高二【数学(人教A版)】用空间向量研究直线、平面的的位置关系(3)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA009学科数学年级高二学期上学期课题用空间向量研究直线、平面的位置关系（3）教科书书名：选择性必修第一册数学（A版）出版社：人教社出版日期：年月教学人员姓名单位授课教师李健北京景山学校指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理．教学重点：用向量方法解决空间图形的垂直问题．教学难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，把立体几何问题转化为空间向量问题．教学过程时间教学环节主要师生活动今天我们继续来学习用空间向量研究直线、平面的位置关系.上节课，我们讨论了空间中直线、平面平行的向量表示并用它们解决了立体几何中的一些平行问题.我们先回顾一下.问题1:由直线、平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量有什么关系呢？类似地，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量与平面的法向量之间有什么关系？本节课，我们就研究这些内容.问题2：由直线与直线的垂直关系，可以得到这两条直线的方向向量间有什么关系？如图，设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线垂直，那么它们的方向向量一定垂直；反过来，如果两条直线的方向向量垂直，那么这两条直线也垂直.又由向量的数量积运算，可以得到问题3：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系？如图，设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量.如果，根据直线的方向向量和平面的法向量的定义可知，u//n；反过来，如果u//n，那么.又由向量共线定理可知，问题4：由平面与平面的垂直关系，可以得到两个平面的法向量间有什么关系？如图，设n1，n2分别是平面的法向量.由法向量的定义可知，如果两个平面垂直，那么它们的法向量一定垂直；反过来，如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直.由向量的数量积运算，可以得到追问：前面的学习中，我们深刻感受到向量运算的作用.你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”“因为有了运算，向量的威力无限”的说法吗？我们知道，向量能够表示空间中的点、直线、平面，但是空间图形的位置关系，还有今后要学的距离、角度等度量问题，都可以通过向量的运算来研究的.例如，直线与直线垂直可以用其方向向量的数量积为0表示，即l⊥m等价于a﹒b＝0．这样我们就可以通过向量运算研究空间图形的位置关系．因此我们说向量的作用是通过其运算来体现的．如果没有运算，那么向量仅能表示空间中的点、直线和平面，只是“路标”，无法获得空间图形的几何性质．下面我们看一个例题，这个例题是前面我们学习的一个判定定理，当时没有给出证明.例1：证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.定理的条件和结论都很清楚，为了证明的方便和简介，我们用符号语言、图形语言表示这个定理中用自然语言表达的条件和结论.已知：如图，求证：.这个判定定理我们上学期学习立体几何的时候学过，当时没有给出证明.因为用面面垂直的定义证明这个判定定理，要用两个平面所成的二面角，有一定的难度.现在我们有了空间向量这个工具，可以尝试用平面的法向量来证明，完善立体几何中定理的学习.分析：要用向量法证明两个平面是垂直的，就是要证明这两个平面的法向量是互相垂直的，设平面的法向量为n.根据已知条件，所以l的方向向量u就是平面的法向量.要证明α⊥β，就是要证明n⊥u，而直线l恰好是平面内的一条直线，平面的法向量为n，根据法向量的定义，它垂直于平面内任意一条直线的方向向量，所以l的方向向量u与n垂直，也就是说，平面的法向量与平面的法向量垂直.所以，这两个平面垂直.证明：取直线l的方向向量为u，平面的法向量为n.因为，所以u是平面的法向量.因为，而n是平面的法向量，所以.即平面的法向量互相垂直.所以.例题小结：在本例中，我们体会到了，要解决立体几何中面面垂直问题的时候，可以转化为证明这两个平面的法向量的垂直关系，再将向量运算的结果“翻译”为几何结论.用向量法证明两个平面的垂直关系回避了找这两个平面的二面角，利用向量运算容易判定向量的位置关系，从而确定两个平面的位置关系.这也是用向量法判定立体几何问题中图形位置关系的通性通法.当题目中有明显的线面垂直关系时，我们要利用好直线的方向向量作为平面的法向量，引入的符号越少越好，解决问题就越方便.当没有明显的线面垂直关系时，我们再去设这个平面的法向量.下面我们再来看一个问题.例2：如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，.求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.分析：证明线面垂直，到目前为止，有两种方法：一种是应用上学期我们在必修里面学过的“线面垂直的判定定理”，即找到平面BDD1B1内的两条相交直线，都是与A1C垂直的,即可得到结论.而这个垂直关系也可以转化为两个向量的数量积为0来判断.另一种方法就是我们今天学习的通过判断直线的方向向量和平面的法向量是平行的来证明.第一种方法我们比较熟悉，留给大家课后作为练习，我们现在考虑用第二种方法证明.刚刚我们说过，为了证明线面垂直，只需要证明直线的方向向量和平面的法向量是平行的.或转化为证明直线的方向向量就是平面的法向量.由于本题的前提条件是在平行六面体中考虑问题，没有明显的垂直关系，这个时候我们就不能像上节课的例题一样，通过建系，写点的坐标，表示向量的坐标，再通过向量运算的的坐标表示求解.由于平行六面体中由一个顶点A出发的三条棱有相应的长度和夹角关系，所以我们可以用作为这个空间的基底，用这三个基向量表示空间中的任意一个向量，再对向量进行运算，看看能否解决问题.证明：为了叙述方便，设，由于a，b，c是不在同一平面内的，则为空间的一个基底，且.因为AB=AD=AA1=1，，所以a2=b2=c2=1，.在平面BDD1B1上，取向量BD，向量BB1为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对，使得.所以，所以是平面BDD1B1的法向量.所以.例题小结：前面我们讲过，判断直线与平面垂直，可以转化为判断直线的方向向量与平面的法向量平行，或证明直线的方向向量就是平面的法向量，两者是一致的.此时，我们可以结合平面的向量表示和直线的方向向量与平面内任意向量的数量积为0，得到结论.值得注意的是，我们是利用基向量进行计算，而不是利用向量运算的坐标表示进行运算，这种方法比坐标法具有一般性.当问题中没有明显的线线垂直关系时，即不具备建系的条件时，我们可以考虑寻找一组适当的基底，用基向量来表示直线的方向向量和平面的法向量，再通过向量的运算解决问题.课堂小结：问题5：本节课我们主要学习了哪些知识内容？其中，u,u1,u2分别是直线l,l结合上节课直线、平面的平行关系：我们完成了用向量表示直线、平面的位置关系的学习.问题6：本节课的地位和作用是什么？通过本节课的学习，我们学会了用直线的方向向量和平面的法向量表示直线和平面，进行的向量运算，由运算结果研究向量的位置关系，再将所得的结果“翻译”为几何体中线面的位置关系.后续我们还会继续研究如何用向量及其运