2025届天津市塘沽一中高三数学上学期第三次月考试卷附答案解析

届天津市塘沽一中高三数学上学期第三次月考试卷一、单选题（本大题共9小题）1．设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．2．若数列为等比数列，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．若，，，则（

）A． B． C． D．4．函数的部分图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

5．下列说法正确的是（

）A．若随机变量，，则B．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5C．将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变D．设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强6．把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后向左平移一个单位长度，得到函数y=gx.当时，函数y=gx的图象与直线交点个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，依此类推．设，，，…，，则等于（

）A． B． C． D．8．如图，AB，CD分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为（

）A． B． C． D．9．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题）10．复数满足，则．11．的展开式中常数项为.（用数字作答）12．若直线l:与抛物线:相切于点，则以点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的标准方程为．13．某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲､乙两人为一组参加比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲､乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为.14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如左图).已知正方形的边长为4，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点(如右图).若点位于半圆弧AD的中点，的值为;若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是

15．已知，，若有两零点、，且，则的取值范围是.三、解答题（本大题共5小题）16．已知的内角的对边分别为，且.(1)求的大小：(2)若，（i）求的面积；（ii）求.17．如图，在多面体中，，，，平面，，，.(1)求证：直线平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离.18．已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，点、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆上顶点的直线交椭圆于点，且，求直线的方程;(3)直线、过右焦点，且它们的斜率乘积为，设、分别与椭圆交于点、和、.若、分别是线段和的中点，求面积的最大值.19．设为常数，若存在大于1的整数，使得无穷数列满足，则称数列为“数列”.(1)设，若首项为1的数列为“(3)数列”，求；(2)若数列为“数列”，且，求出相应的的值及；(3)设，若首项为1的数列为“数列”，求数列的前项和.20．已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数存在正零点，（i）求的取值范围；（ii）记为的极值点，证明：.

参考答案1．【答案】C【详解】因为，，所以，所以．故选：C.2．【答案】A【详解】因数列为等比数列，不妨设公比为，则，由可得，故，而，由知，当且仅当时取等号，而，故，此时，故“”是“”的充分条件；由可得，则，而，故不一定能得到.如时，满足，但是，故“”不是“”的必要条件.即“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．【答案】D【详解】因为,所以为减函数，所以，即.因为,所以为增函数，所以，即.因为,所以为增函数，所以，即，所以．故选：D4．【答案】C【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.【详解】由题可知，的定义域为，又因为，所以，为偶函数．当时，，当时，，当时，.故选C．5．【答案】C【详解】A.因为随机变量，所以，因为，所以，则，所以，故错误；B.数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5.5，故错误；C.设一组数据为，则平均数为，方差为，将数据中的每一个数据加上同一个常数后为，则平均数为，方差为，，所以将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变，故正确；D.设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强，故错误；故选：C6．【答案】B【详解】由题意，时，，注意，由得，或，即或，因此的图象与直线有两个交点，故选：B7．【答案】B【分析】根据给定条件，结合等腰直角三角形的性质可得数列为等比数列，进而求出.【详解】依题意，数列的相邻两项分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰，即，因此数列是首项，公比的等比数列，，所以.故选：B8．【答案】C【详解】分别取上下底面的圆心为，连接，则，因为，所以，且，所以平面，设圆柱上底面圆的半径为,则，三棱锥的体积为,解得，该圆柱的侧面积为，故选：C.9．【答案】B【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，显然有，，，因此，，在，，即，解得，即，在中，，即，解得，所以E的离心率为.10．【答案】【详解】由题意得，∴．11．【答案】84【详解】根据通项公式,令,解得,所以,故答案为:84.12．【答案】【详解】,,故切点为,到准线的距离为,故半径为,圆的方程为.13．【答案】【分析】设相应事件，结合题意分析相应事件的概率，结合全概率公式求；结合条件概率求.【详解】设“第次是甲投篮”为事件，“投篮命中”为事件B，由题意可知：，，则，所以第2次投篮的人是甲的概率为；且在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为.故答案为：；.14．【答案】−8【详解】当位于半圆弧中点时，，而，所以，，．以为建立平面直角坐标系，如图，由已知，因此半圆弧的方程为（在直线上方的部分），在半圆弧（包括端点）上，则，，，又，所以，由对称轴，当在半圆弧（包括端点）上时，，同理当在半圆弧（包括端点）上时有，在半圆弧（包括端点）上时有，综上，，故答案为：；．

15．【答案】【详解】由可得，等式两边同除以，可得.令，可得，即，设，①当时，作出函数与函数的图象如下图所示，若使得两个函数的图象有两个交点，则，解得，且，由，解得，由，解得，，不合乎题意；②当时，作出函数与函数的图象如下图所示，，此时两个函数图象没有交点，不合乎题意；③当时，则，两个函数图象没有交点，不合乎题意；④当时，作出函数与函数的图象如下图所示，此时，两个函数的图象有两个交点，且，（i）若，即时，由，解得，由，解得，，合乎题意；（ii）若时，则，则，不合乎题意；（iii）当，即时，由，可得，由，可得，此时，不合乎题意.综上所述，的取值范围是.故答案为：.16．【答案】(1)；(2)（i）；（ii）.【详解】（1）因为，所以，即，则，因为，所以，所以，所以；（2）（i）由余弦定理得，即，解得（舍去）或，所以的面积为；（ii）由上可得，又，所以，所以，，所以.17．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）因为，平面，平面，所以，所以，，两两垂直，则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的法向量，则，令，得，所以，则，又因为平面所以直线平面.（2）由，得，，设平面的法向量为，则，令得，所以则平面与平面夹角的余弦值为（3）由于，平面的法向量，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为18．【答案】(1)(2)或(3)【详解】（1）由题意，因为、，为直角三角形，所以，又因为，，解得，，所以椭圆的标准方程为.（2）易知点F1−1,0，，且，则，所以，直线的方程为，联立，解得或，即点A0,−1或，当点的坐标为时，直线的方程为；当点的坐标为时，，此时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.（3）由题意，F2

设直线的方程为y=kx−1，其中，、，则直线的方程为，、，联立可得，由韦达定理可得，，所以，，，所以，同理可得，，所以，点，即的中点为，所以，当且仅当时，即当时取等号，所以的面积最大值为.19．【答案】(1)3;(2)答案见解析(3).【详解】（1）由题意知，，，因此数列中，从第4项起，每隔3项重复出现，有，所以，（2）因为数列为“数列”，所以，所以，又，所以，所以，，，两相减得：，所以，（3）依题意，，，数列为“数列”，则，是公差为1的等差数列，所以，当时，而，因此数列是以19为首项，2为公比的等比数列，则，令，则，所以所以数列的前项和为，20．【答案】(1)单调递减区间是，无单调递增区间；(2)（i）；（ii）证明见解析.【分析】（1）借助导数的正负即可得函数的单调性；（2）（i）求导后借助导数分、及讨论函数的单调性，再结合零点的存在性定理计算即可得；（ii）利用零点定义与极值点定义可得，代入计算可得，再借助时，，即可得，再计算并化简即可得.【详解】（1）由已知可得的定义域为，且，因此当时，，从而f'x<0所以的单减区间是，无单增区间；（2）（ⅰ）由（1）知，，令，当时，单