第1章-随机事件与概率电子教案

第1章随机事件与概率1.1随机事件1.2事件的概率1.3概率的加法公式1.4条件概率与乘法公式1.5全概率公式与贝叶斯公式1.6事件的独立性与贝努里概型2025/1/151概率论与数理统计1.1.1随机试验与样本空间为了研究随机现象，就要进行实验或对随机现象进行观察。这种实验或观察的过程称为随机试验。概率论里所研究的随机试验具有下面两个特征：(1)可以在完全相同的条件下重复进行；(2)试验会出现哪些可能的结果在试验前是已知的，但每次试验究竟会出现哪一个结果在试验前是无法准确预知的。在随机试验中，每一个可能出现的不可再分解的最简单的结果称为随机试验的基本事件或样本点；由全体基本事件构成的集合称为基本事件空间或样本空间，样本空间通常用表示。

2025/1/152概率论与数理统计1.1.1随机试验与样本空间例1射击环靶的试验，用表示“击中环”，则为这个试验的全体基本事件，样本空间。例2记录某电话总机在一天内接到呼唤的次数，是一个随机试验。试验结果(接到呼唤的次数)可能值为所有的非负整数(因为难以规定一个呼唤次数的上界)。所以样本空间。例3掷一颗骰子，观察出现的点数。用表示“出现点”，则为这个试验的全体基本事件。这个随机试验的样本空间。

2025/1/153概率论与数理统计1.1.2随机事件特别的，必然事件对应样本空间，不可能事件对应空集(当然和也是的子集)。本书中用表示必然事件，用表示不可能事件。

2025/1/155概率论与数理统计1.1.3事件间的关系和运算1．事件的包含与相等

定义如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作或。这种关系如图1.1所示。图1.1

2025/1/156概率论与数理统计1.事件的包含与相等例如在验收机械零件时，设A表示“尺寸不合格”，B表示“零件不合格”，则。定义若事件B包含事件A，同时事件A又包含事件B，则称事件A与事件B相等，记作。2025/1/157概率论与数理统计2.事件的和

定义“事件A与事件B中至少有一个发生”也是一个随机事件，称之为事件A与事件B的和(或和事件)，记作。

A与B的和如图1.2中的阴影部分所示图1.22025/1/158概率论与数理统计

例如在验收机械零件时，规定只要尺寸和粗糙度有一不合格则零件就不合格，则“零件不合格”(用C表示)就是“尺寸不合格”(用A表示)与“粗糙度不合格”(用B表示)的和，即一般地，称“事件中至少有一个发生”为事件的和，记作或或。2.事件的和2025/1/159概率论与数理统计

3．事件的积定义“事件A与事件B同时发生”也是一个随机事件，称为事件A与事件B的积(或积事件)。A与B的积如图1.3中的阴影部分所示。

图1.32025/1/1510概率论与数理统计4．互不相容事件与对立事件定义如果两个事件A与B不能同时发生，即“A与B同时发生”是不可能事件：，则称事件A与B互不相容(或互斥)。如图1.4所示。

图1.4

2025/1/1511概率论与数理统计4．互不相容事件与对立事件定义

如果事件A与事件B必有一个发生且仅有一个发生，即，则称事件A与B互为对立事件。记作,读作A为B的对立事件或B为A的对立事件。A的对立事件,如图1.5所示的阴影部分所示。

图1.5

2025/1/1512概率论与数理统计4．互不相容事件与对立事件例如掷一颗骰子，设A表示“出现偶数点”，B表示“出现3点”，C表示“出现奇数点”，则A与B互不相容，A与C互不相容，而且A与C互为对立事件。但B与C是相容的。

2025/1/1513概率论与数理统计

5．事件的差

定义

“事件A发生而事件B不发生”称为事件A与事件B的差，记作A-B。事件A与B的差如图1.6中的阴影部分所示。

图1.6

2025/1/1514概率论与数理统计1.1.3事件间的关系和运算事件之间的关系和运算具有下列性质

(1)交换律；。(2)结合律；。(3)分配律；A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)。(4)摩根法则

；。对于n个事件有

2025/1/1515概率论与数理统计1.1.3事件间的关系和运算例从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回)，事件表示第i次取到合格品。试用事件的运算表示下列事件；(1)三次都取到了合格品；(2)三次中至少有一次取到合格品；(3)三次中恰有两次取到合格品；(4)三次中最多有一次取到合格品。解(1)“三次取到合格品”=；(2)“三次中至少有一次取到合格品”=;(3)“三次中恰有两次取到合格品”=;(4)“三次中最多有一次取到合格品”=。

2025/1/1516概率论与数理统计1.2事件的概率研究随机试验，不仅需要分析它在一定条件下可能产生的各种结果，而且还要分析各种结果发生的可能性大小。刻画随机事件发生可能性大小的量，则是本节要研究的概率的概念。此外本节还涉及概率的性质和简单的计算。

2025/1/1517概率论与数理统计1.2.1概率的统计定义及性质

定义1在一个随机试验中，如果随着试验次数的增大，事件A出现的频率在某个常数p附近摆动并逐渐稳定于p，则称p为事件A的概率，记为。这个定义称为概率的统计定义。由事件的频率的性质可以推想事件的概率也应有相应的性质：(1)0≤P(A)≤1。(2)，。(3)当事件A与B互不相容时，则有。这条性质称为概率的可加性，并称此等式为互斥事件的加法公式。

2025/1/1518概率论与数理统计1.2.2概率的古典定义

观察“掷骰子”、“掷硬币”的试验，它们都具有下列特点。(1)试验的所有基本事件的个数是有限的。(2)每次试验中，各基本事件发生的可能性是相等的。满足上述特点的试验模型称为等可能性模型，这类模型在概率论的发展初期是重要的研究对象，因此称为古典概型。定义2如果古典概型中的所有基本事件的个数为n，事件A包含的基本事件的个数为m，则事件A的概率为

2025/1/1519概率论与数理统计1.2.2概率的古典定义例某年级有6名同学都是9月出生的，求这6人中没有任何2人在同一天过生日的概率。解9月共有30天，每个人生日都可以是30天中的任一天，故基本事件总数为。设A表示“6人中没有任何2人在同一天过生日”，则A含有个基本事件，因此所求概率为2025/1/1520概率论与数理统计1.2.3几何概率

如左图所示,关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量m(g)(面积)与G的度量m(G)(面积)之比，即，并称为几何概率。

2025/1/1521概率论与数理统计1.2.3几何概率例

两人相约8点到9点之间在某地会面，先到者等候20分钟(1/3小时)后即离去，试求此两人能会面的概率。

解

设(x,y)分别表示两人到达的时刻。由题设，两人到达时刻是8点到9点之间(即1小时之内)，故(x,y)点必落在边长为1的正方形区域G内，而两人能会面的点所在的区域g为如左图所示的影印面积。所求概率为2025/1/1522概率论与数理统计1.2.4概率的公理化定义

定义设E是一个随机试验，为它的基本事件空间。以E中所有的随机事件(或的全体子集)组成的集合为定义域，定义一个函数P(A)(其中A为任一随机事件)，且P(A)满足以下三条公理，则称函数P为事件A的概率。公理10≤P(A)≤1；公理2；公理3若两两互斥，则=2025/1/1523概率论与数理统计1.3概率的加法公式定理1若事件A与B互不相容，则

定理2(两个随机事件的加法公式)对于任意两个事件A与B(不要求A，B互不相容)有2025/1/1524概率论与数理统计1.3概率的加法公式例某企业生产的电子产品分一等品、二等品与废品三种，如果生产一等品的概率为0.8，生产二等品的概率为0.19，问生产合格品的概率是多少？解

设A=“生产的是一等品”，B=“生产的是二等品”，A+B则表示“生产的是合格品”。因为A,B互斥，所以

2025/1/1525概率论与数理统计1.4条件概率与乘法公式1.4.1条件概率

定义设A，B是两个随机事件，且P(B>=0)，则在B事件已发生的条件下，事件A发生的条件概率定义为例设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，某个这种动物现龄20岁，问它能活到25岁的概率是多少？解设A=“能活到20岁”，B=“能活到25岁”。因为“能活到25岁”一定“能活到20岁”，所以。由条件概率的定义式得

2025/1/1526概率论与数理统计1.4条件概率与乘法公式1.4.2概率的乘法公式由条件概率的定义可得重要的乘法公式。若，则

若，则

它表明：两个事件同时发生的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概率的乘积。利用条件概率去计算乘积事件的概率，这在概率计算中有广泛的应用。

2025/1/1527概率论与数理统计1.5全概率公式与贝叶斯公式

1.5.1全概率公式

定理设为一个完备事件组，且则对任意事件B，有例12个不同号码中有2个号码为有奖号码，甲从中抽取1个号码后，不放回，由乙从剩余的号码中任取1个号码，求乙抽到中奖号码的概率。解

设“甲抽到有奖号码”，“甲抽到无奖号码”，B=“乙抽到有奖号码”，则由全概率公式有

2025/1/1528概率论与数理统计1.5.2贝叶斯(Bayes)公式

定理(贝叶斯公式)设是一个完备事件组，且，则有公式

2025/1/1529概率论与数理统计1.5.2贝叶斯(Bayes)公式例已知一批零件是由甲、乙、丙3名工人生产的。3人的产量分别占总量的20%、40%和40%。若已知3人的次品率分别为各自产量的5%、4%和3%，现任意抽取1个零件检验。若已知取到的是次品，问它是甲工人生产的概率是多少？解设B=“取到的零件是次品”，分别表示取到的零件是甲、乙、丙工人生产的，则按贝叶斯公

=

=2025/1/1530概率论与数理统计1.6事件的独立性与贝努里概型

1.6.1事件的独立性

定义

如果事件B的发生与否不影响事件A发生的概率，即P(A/B)=P(A)，则称事件A对事件B是独立的。否则就是不独立的。定理1若事件A对事件B是独立的，则事件B对事件A也是独立的。定理2事件A与B独立的充要条件是。定理3若四对事件A与B；A与；与B；与中有一对独立，则另外三对也独立。

2025/1/1531概率论与数理统计1.6.1事件的独立性定义如果有

则称事件A,B,C相互独立。显然，当相互独立时，有

2025/1/1532概率论与数理统计1.6.1事件的独立性例设某型号的高射炮，每一门炮(发射一发炮弹)击中飞机的概率为0.6。现若干门炮同时发射(每炮发射一发炮弹)。问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机，至少需配置几门高射炮？解

设n是以99%的概率击中敌机需配置的高射炮门数。令

“第门炮击中敌机”，;A=“敌机被击中”，则

因为,且是相互独立的，所以2025/1/1533概率论与数理统计1.6.1事件的独立性

===因此，不等式(1-5)就化为≥0.99由此得n≥

故至少需配置6门高射炮方能以99%以上的把握击中来犯的敌机。

2025/1/1534概率论与数理统计1.6.2贝努里概型

定义

在完全相同的条件下重复进行n次试验，如果每次试验的结果互不影响，即每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，则称这n次重复试验为重n独立试验。特别地，如果每次试验只有两个对立的结果，即事件A和,且,则称这n重独立试验为重n贝努里试验，或贝努里概型。

2025/1/1535概率论与数理统计1.6.2贝努里概型定理如果在n