy只相差一个Δx高阶无穷小，因此，当精度要求不太高时，可用dy代替Δy作近似计算，即Δy=f(x0+Δx)－f(x0)≈dy=f′(x0)Δx(|Δx|很小)

或

f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx.

五、微分在近似计算中的应用如记x=x0+Δx，则有

f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x－x0)

(|Δx|很小).

这个近似公式可以用来求解函数的近似值.只有f(x0)和f′(x0)都容易计算，且x充分靠近x0时，我们才能采用此方法：用x的线性函数f(x0)+f′(x0)(x－x0)来近似求f(x).下面我们给出几个求函数近似值的实例.

五、微分在近似计算中的应用