2019届广西专用中考数学复习第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形试卷讲义

§4.3等腰三角形与直角三角形中考数学

(广西专用)考点一等腰三角形五年中考A组

2014-2018年广西中考题组五年中考1.(2017河池,12,3分)已知等边△ABC的边长为12,D是AB上的动点,过D作DE⊥AC于点E,过E作

EF⊥BC于点F,过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时,AD的长是

(

)A.3

B.4

C.8

D.9答案

B设AD=2x,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F,FG⊥AB于点G,且点G与D重合,

∴∠ADF=∠DEC=∠EFC=90°,∴AE=x,∴CE=12-x,∴CF=6-

,∴BF=6+

,∴BD=3+

,∴3+

+2x=12,∴x=4,∴AD=4.故选B.2.(2016贺州,7,3分)一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为

(

)A.12

B.16

C.20

D.16或20答案

C①当腰长为4时,4+4=8,故此种情况不存在.②当腰长为8时,8-4<8<8+4,符合题意,故此三角形的周长=8+8+4=20.故选C.易错警示

本题易错选D选项,主要是没有考虑腰长为4时不符合三角形两边之和大于第三边

这个条件.3.(2015来宾,9,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,AB的垂直平分线DE分别交AB,BC于

点D,E,则∠BAE等于

(

)

A.80°

B.60°

C.50°

D.40°答案

D∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°,∵DE所在直线是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠BAE=∠B=40°,故选D.思路分析

先利用等腰三角形的性质求出∠B的度数,再利用中垂线的性质求解.主要考点

等腰三角形及线段的垂直平分线的性质.4.(2018桂林,16,3分)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个

数是

.

答案3解析∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=

=72°,又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴∠BDC=72°,∴AD=BD=BC,∴△ABD,△BCD,△ABC均为等腰三角形,故有3个.考点二直角三角形1.(2018柳州,6,3分)如图,图中直角三角形共有

(

)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个答案

C题图中共有3个直角三角形,故选C.2.(2018贺州,10,3分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=

3,则BC的长为

(

)

A.3

B.3

C.6

D.6

答案

D∵AD⊥BC,AD=ED=3,∴AE=

=

=3

.又∠BAC=90°,E为BC的中点,∴BC=2AE=2×3

=6

.3.(2016百色,6,3分)如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则BC=

(

)

A.6

B.6

C.6

D.12答案

A∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC=

AB=

×12=6.故选A.4.(2016北海,8,3分)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,BE为AC边上的中线,AB=10,BC=12,AD

=6,连接DE,则DE的长为

(

)

A.

B.

C.2

D.2

答案

B在Rt△ABD中,AB=10,AD=6,根据勾股定理得BD=

=8,则CD=BC-BD=4.在Rt△ACD中,根据勾股定理得AC=

=2

,又点E为AC的中点,所以DE=

AC=

.故选B.评析本题考查了勾股定理,及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.5.(2015桂林,8,3分)下列各组线段能构成直角三角形的一组是(

)A.30,40,50

B.7,12,13C.5,9,12

D.3,4,6答案

A

A.∵302+402=502,∴该组线段能构成直角三角形,故正确;B.∵72+122≠132,∴该组线

段不能构成直角三角形,故错误;C.∵52+92≠122,∴该组线段不能构成直角三角形,故错误;D.∵

32+42≠62,∴该组线段不能构成直角三角形,故错误.故选A.6.(2018玉林,17,3分)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,则AD的取值范围是

.

答案2<AD<8解析过B作BE⊥AD于E,分别延长AD,BC交于F,在Rt△ABE中,

=cos60°,∴AE=4×

=2.在Rt△ABF中,

=cos60°,∴AF=

=8.故2<AD<8.

7.(2018贵港,26,10分)已知:A,B两点在直线l的同一侧,线段AO,BM均是直线l的垂线段,且BM在

AO的右边,AO=2BM,将BM沿直线l向右平移,在平移过程中,始终保持∠ABP=90°不变,BP边与

直线l相交于点P.(1)当P与O重合(如图2所示),设点C是AO的中点,连接BC.求证:四边形OCBM是正方形;(2)请利用图1所示的情形,求证:

=

;(3)若AO=2

,且当MO=2PO时,请直接写出AB和PB的长.

图1图2解析(1)证明:∵AO⊥l,BM⊥l,∴AO∥BM,∵AO=2BM,C为AO中点,∴OC=BM,∴四边形OCBM是平行四边形.∵∠OMB=90°,∴四边形OCBM是矩形,∴∠OCB=90°,在△OCB和△ACB中,

∴△OCB≌△ACB(SAS),∴∠CBO=∠ABC,又∵∠ABO=90°,∴∠CBO=45°,又∵∠OCB=90°,∴∠COB=45°,∴CO=CB.∴四边形OCBM是正方形.(2)证明:过B作BC⊥AO于C,设AO与PB相交于D.∵∠AOM=∠OMB=∠OCB=90°,∴四边形OCBM是矩形.∴OM=BC.∵∠POA=∠ABP=90°,∠ADB=∠PDO,∴∠BPM=∠A.又∵∠ACB=∠PMB=90°,∴△ACB∽△PMB.∴

=

.∵OM=BC,∴

=

.(3)①当P在线段OM外时,如图.设OA与BP相交于点C.

∵MO=2PO,∴

=

.∵CO∥BM,∴△POC∽△PMB.∴

=

=

=

,又∵AO=2

,BM=

AO=

,∴OC=

,AC=

.∵∠ABP=∠POA=90°,∠PCO=∠ACB,∴△ABC∽△POC,∴

=

,∴CB·CP=AC·CO.∵

=

,∴设PC=x(x>0),则CB=2x.∴

×

=2x2,解得x=

(负值舍去).∴PB=

,CB=

.∴在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=

=

=

.②当P在线段OM内时,如图.

过A作AC⊥BM交MB的延长线于C,∴∠ACB=∠AOM=∠OMB=90°.∴四边形AOMC是矩形.∴AO=CM,AC=OM,又∵AO=2BM,AO=2

,∴BC=BM=

.∵∠ABP=90°,∠OMB=90°,∴∠PBM+∠ABC=90°,∠PBM+∠BPM=90°,∴∠ABC=∠BPM.∴△PMB∽△BCA.∴

=

.∴AC·PM=BM·CB,即MO·PM=6.又∵MO=2PO,∴PO=PM=

MO,∴2PM2=6.∴PM=

.∴MO=AC=2

.在Rt△BPM中,PB=

=

=3,在Rt△ABC中,AB=

=

=3

.∴综上所述,AB=

或3

,PB=

或3.B组2014—2018年全国中考题组考点一等腰三角形1.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则

∠ACE等于

(

)

A.15°

B.30°

C.45°

D.60°答案

A由等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,可得∠ACB=60°,且点D是BC的中点,所

以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到∠ECB=∠EBC=45°,故∠ACE=∠ACB-∠

ECB=60°-45°=15°.2.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形

的底边长为

(

)A.2cm

B.4cm

C.6cm

D.8cm答案

A当腰长为2cm时,底边长为6cm,但是2+2=4<6,即两边之和小于第三边,不合题意;当

底边长为2cm时,腰长为4cm,符合题意,故选A.3.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得

它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为

(

)

\A.4

B.5

C.6

D.7答案

D①如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则△BCD就是等腰三角形;②如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则△ACE就是等腰三角形;③如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则△BCM、△BCF是等腰三角

形;④如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则△ACH就是等腰三角形;⑤如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则△AGB就是等腰三角形;⑥如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则△BCI就是等腰三角形.故选D.4.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50°,则它的顶角的度数为

.答案80°解析∵等腰三角形的两底角相等,∴180°-50°×2=80°,∴顶角为80°.5.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边△ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF⊥AC于点F,

G为EF的中点,连接DG,则DG的长为

.

答案

解析连接DE,在等边△ABC中,

∵D、E分别是AB、BC的中点,∴DE∥AC,DE=EC=

AC=2.∴∠DEB=∠C=60°.∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°.∴∠FEC=30°,EF=

.∴∠DEG=180°-60°-30°=90°.∵G是EF的中点,∴EG=

.∴在Rt△DEG中,DG=

=

=

.思路分析

连接DE,根据题意可得DE∥AC,又EF⊥AC,可得到∠FEC的度数,判断出△DEG是

直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.疑难突破

本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段

DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股

定理求出DG的长.6.(2018辽宁沈阳,16,3分)如图,△ABC是等边三角形,AB=

,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH、CH,当∠BHD=60°,∠AHC=90°时,DH=

.

答案

解析延长AD至点E,使得HE=BH,连接BE、CE,

∵∠BHD=60°,∴△BHE是等边三角形,∴BH=BE=HE,∠BEH=60°,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°,∴∠ABH=∠CBE,∴△ABH≌△CBE,∴∠BEC=

∠BHA=120°,∴∠HEC=60°,∵CH⊥AD,∴∠CHE=90°,设BH=x(x>0),则HE=x,CH=

x,过点B作BG⊥HE于G,则BG=

x,EG=

,∠BGD=∠CHD=90°,又∵∠BDG=∠CDH,∴△BDG∽△CDH,∴

=

=

=

,∵BC=

,∴CD=

,又DH=

GH=

×

HE=

,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2,即

+(

x)2=

,解得x=1,∴DH=

.疑难突破

此类题型中,可根据等边三角形、60°这些条件,通过补全小等边三角形,构造全等

三角形,从而实现线段的转化.考点二直角三角形1.(2018陕西,6,3分)如图,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平

分线交AD于点E,则AE的长为

(

)

A.2

B.3

C.

D.

答案

D∵AC=8,∠C=45°,AD⊥BC,∴AD=ACsin45°=4

,过点E作EF⊥AB于点F,∵BE是∠ABC的平分线,∴DE=EF,∵∠ABC=60°,AD⊥BC,∴∠BAE=30°,在Rt△AEF中,EF=

AE,又∵AD=4

,DE=EF,∴AE=

AD=

,故选D.思路分析

首先利用AC的长及∠C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及直角三角

形中30度角的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.2.(2016四川南充,7,3分)如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,

则DE的长为

(

)

A.1

B.2

C.

D.1+

答案

A在Rt△ABC中,∵∠A=30°,BC=1,∴AB=2.∵点D,E分别是BC,AC的中点,∴DE=

AB=

×2=1.3.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,

交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为

(

)

A.

B.

C.

D.

答案

A过F作FG⊥AB于点G,∵AF平分∠CAB,∠ACB=90°,∴FC=FG.易证△ACF≌△AGF,∴AC=AG.

∵∠5+∠6=90°,∠B+∠6=90°,∴∠5=∠B.∵∠3=∠1+∠5,∠4=∠2+∠B,∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴CE=CF.∵AC=3,AB=5,∴BC=4.在Rt△BFG中,设CF=x(x>0),则FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=

,∴CE=CF=

.选A.4.(2018福建,13,4分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中点,则CD=

.

答案3解析依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半”可得CD=

AB=3.5.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三

角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若

AB=

,则CD=

.

答案

-1解析由题意知△ABC,△ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=

,由勾股定理得BC=AD=2.过A作AF⊥BC于F,则FC=AF=1,在Rt△AFD中,由勾股定理得FD=

,故CD=FD-FC=

-1.

6.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5

cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂

蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为

cm(杯壁厚度不计).

答案20解析如图,将圆柱侧面展开,延长AC至A',使A'C=AC,连接A'B,则线段A'B的长为蚂蚁到蜂蜜的

最短距离.过B作BB'⊥AD,垂足为B'.在Rt△A'B'B中,B'B=16,A'B'=14-5+3=12,所以A'B=

=

=20,即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.

7.(2018河南,15,3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A'

BC与△ABC关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A'B所在直线

于点F,连接A'E.当△A'EF为直角三角形时,AB的长为

.

答案4或4

解析(1)当点A'在直线DE下方时,如图1,∵∠CA'F=90°,∠EA'F>∠CA'F,∴△A'EF为钝角三角

形,不符合;(2)①当点A'在直线DE上方时,如图2.当∠A'FE=90°时,∵DE∥AB,∴∠EDA=90°,∴A

'B∥AC.由对称知四边形ABA'C为正方形,∴AB=AC=4;②当点A'在直线DE上方时,如图3.当∠A'

EF=90°时,A'E∥AC,所以∠A'EC=∠ACE=∠A'CE,∴A'C=A'E.∵A'E=EC,∴△A'CE为等边三角

形,∴∠ACB=∠A'CB=60°,∴在Rt△ACB中,AB=AC·tan60°=4

;③当点A'在直线DE上方时,∠EA'F<∠CA'B,不可能为90°.综上所述,当△A'EF为直角三角形时,AB的长为4或4

.

图1

图2

图3方法总结

解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为

圆心,定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条

件,结合全等、相似或勾股定理等计算得出结果.思路分析

由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A'可以在直线DE的下方或上方.分类

讨论,当点A'在DE的下方时,△A'EF不可能为直角三角形,当点A'在直线DE上方时,∠A'EF或∠

A'FE为90°时分别计算AB的长,显然∠EA'F<90°,可以排除.8.(2018新疆乌鲁木齐,15,4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2

,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B‘DE的位置,B’D交AB于点F.若△AB‘F为

直角三角形,则AE的长为

.

答案3或2.8解析易知∠B'AF不可能为直角.当∠B'FA是直角时,如图1,

图1∵∠C是直角,∠ABC=∠DBF,∴△BCA∽△BFD,∴

=

,又∵BC=2

,且易知BD=

,AB=4,∴BF=

×2

=

,由翻折可知△DBE≌△DB'E,∴BE=B'E,∠EB'F=∠ABD=30°,∴BE=EB'=2EF,∴BE=

BF=1,∴AE=4-1=3.当∠FB'A是直角时,如图2,

图2连接B'C、AD、BB',由翻折可知△DBE≌△DB'E,∴B'D=BD=

BC=CD,∴∠BB'C=90°,∵∠FB'A=∠ACD=90°,∴Rt△ACD≌Rt△AB'D,∴AC=AB',又易证∠DB'B=∠CB'A,∴△DB'B∽△AB'

C,∴

=

=

,又

=

,故可证△BB'C∽△DCA,∴∠CDA=∠B'BC,∴AD∥BB',延长DE交BB'于M,可得

=

=

(*),易知DM垂直平分BB',∴BM=

BB',在直角三角形BB'C中,由BB'2+B'C2=BC2=12,

=

,可求得BB'=

,∴BM=

.在直角三角形DCA中,DA=

=

,将BM=

,AD=

代入(*)可得AE=2.8.综上,AE=3或2.8.疑难突破

本题的难点是∠FB'A为直角时如何求AE,突破方法是作出辅助线B'C、AD、BB',

并根据翻折证明△BB'C∽△DCA,然后利用相似比求出AE.9.(2017河南,15,3分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=

+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B'

落在边AC上.若△MB'C为直角三角形,则BM的长为

.

答案

或1解析在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.(1)当∠MB'C=90°时,∠B'MC=∠C=45°.设BM=x,则B'M=B'C=x,在Rt△MB'C中,由勾股定理得MC=

x,∴

x+x=

+1,解得x=1,∴BM=1.(2)如图,当∠B'MC=90°时,点B'与点A重合,

此时BM=B'M=

BC=

.综上所述,BM的长为1或

.10.(2018安徽,23,14分)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°.点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E.点M

为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.(1)求证:CM=EM;(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;(3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点.求证:AN∥EM.

图1图2解析(1)证明:由已知,在Rt△BCD中,∠BCD=90°,M为斜边BD的中点,∴CM=

BD.又DE⊥AB,同理,EM=

BD,∴CM=EM.

(4分)(2)由已知得,∠CBA=90°-50°=40°.又由(1)知CM=BM=EM,∴∠CME=∠CMD+∠DME=2(∠CBM+∠EBM)=2∠CBA=2×40°=80°,∴∠EMF=180°-∠CME=100°.

(9分)(3)证明:∵△DAE≌△CEM,∴∠CME=∠DEA=90°,DE=CM,AE=EM.又CM=DM=EM,∴DM=DE=EM,∴△DEM是等边三角形,∴∠MEF=∠DEF-∠DEM=30°.证法一:在Rt△EMF中,∠EMF=90°,∠MEF=30°,∴

=

,又∵NM=

CM=

EM=

AE,∴FN=FM+NM=

EF+

AE=

(AE+EF)=

AF.∴

=

=

.又∵∠AFN=∠EFM,∴△AFN∽△EFM,∴∠NAF=∠MEF,∴AN∥EM.

(14分)证法二:连接AM,则∠EAM=∠EMA=

∠MEF=15°,

∴∠AMC=∠EMC-∠EMA=75°,①又∠CMD=∠EMC-∠EMD=30°,且MC=MD,∴∠ACM=

×(180°-30°)=75°.②由①②可知AC=AM,又N为CM的中点,∴AN⊥CM,又∵EM⊥CF,∴AN∥EM.

(14分)思路分析

(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角

互余求出∠CBA,由等腰三角形的性质可得∠MEB=∠MBE,∠MCB=∠MBC,从而可得∠CME=

∠DME+∠CMD=2(∠CBM+∠EBM),最后由补角性质求出∠EMF;(3)由△DAE≌△CEM可推

出△DEM为等边三角形,从而可得∠MEF=30°,下面证AN∥EM有两个思路:一是根据直角三角

形30°角所对直角边等于斜边的一半可得

=

,又点N是CM的中点,可推出

=

,从而可证△AFN∽△EFM,进一步即可证明AN∥EM;二是连接AM,计算可得∠AMC=∠ACM,而N是CM

的中点,从而AN⊥CM,进一步即可证明AN∥EM.11.(2016内蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠

ECD=90°,D为AB边上一点.(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.

证明(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∴CD=CE,AC=BC,∠ECD=∠ACB=90°,∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即∠ECA=∠DCB.

(1分)在△ACE与△BCD中,

(3分)∴△ACE≌△BCD.

(4分)(2)∵△ACE≌△BCD,∴AE=BD.

(5分)∵∠EAC=∠BAC=45°,∴∠EAD=90°.在Rt△EAD中,ED2=AD2+AE2,∴ED2=AD2+BD2.

(6分)又ED2=EC2+CD2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.

(7分)C组教师专用题组考点一等腰三角形1.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使△ABC

为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是

(

)A.5

B.6

C.7

D.8答案

A如图,①当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除

外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;②当AB=BC时,以点B为圆心,AB长

为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;③当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有

两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.

2.(2016河北,16,2分)如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△

PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有

(

)

A.1个

B.2个

C.3个

D.3个以上答案

D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则△PCD为等边三

角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则△PCM≌△PDN,所以∠CPM=∠DPN,PM=PN,∠

MPN=60°,则△PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形

有无数个.

3.(2015福建龙岩,8,4分)如图,在边长为

的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为

(

)

A.

B.

C.

D.1答案

D由题意可得,∠PBC=30°,在Rt△PBC中,PC=BC·tan30°=1,因为BP是∠ABC的平分

线,所以点P到直线AB的距离等于点P到直线BC的距离,即为1,故选D.4.(2015吉林长春,6,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=70°,则∠BAC的大小

为

(

)

A.30°

B.40°

C.50°

D.70°答案

B∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD∥BC,∴∠1=∠C=70°.∴∠B=70°.∴∠BAC=40°.故选B.5.(2014江苏苏州,10,3分)如图,△AOB为等腰三角形,顶点A的坐标为(2,

),底边OB在x轴上.将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B,点A的对应点A'在x轴上,则点O'的坐标

为

(

)

A.

B.

C.

D.

答案

C过A作OB边的垂线AC,垂足为C,过O'作BA'边的垂线O'D,垂足为D,因为顶点A

的坐

标为(2,

),所以C点坐标为(2,0),所以OC=2,AC=

,在Rt△OAC中,根据勾股定理得OA=3,所以AB=3.因为△AOB为等腰三角形,所以C为OB的中点,所以B点坐标为(4,0),故BO'=BO=4.在Rt

△O'BD和Rt△O'A'D中,O'B2-BD2=O'A'2-A'D2.设BD=x,则有42-x2=32-(3-x)2,解得x=

,所以BD=

,所以O'D=

,又OD=4+

=

,故O'点的坐标为

,故选C.

6.(2015浙江绍兴,13,5分)由于木质的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设

计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18cm.

若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点间的距离是

cm.

答案18解析连接AB.因为OA=OB=18cm,收拢后的∠AOB=60°,所以△AOB是正三角形,故AB=18cm.7.(2016湖南长沙,17,3分)如图,△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC

于点E,则△BCE的周长为

.

答案13解析∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.评析

本题考查了线段垂直平分线的性质定理,即线段的垂直平分线上的点到这条线段两个

端点的距离相等.8.(2014江苏苏州,15,3分)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=

∠BAC,则tan∠BPC=

.

答案

解析过A作等腰△ABC底边BC上的高AD,垂足为D,则AD

平分∠BAC,且D为BC的中点,所以

BD=4,根据勾股定理可求出AD=3,又因为∠BPC=

∠BAC,所以∠BPC=∠BAD,所以tan∠BPC=tan∠BAD=

=

.9.(2014河南,11,3分)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B、C为圆心,以大于

BC的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠B=25°,则

∠ACB的度数为

.

答案105°解析由题意知MN垂直平分BC,∴CD=BD,又CD=AC,∴AC=CD=BD,∴∠DCB=∠B=25°,∴∠A=∠CDA=50°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=105°.10(2016北京,16,3分)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知:直线l和l外一点P.

求作:直线l的垂线,使它经过点P.作法:如图,(1)在直线l上任取两点A,B;(2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q;(3)作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的垂线.

请回答:该作图的依据是

.答案三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;等腰三角形的顶角平分线

与底边上的高重合;两点确定一条直线解析连接PA、QA、PB、QB.由题意可知PA=QA,PB=QB,又AB=AB,∴△PAB≌△QAB(三边分别相等的两个三角形全等),∴∠PAB=∠QAB(全等三角形的对应角相等).由两点确定一条直线作直线PQ.∵PA=QA,∴AB⊥PQ(等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合).11.(2016贺州,16,3分)如图,在△ABC中,分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形

BCE,连接AE、BD交于点O,则∠AOB的度数为

.

答案120°解析设AC与BD交于点H.∵△ACD,△BCE都是等边三角形,∴CD=CA,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°.∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB,即∠DCB=∠ACE.在△DCB和△ACE中,

∴△DCB≌△ACE(SAS),∴∠CDB=∠CAE.又∵∠DCH+∠CHD+∠CDB=180°,∠AOH+∠OHA+∠CAE=180°,∠CHD=∠OHA,∴∠AOH=∠DCH=60°.∴∠AOB=180°-∠AOH=120°.思路分析

先证明△DCB≌△ACE,再利用全等三角形的性质得到∠CDB=∠CAE,再利用对

顶角相等及三角形内角和定理得∠AOD=∠ACD=60°,即可求出∠AOB.主要考点

全等三角形的判定及性质及等边三角形的性质.12.(2016吉林,12,3分)如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,大于

AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点,作直线CD交AB于点E.在直线CD上任取一点F,连接FA,FB.若FA=5,则FB=

.

答案5解析由题意可知EF垂直平分AB,所以FB=FA=5.13.(2016柳州,23,8分)求证:等腰三角形的两个底角相等.(请根据下图用符号表示已知和求证,并写出证明过程).已知:求证:证明:

解析已知:在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C.证法一:过点A作AD⊥BC,垂足为D.

则∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(HL).∴∠B=∠C.证法二:过点A作∠BAC的平分线AD交BC于点D.则∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B=∠C.证法三:过点A作BC边上的中线AD交BC于点D.

则BD=CD.在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C.14.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90

°,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.(1)如图1,求证:AE=BD;(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.

图1

图2解析(1)证明:∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE,∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD.(2)△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.15.(2016宁夏,21,6分)在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D作DE∥AB,过

点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.求EF的长.

解析∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠ACB=60°,∵DE∥AB,∴∠EDF=∠B=60°,∠DEC=∠A=60°,∴△CDE为等边三角形,∴DE=CD=2.

(4分)∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,在Rt△DEF中,EF=DE·tan60°=2

.

(6分)16.(2015北京,20,5分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.

证明∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.∵BE⊥AC,∴∠BEC=∠ADC=90°.∴∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C.∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD.17.(2014浙江杭州,18,8分)在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点

P.求证:PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.

解析在△AFB和△AEC中,AF=AE,∠A为公共角,AB=AC,所以△AFB≌△AEC,所以∠ABF=∠ACE.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠PBC=∠PCB,所以PB=PC.其余相等的线段有:BF=CE;PE=PF;BE=CF.18.(2014浙江温州,20,10分)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过

点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数;(2)若CD=2,求DF的长.

解析(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴∠F=90°-∠EDC=30°.(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4.19.(2015重庆,25,12分)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°.点E是∠BAC角平分线上一

点.过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DH⊥AC,

垂足为H,连接EF,HF.(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2

,求AB,BD的长;(2)如图1,求证:HF=EF;(3)如图2,连接CF,CE.猜想:△CEF是不是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.图1

图2解析(1)∵点H是AC的中点,AC=2

,∴AH=

AC=

.

(1分)∵∠ACB=90°,∠BAC=60°,∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=4

.

(2分)∵DA⊥AB,DH⊥AC,∴∠DAB=∠DHA=90°.∴∠DAH=30°,∴AD=2.

(3分)在Rt△ADB中,∵∠DAB=90°,∴BD2=AD2+AB2.∴BD=

=2

.

(4分)(2)证明:连接AF,如图.∵F是BD的中点,∠DAB=90°,∴AF=DF,∴∠FDA=∠FAD.

(5分)∵DE⊥AE,∴∠DEA=90°.∵∠DHA=90°,∠DAH=30°,∴DH=

AD.∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=

∠BAC=30°.∴∠DAE=60°,∴∠ADE=30°.∴AE=

AD,∴AE=DH.

(6分)∵∠FDA=∠FAD,∠HDA=∠EAD=60°,∴∠FDA-∠HDA=∠FAD-∠EAD,∴∠FDH=∠FAE.

(7分)∴△FDH≌△FAE(SAS).∴FH=FE.

(8分)(3)△CEF是等边三角形.

(9分)理由如下:取AB的中点G,连接FG,CG.如图.

∵F是BD的中点,∴FG∥DA,FG=

DA.∴∠FGA=180°-∠DAG=90°,又∵AE=

AD,∴AE=FG.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点G为AB的中点,∴CG=AG.又∵∠CAB=60°,∴△GAC为等边三角形.

(10分)∴AC=CG,∠ACG=∠AGC=60°.∴∠FGC=30°,∴∠FGC=∠EAC.∴△FGC≌△EAC(SAS).

(11分)∴CF=CE,∠ACE=∠GCF.∵∠ECF=∠ECG+∠GCF=∠ECG+∠ACE=∠ACG=60°,∴△CEF是等边三角形.

(12分)考点二直角三角形1.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长

为1.2km,则M,C两点间的距离为

(

)

A.0.5km

B.0.6kmC.0.9km

D.1.2km答案

D∵AC⊥BC,M是AB的中点,∴MC=

AB=AM=1.2km.故选D.2.(2016黑龙江哈尔滨,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,点P为边BC的三等

分点,连接AP,则AP的长为

.答案

或

解析当CP=1时,根据勾股定理得AP=

=

;当CP=2时,根据勾股定理得AP=

=

=

,故AP的长为

或

.3.(2015山东聊城,15,3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线.若AB=6,则

点D到AB的距离是

.

答案

解析∵∠C=90°,∠A=30°,AB=6,∴∠ABC=60°,BC=3,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=

∠ABC=30°,点D到AB的距离等于DC,在Rt△BDC中,DC=tan∠DBC×BC=

×3=

,∴点D到AB的距离等于

.4.(2015江西南昌,14,3分)如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠

AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为

.

答案2或2

或2

解析由题意知,满足条件的点P有三个位置.如图①,∠APB=90°,因为OA=OB=2,所以OP=OA=

2,又因为∠AOC=60°,所以△POA为等边三角形,所以AP=2.如图②,∠APB=90°,因为OA=OB=2,所以OP=OA=OB=2,又∠AOC=∠BOP=60°,所以△OBP为

等边三角形,所以∠OBP=60°,所以∠OAP=30°,所以AP=AB·cos∠OAP=4×

=2

.如图③,∠ABP=90°,因为∠BOP=∠AOC=60°,所以BP=OB·tan60°=2

.在Rt△ABP中,AP=

=

=

=2

.综上所述,AP的长为2或2

或2

.评析

本题是以等腰三角形中的动点为背景的分类讨论型问题,考查了含特殊角的直角三角

形的边角关系、勾股定理等知识,本题易漏掉某种情况,属易错题.5.(2014湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则

BD的长为

.

答案

解析作AD'⊥AD,且使AD'=AD,连接CD',DD',如图.由已知条件可得∠BAC+∠CAD=∠DAD'+∠CAD,即∠BAD=∠CAD'.在△BAD与△CAD'中,

∴△BAD≌△CAD'(SAS),∴BD=CD'.又∠DAD'=90°,由勾股定理得DD'= =

=4

,易知∠D'DA+∠ADC=90°,由勾股定理得CD'= =

=

,∴BD=CD'=

.

评析

本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质,属难题.6.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连

接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.

解析(1)证明:在△ABC中,∠ABC=90°,M为AC的中点,∴BM=

AC.∵N为CD的中点,∴MN=

AD.∵AC=AD,∴BM=MN.(2)∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=30°.由BM=AM,可得∠BMC=2∠BAC=60°.由MN∥AD,可得∠CMN=∠CAD=30°.∴∠BMN=∠BMC+∠CMN=90°.∵AC=AD=2,∴BM=MN=1.在Rt△BMN中,BN=

=

.考点一等腰三角形三年模拟A组

2016—2018年模拟·基础题组1.(2018百色一模,2)已知一个等腰三角形的顶角是60°,则这个三角形的底角大小是

(

)A.120°

B.60°

C.40°

D.30°答案

B根据等腰三角形的性质可知等腰三角形两底角相等,故底角大小为60°,选B.2.(2018贵港覃塘一模,10)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,若AB=4,AD=2,则△AED的

周长是

(

)

A.6

B.7

C.8

D.10答案

A∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD,∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∴∠EDB=∠

EBD,∴BE=DE,∴C△ADE=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6,故选A.思路分析

根据角平分线的性质以及平行线的性质得出△BDE为等腰三角形,然后将△ADE

的周长转化为AB+AD即可得出答案.评析

本题主要考查的是角平分线的性质以及平行线的性质,属于基础题型.解答这个问题的

关键就是得出△BDE为等腰三角形.3.(2016桂林三模,8)若一个等腰三角形的两边长分别是2和5,则它的周长为(

)A.12

B.9

C.12或9

D.9或7答案

A∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5,∴当腰长为2时,2+2<5,不成立;当腰长为5

时,5+2>5,符合要求.则它的周长为5+5+2=12.故选A.4.(2016贵港二模,9)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC=72°,则∠ABD=

(

)

A.36°

B.54°

C.18°

D.64°答案

B∵AB=AC,∠ABC=72°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=36°.∵

BD⊥AC,∴∠ABD=90°-36°=54°.故选B.5.(2018桂林二模,15)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长是

.答案10解析设第三边长为a,则a=2或4,根据三角形的三边关系可知4-2<a<4+2,∴2<a<6,∴a=4,∴周长为2+4+4=10.6.(2016玉林博白一模,16)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,若AB=5,CD=3,则△ABC的周

长是

.

答案16解析∵在△ABC中,AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,又∵AD⊥BC于点D,∴BD=CD,∵AB=5,CD=3,∴△ABC的周长=5+3+3+5=16.考点二直角三角形1.(2018桂林三模,9)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,分别以点A,点B为圆心,大于

AB长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交AB于点O,连接CO,则CO的长是

(

)

A.1.5

B.2

C.2.4

D.2.5答案

D∵AB=5,AC=4,BC=3,∴AB2=