八年级数学下册第一部分基础知识篇第5课一元二次方程的应用一元二次方程例题课件浙教版

例1.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．重点中学与你有约解题技巧一读关键词：一元二次方程的实际应用，矩形面积公式二联重要结论：根据矩形的面积公式建立一元二次方程.重要方法：数形结合三解解：四悟应用一元二次方程解决实际问题时要检验方程的根是否符合实际情况.设AB为xm，则BC为（50﹣2x）m，例1.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．根据题意得方程：x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10时BC=50﹣2x=30＞25（不合题意，舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC长为20米的矩形举一反三思路分析:根据可以砌100m长的墙的材料，即总长度是100米，AB=x米，则BC=（100﹣2x）米，再根据矩形的面积公式得出函数关系式，进而得出最值.学校准备在校园里利用围墙的一段，围成一个矩形植物园．如图所示：现已备足可以砌100米长的墙的材料，请设计一种能使围成面积最大的砌墙方法．失误防范一元二次方程解应用题的基本步骤：审题；找已知量和未知量及等量关系；设未知量；用所设未知数字母的代数式表示其他的相关量；列方程；解方程；检验.例2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？重点中学与你有约解题技巧一读关键词：一元二次方程的实际应用，解方程二联重要结论：用一元二次方程解决增长类问题.重要方法：列方程求解三解解：四悟建立数学模型，读懂题意，正确列出方程是解题的关键.（1）设每轮传染中平均每人传染了x个人，根据题意得1+x+x（x+1）=64，解得：x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了7个人（2）64×7=448答：第三轮将又有448人被传染例2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？举一反三思路分析:设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，问经过三轮传染后共有多少个人患流感？失误防范一元二次方程应用于传染类问题：解答此题的关键是找出题目中蕴含的数量关系：1个人传染x人，第一轮有（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，n轮共传染（x+1）n人．此类问题首先建立数学模型，利用一元二次方程来解决问题.读懂题意，正确列出方程是解题的关键.例3.小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？请说明理由．重点中学与你有约解题技巧一读关键词：一元二次方程的实际应用，列方程求解二联重要结论：用一元二次方程解决几何类问题.重要方法：列方程求解三解解：四悟解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（10﹣x）cm，由题意得x2+（10﹣x）2=58，解得：x1=3，x2=73×4=12，4×7=28.所以小林应把绳子剪成12cm和28cm的两段.（2）假设能围成.由（1）得x2+（10﹣x）2=48化简得x2﹣10x+26=0因为b2﹣4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0所以此方程没有实数根，所以小峰的说法是对的举一反三思路分析:根据弧长等于半径的扇形称为“等边扇形”，得出扇形半径长，再利用扇形面积公式求出即可.我们知道，三条边都相等的三角形叫等边三角形．类似地，我们把弧长等于半径的扇形称为“等边扇形”．小明准备将一根长为120cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个“等边扇形”．小明想使这两个“等边扇形”的面积之和等于625cm2，他该怎么剪？举一反三失误防范一元二次方程应用于面积问题：（1）根据面积之和列出一元二次方程，求解；（2）根据两正方形的面积之和得一元二次方程，再根据方程有没有实数解判断说法是否正确；解决此类问题的关键是理清题目中的数量关系，根据相等关系列出一元二次方程，解方程.例4.菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植规模，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．重点中学与你有约解题技巧一读关键词：销售，打折，更优惠.二联重要结论：一元二次方程的应用，增长率问题.重要方法：列方程求解三解解：（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意得，5（1﹣x）2=3.2．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8，因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5=15000（元）．∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．四悟在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系是解答本题的关键.举一反三果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）求李明平均每次下调的百分率；（2）小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由．举一反三思路分析:（1）设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6列出一元二次方程求解即可；（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．答案：（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得15（1﹣x）2=9.6．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小刘选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000=25920（元），方案二所需费用为：9.6×3000﹣400×3=27600（元）．∵25920＜27600，∴小刘选择方案一购买更优惠．失误防范1.常见题型--利润赢亏问题：

销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等

有关关系式：商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价

商品售价=商品标价×折扣率

存款利率问题：利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

利息税=利息×税率（20%）失误防范2.解答此类问题需要注意的事项：列一元二次方程解应用题首先，要适当地假设未知数，这一步非常关键，往往影响后面解方程的计算量；再仔细分析题意，列出方程，解方程，得到方程的解；这时一定要注意检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的解要舍去；最后答题.对于带有单位的应用题，在假设、答题中要带着单位，中间过程不需要单位.例5.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？重点中学与你有约解题技巧一读关键词：销售，降低，获利.二联重要结论：一元二次方程的应用，增长率问题.重要方法：列方程求解三解解：（1）设每千克核桃应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．化简得x2﹣10x+24=0解得x1=4，x2=6．答：每千克核桃应降价4元或6元．（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．

此时，售价为：60﹣6=54（元），

%=90%.

答：该店应按原售价的九折出售．四悟根据题目中的等量关系列出方程是解答本题的关键.举一反三商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？举一反三思路分析:（1）不降价时，利润=不降价时商品的单件利润×商品的件数．（2）可根据：降价后的单件利润×降价后销售的商品的件数=2160，来列出方程，求出未知数的值，进而求出商品的售价．答案：（1）若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100﹣80）=2000（元）．（2）设后来该商品每件降价x元，依题意，得（100﹣80﹣x）（100+10x）=2160，即x2﹣10x+16=0．解得x1=2，x2=8．当x=2时，售价为100﹣2=98（元），当x=8时，售价为100﹣8=92（元）．故商店经营该商品一天要获利润2160元时，每件商品应售价应为98元或92元．失误防范1.销售问题：单件利润×销售的商品的件数=总利润．2.增长率问题：这种增长率(或降低率)的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式，正确解答此类问题的关键是掌握好此类问题中的等量关系的确定方法：在存在基础量a的前提下，若连续增长（或降低）n次，且平均增长（或降低）率为x，则增长后的数量为a(1+x)n（或降低后的数量为a(1－x)n），要特别注意1与x的位置不要调换.例6.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6，点P从A开始沿AC边向C点以1m/s的速度移动，同时Q点从C沿边CB以2m/s的速度向点B移动，设移动时间为ts．请解答下列问题：（1）出发几秒后，PQ=3？（2）在运动过程中，线段PQ能否把△ABC面积平分？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．重点中学与你有约解题技巧一读关键词：△ABC，点移动.二联重要结论：一元二次方程的应用，勾股定理的应用，三角形的面积.重要方法：列方程求解三解解：（1）设经过t秒，PQ=3，则CP=3﹣t，CQ=2t，∵PQ=3，∴32=（3﹣t）2+4t2解得：t=0（舍去）或t=即经过

秒，PQ=3．（2）设经过t秒线段PQ把△ABC面积平分，S△PCQ=×2t（3﹣t）=，整理得：2t2﹣6t+9=0∵b2﹣4ac=36﹣4×2×9＜0，∴在运动过程中，线段PQ不能把△ABC面积平分．四悟根据三角形的面积公式列出一元二次方程是解答本题的关键.举一反三如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积等于16cm2？举一反三思路分析:

本题中根据直角三角形的面积公式和路程=速度×时间进行求解即可．答案：设x秒钟后，△PBQ的面积等于16cm2，其中0＜x＜6，由题意可得：4x（12﹣2x）÷2=16，解得x1=2，x2=4，经检验均是原方程的解．答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．失误防范1.一元二次方程与几何运动问题：动态几何图形中边长的表示：（1）题设运动时间为t，表示出动点有关边长；（2）再通过几何性质表示出其他边长；（3）满足题中要求建立方程.动态图形中面积问题：（1）题设运动时间为t，表示出动点有关边长；（2）再通过几何性质表示出其他边长；（3）根据面积建立方程.失误防范2.几何动点问题解题技巧：（1）关键——以静代动

把动的点进行转换,变为线段的长度,（2）方法——时间变路程

求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也是求线段的长度;（3）常找的数量关系——面积，勾股定理等由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,是解这类问题的关键.

例7.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为

万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）重点中学与你有约解题技巧一读关键词：销售，返利，盈利.二联重要结论：一元二次方程的应用，销售问题.重要方法：列方程求解三解解：（1）27﹣0.2=26.8；（2）设需要销售出x部汽车，可盈利12万元，①当销售10部以内（含10部）时，依题意可得[28﹣27+0.1（x﹣1）]x+0.5x=12，可化为x2+14x﹣120=0，解得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=6，∴当销售6部汽车，当月可盈利12万元，②当销售10部以上时，依题意可得[28﹣27+0.1（x﹣1）]x+x=12，，可化为x2+19x﹣120=0，解得x1=5，x2=﹣24，均不合题意，应舍去，答：当销售6部汽车，当月可盈利12万元．四悟读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键．举一反三小王在某校门口开了一家书包专卖店．该店采用厂家铺货方式经营，即先销售后结帐．在一定销售数量内，每个书包的进价与销售量有如下关系：若当月销售量不超过50个，则每个书包进价为2