安徽省高二联考数学试卷

安徽省高二联考数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=\frac{x}{x^2-1}$的定义域为$D$，则$D$的取值范围为（）

A.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

B.$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$

C.$(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$

D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\cup\{0\}$

2.若$a>0$，$b>0$，$a+b=2$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的最小值为（）

A.$2$

B.$\frac{3}{2}$

C.$\frac{4}{3}$

D.$2\sqrt{2}$

3.在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_5=13$，则数列的前$10$项和$S_{10}$等于（）

A.$100$

B.$110$

C.$120$

D.$130$

4.下列函数中，$y=\sqrt{x-1}$的定义域为（）

A.$[0,+\infty)$

B.$(-\infty,0]\cup[1,+\infty)$

C.$(-\infty,1)\cup[1,+\infty)$

D.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

5.若复数$z=a+bi(a,b\inR)$满足$|z-1|+|z+1|=4$，则实数$a$的取值范围为（）

A.$[-2,2]$

B.$[-3,3]$

C.$[-4,4]$

D.$[-5,5]$

6.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$，则$f(x)$的零点个数为（）

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

7.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=0$的对称点$B$的坐标为（）

A.$(-3,-2)$

B.$(-2,-3)$

C.$(-3,2)$

D.$(2,-3)$

8.若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公比$q=3$，则数列的前$6$项和$S_6$等于（）

A.$56$

B.$72$

C.$108$

D.$162$

9.若函数$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$的图像与直线$y=2$有$3$个交点，则实数$a$的取值范围为（）

A.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$

B.$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$

C.$(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$

D.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\cup\{4\}$

10.若复数$z=a+bi(a,b\inR)$满足$|z-1|+|z+1|=4$，则实数$a$的取值范围为（）

A.$[-2,2]$

B.$[-3,3]$

C.$[-4,4]$

D.$[-5,5]$

二、判断题

1.在直角坐标系中，若点$(1,0)$和$(0,1)$是圆$x^2+y^2=r^2$上的两点，则该圆的半径$r=1$。（）

2.函数$y=\log_2(x+1)$在定义域内是增函数。（）

3.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$2$，则该数列是等比数列。（）

4.若复数$z=a+bi(a,b\inR)$满足$|z-1|+|z+1|=4$，则$z$在复平面上对应的点在以$(0,1)$和$(1,0)$为端点的线段上。（）

5.若函数$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$的图像与直线$y=2$有$3$个交点，则$f(x)$在实数域内有两个极值点。（）

三、填空题

1.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，公差$d=3$，则第$10$项$a_{10}=$______。

2.函数$y=\frac{1}{x^2-1}$的图像上，与直线$x+y=0$垂直的点的坐标为______。

3.复数$z=a+bi(a,b\inR)$的模长$|z|$等于______。

4.若函数$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$在$x=1$处有极值，则该极值点为______。

5.在直角坐标系中，圆心在原点，半径为$\sqrt{2}$的圆的方程为______。

四、简答题

1.简述等差数列和等比数列的定义，并举例说明。

2.请简述二次函数图像的对称轴和顶点的坐标如何确定。

3.如何判断一个函数在某个区间内是增函数还是减函数？

4.简述复数乘法的几何意义。

5.请简述如何求一个函数在给定区间内的最大值或最小值。

五、计算题

1.计算下列极限：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}$$

2.解下列不等式：

$$2x^2-5x+3>0$$

3.已知函数$f(x)=\frac{3x+1}{x^2+x-6}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。

4.计算三角形的三边长为$3$，$4$，$5$的面积。

5.已知复数$z_1=2+3i$，$z_2=1-4i$，求$z_1z_2$和$z_1/z_2$。

六、案例分析题

1.案例背景：某班级学生参加数学竞赛，成绩分布如下表所示：

|成绩区间|人数|

|----------|------|

|60-70|5|

|70-80|10|

|80-90|15|

|90-100|10|

案例分析：请根据上述数据，分析该班级学生的数学成绩分布情况，并给出改进学生数学成绩的建议。

2.案例背景：某学校计划在假期组织学生进行社会实践活动，活动内容涉及环保、科技、文化等多个方面。学校希望通过这次活动，提高学生的综合素质和团队协作能力。

案例分析：请根据案例背景，设计一个具体的社会实践活动方案，包括活动主题、活动内容、活动形式、预期效果等。同时，分析可能遇到的困难和解决策略。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，每件产品的生产成本为100元，销售价格为150元。由于市场竞争，销售价格每增加10元，产品的销量增加100件。问：为了使利润最大化，该工厂应该将销售价格提高多少元？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$x$、$y$、$z$，其体积为$V=xyz$。如果长方体的表面积为$S=2xy+2xz+2yz$，求证：$V^2\geq3S^2$。

3.应用题：一个圆锥的底面半径为$r$，高为$h$。若圆锥的体积为$V=\frac{1}{3}\pir^2h$，求圆锥的侧面积$S$关于$r$和$h$的关系式。

4.应用题：某公司计划投资一个项目，有两种投资方案。方案一：投资$10000$元，预计年收益率为$5\%$；方案二：投资$20000$元，预计年收益率为$4\%$。若公司希望在5年内获得的总收益至少为$12000$元，问：公司应该选择哪种投资方案？请列出计算公式并求解。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.B

3.A

4.C

5.A

6.B

7.A

8.B

9.C

10.B

二、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空题

1.$a_{10}=2+9d=2+9\times3=29$

2.$(-1,1)$

3.$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

4.极值点为$x=1$

5.$x^2+y^2=2$

四、简答题

1.等差数列：从第二项起，每一项与它前一项之差等于常数$p$的数列叫做等差数列。等比数列：从第二项起，每一项与它前一项之比等于常数$q$的数列叫做等比数列。

2.二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。

3.若函数在某个区间内导数恒大于$0$，则函数在该区间内是增函数；若导数恒小于$0$，则函数在该区间内是减函数。

4.复数乘法的几何意义是将两个复数表示为平面上的点，乘法操作相当于将这两个点连成的向量绕原点逆时针旋转相应的角度，并按照比例缩放。

5.函数在某个区间内的最大值或最小值可以通过求导数来找到。若导数为$0$，则可能是极值点；若导数不存在，则可能也是极值点。

五、计算题

1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}=-\frac{1}{6}$

2.$2x^2-5x+3>0$的解集为$x<\frac{3}{2}$或$x>1$。

3.$f'(x)=\frac{3}{(x^2+x-6)^2}$

4.三角形面积为$\frac{1}{2}\times3\times4\times\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

5.$z_1z_2=(2+3i)(1-4i)=10-5i$，$z_1/z_2=\frac{2+3i}{1-4i}=\frac{(2+3i)(1+4i)}{1+16}=\frac{17}{17}+\frac{12}{17}i$

知识点总结：

-函数的定义域、值域和性质

-导数和微分

-极限的计算

-不等式的解法

-二次函数的图像和性质

-复数的代数形式和几何意义

-等差数列和等比数列的性质

-三角形的面积和周长

-复数的乘法和除法

-应用题的解决方法

各题型所