格林公式平面曲线积分与路径无关的条件

格林公式平面曲线积分与路径无关的条件一、格林公式本节介绍的格林公式建立了平面闭区域D上的二重积分与D的边界曲线L上的第二类曲线积分之间的联系.这种联系不论在理论上还是实际计算中，对曲线积分都有着重要作用.在给出格林公式之前，先介绍单(复)连通平面区域的概念.设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.例如,平面上的圆形区域(x,y)|x2+y2<1和右半平面(x,y)|x>0都是单连通区域；圆环形区域(x,y)|1<x2+y2<2和去心圆盘(x,y)|0<x2+y2<1都是复连通区域.一、格林公式规定区域D的边界曲线L的正向:当观察者沿L的某个方向行进时，区域D总在它的左侧，则该方向即为L的正向，称该方向的边界曲线L为D的正向边界曲线.例如，对于区域(x,y)|x2+y2<1，逆时针方向的圆周x2+y2=1是它的正向边界曲线；对于区域(x,y)|1<x2+y2<2，逆时针方向的圆周x2+y2=2与顺时针方向的圆周x2+y2=1共同组成了它的正向边界曲线.一、格林公式定理3设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数Px,y及Qx,y在D上具有一阶连续偏导数，则有(10-6)

其中L是D的正向边界曲线.式(10-6)称为格林公式.一、格林公式求∮L(2xy－2y)dx+(x2－4x)dy，其中L为圆周x2+y2=R2依逆时针方向(见图10-7).【例9】图10-7一、格林公式求I=∫Lexsiny－b(x+y)dx+(excosy－ax)dy，其中a,b为正的常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y=2ax－x2到点O(0,0)的弧(见图10-8).【例10】图10-8一、格林公式一、格林公式本例中，通过添加一段简单的辅助曲线，使它与所给曲线构成一封闭曲线，然后利用格林公式把所求曲线积分化为二重积分来计算.在利用格林公式计算曲线积分时，这是常用的一种方法.一、格林公式【例11】图10-9一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的定义与条件通过本章第二节的学习知道，沿着具有相同起点和终点但积分路径不同的第二类曲线积分，其积分值可能相等，也可能不相等.在什么情况下，积分值相等呢？这就是下面将要讨论的平面曲线积分与积分路径无关的条件.为了研究这个问题，先要明确曲线积分与路径无关的定义.设D是一个区域，P(x,y)及Q(x,y)在区域D内具有一阶连续偏导数.L1，L2是D内具有相同起点和终点的任意两条曲线(见图10-10).图10-10二、平面上曲线积分与路径无关的定义与条件定理4二、平面上曲线积分与路径无关的定义与条件二、平面上曲线积分与路径无关的定义与条件(10-7)二、平面上曲线积分与路径无关的定义与条件与路径无关,可以取先从M0(x0,y0)到M(x,y),然后沿平行于x轴的直线段从M(x,y)到Nx+Δx,y作为上式右端曲线积分的路径(见图10-11),于是图10-11二、平面上曲线积分与路径无关的定义与条件二、平面上曲线积分与路径无关的定义与条件这里的u(x,y)可通过取平行于坐标轴的折线路径(见图10-12)得图10-12二、平面上曲线积分与路径无关的定义与条件(10-8)(10-9)二、平面上曲线积分与路径无关的定义与条件函数P(x,y)，Q(x,y)满足定理4的条件时，表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分.因此可解决一类特殊的一阶微分方程——全微分方程.若方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(10-10)

的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分

du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，则称方程(10-10)为全微分方程.此时方程(10-10)可写成

du(x,y)=0,

二、平面上曲线积分与路径无关的定义与条件因而u(x,y)=C

就是方程(10-10)的通解,其中C为任意常数.这样,求解方程(10-10)实质上就归结为求全微分函数u(x,y).当P(x,y)，Q(x,y)在单连通区域D内具有一阶连续偏导数，且满足定理2的条件时，由式(10-7)知全微分方程(10-