高中数学第一章立体几何初步7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课件北师大

7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积第一章

§7简单几何体的面积和体积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体＝____S—柱体底面积，h—柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体＝_____S—锥体底面积，h—锥体的高台体圆台、棱台V台体＝_____________________S上、S下

—台体的上、下底面面积，h—高Sh(S上＋S下＋)hSh知识点二柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系[思考辨析判断正误]1.锥体的体积等于底面面积与高之积.(

)2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(

)×√题型探究例1如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝

PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；类型一多面体的体积证明证明

由题知四边形PDAQ为直角梯形.因为QA⊥平面ABCD，QA

平面PDAQ，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.则PQ⊥QD.又DC∩QD＝D，DC，QD

平面DCQ，所以PQ⊥平面DCQ.(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值.解答解设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高.故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.反思与感悟求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解.(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.跟踪训练1如图，在三棱柱

中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面

将三棱柱分成体积为

的两部分，那么

＝________.解析答案7∶5解析

设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，类型二旋转体的体积例2体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，求截得这个圆台的圆锥的体积.解答解

由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27.截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26，∴小圆锥的体积为2cm3，故原来圆锥的体积为54cm3.反思与感悟要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答.(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解.(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键.跟踪训练2设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为____.21π答案解析解析设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，＝21π.∴圆台的体积为21π.类型三几何体体积的求法命题角度1等体积法例3如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.解答解

又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，反思与感悟

(1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理.(2)利用等体积法可求点到面的距离.跟踪训练3

如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1－ABD中，求A到平面A1BD的距离d.解答解

在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，命题角度2割补法例4

如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积.解答解如图，连接EB，EC，AC.四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝

×42×3＝16.因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF.所以该多面体的体积V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20.反思与感悟通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择.跟踪训练4如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积.解答解

用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.达标检测1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为12345答案解析√12345答案解析√解析

设圆锥的底面半径为r，母线长为l，解得r＝4.12345233.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是A.18＋6 B.6＋2C.24 D.18451答案√解析4.已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________.解析设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π.∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π.∴l＝2，答案解析234515.如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降____cm.234510.6答案解析23451解析将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积.设水面下降的高度为xcm，则得x＝0.6cm.1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VA－BCD，h＝