【24七上】 期末复习之选择压轴题十六大题型总结

明思教育整理提供第页期末复习之选择压轴题十六大题型总结【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1数轴与绝对值的化简】 1【题型2有理数的运算】 2【题型3幻方与程序框图】 2【题型4有理数运算的应用】 4【题型5列代数式】 5【题型6代数式求值】 6【题型7整式加减与周长问题】 6【题型8一元一次方程的解】 8【题型9一元一次方程的应用】 8【题型10线段的和差】 10【题型11线段中的动点问题】 10【题型12角的计算】 11【题型13角中的旋转问题】 12【题型14新定义问题】 14【题型15规律探究】 15【题型16多结论问题】 15【题型1数轴与绝对值的化简】【例1】（23-24七年级·四川达州·期中）若ab≠0，则a|a|+bA．1和3 B．−1和3 C．1和−3 D．−1和−3【变式1-1】（23-24七年级·广东广州·期末）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（）

A．1 B．1.5 C．2.5 D．2【变式1-2】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点，如果a+b−a−2c+b−2c−

A．A的左边 B．A与C之间 C．C与B之间 D．B的右边【变式1-3】（23-24七年级·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若a−2=18，且3a−c=A．﹣6 B．2 C．8 D．9【题型2有理数的运算】【例2】（23-24七年级·广东东莞·期中）已知ab−2和a−1是一对互为相反数，1ab+1A．12020 B．12021 C．20212022【变式2-1】（23-24七年级·上海宝山·期末）如果M=12×34×56⋯×A．M<N B．M=N C．M>N D．M【变式2-2】（23-24七年级·山西·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）对于正数x，规定fx=11+x，例如f4A．40432 B．4043 C．40412 【题型3幻方与程序框图】【例3】（23-24七年级·浙江温州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为（

）A．−4 B．−3 C．3 D．4【变式3-1】（23-24七年级·河南濮阳·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2018次输出的结果为()A．0 B．3 C．5 D．6【变式3-2】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）把1～9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于15，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中m的值为()．A．1 B．3 C．6 D．9【变式3-3】（23-24七年级·湖南长沙·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现−1，2，−2，−4，5，−5，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中a+b+c−d的值为（

）

A．−5 B．5 C．6 D．−6【题型4有理数运算的应用】【例4】（23-24七年级·浙江绍兴·期末）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（

）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种【变式4-1】（2024七年级·全国·专题练习）共享单车已经成为许多城市中的重要交通工具，在北京上班的李雷，周一到周五要骑共享单车在单位宿舍与办公室之间进行两个往返，每个单程用时10分钟；周末和节假日回家（连续假日时，只需往返一次），从宿舍到家单程骑行要50分钟．有W，Z，M，D四家共享单车公司，其收费规则如下表所示，其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一次计费．如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付费的角度，且只使用一个公司的单车，则李雷在2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）期间，用（

）公司的共享单车最划算（注：清明、端午各有三天假期，五一有五天假期）．公司计费付费优惠W1元/次没有Z1.5元/次周末和节假日骑行免费M1.5元/次每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计次连续骑行一周D1.5元/次每骑行付费一次，下次骑行免费A．W B．Z C．M D．D【变式4-2】（23-24七年级·福建厦门·期末）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动．套餐内容价格（元）优惠活动套餐A1张电影票＋1桶爆米花60消费满300元，减25元消费满600元，减60元套餐B1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币70若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（

）A．530元 B．540元 C．545元 D．550元【变式4-3】（2024七年级·全国·竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为4:2:1，甲容器5cm高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器3cm高度处有一根管子与丙容器相连通，且两根连通管相同．现在向甲容器匀速注水，记注水时间为t分钟，若t=5时，甲容器里的水开始流向乙容器．当乙容器里的水比丙容器里的水高1cm时，t

A．5.5 B．5.5或7.5 C．5.5或7 D．7或7.5【题型5列代数式】【例5】（23-24七年级·湖北孝感·期末）某轮船在静水中的速度为u千米/时，A港、B港之间的航行距离为S千米，水流速度为v千米/时．如果该轮船从A港驶往B港，接着返回A港，航行所用时间为t1小时，假设该轮船在静水中航行2S千米所用时间为t2小时，那么t1A．t1＜t2 B．t1＞t2 C．t1＝t2【变式5-1】（2024·安徽合肥·一模）某某市2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了x%，计划2020年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（

A．a3+3x%万元 B．C．a3+x%万元 D．【变式5-2】（23-24七年级·山东德州·期中）甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（

）A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯【变式5-3】（23-24七年级·山东青岛·单元测试）萱萱的妈妈下岗了，在国家政策的扶持下开了一家商店，全家每个人都要出一份力，妈妈告诉萱萱说，她第一次进货时以每件a元的价格购进了35件牛奶；每件b元的价格购进了50件洗发水，萱萱建议将这两种商品都以a+b2A．赚钱 B．赔钱C．不嫌不赔 D．无法确定赚与赔【题型6代数式求值】【例6】（2024·湖北武汉·二模）已知一列数的和x1+x2+⋅⋅⋅+x2023A．2 B．−2 C．3 D．−3【变式6-1】（23-24七年级·河北保定·期末）已知a+b=12，A．−1 B．0 C．3 D．9【变式6-2】（23-24七年级·全国·单元测试）已知m，n为常数，代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，则mn的值共有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式6-3】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）若m满足方程2019−m=2019+m，则m−2020等于（A．m−2020 B．−m−2020 C．m+2020 D．−m+2020【题型7整式加减与周长问题】【例7】（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，在长方形ABCD中放入一个大正方形AEFG和两个大小相同的小正方形H1I1J1K1及H2I2J2D，其中I1J1在边BC上，GF与K1J1A．S1+S2+S3 B．【变式7-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形ABCD内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（

）A．① B．② C．③ D．④【变式7-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（

）A．m+n B．m−n C．2m−n D．m+2n【变式7-3】（23-24七年级·江苏无锡·期末）将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）A．44 B．53 C．46 D．55【题型8一元一次方程的解】【例8】（23-24七年级·重庆·期末）已知关于x的方程x−2−ax6=A．−23 B．23 C．−34 D．34【变式8-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知关于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，关于y的一元一次方程b2023+2023c=−a的解是y=−2021（其中b和c是含有A．b=−y−1,c=y+1 B．b=1−y,c=y−1C．b=y+1,c=−y−1 D．b=y−1,c=1−y【变式8-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图，点C,D为线段AB上两点，AC+BD=9，且AD+BC=75AB，设CD=t，则方程3x−7A．x=2 B．x=3 C．x=4 D．x=5【变式8-3】（23-24七年级·全国·课后作业）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=ba；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程x3•a=x2﹣16（A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1【题型9一元一次方程的应用】【例9】（23-24七年级·全国·单元测试）实验室里，水平桌面上有半径相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，用两个相同的管子在容器的6cm高度处连通(即管子底端离容器底6cm)．现三个容器中，只有甲中有水，水位高2cm，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升56cmA．3 B．6 C．3或6 D．3或9.3【变式9-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点．．．若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后2分钟内，两人相遇的次数为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【变式9-2】（23-24七年级·湖北武汉·期中）下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数七年级12.543八年级10.533九年级7ab表格中a、b的值正确的是（

）A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2【变式9-3】（23-24七年级·河北沧州·期中）甲、乙两支同样的温度计如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数20正对着乙温度计的度数-10，那么此时甲温度计的度数-5正对着乙温度计的度数是（

）A．5 B．15 C．25 D．30【题型10线段的和差】【例10】（23-24七年级·重庆·期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧．若AB=2DE，线段DE在线段AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则

A．5 B．1714 C．1714或56【变式10-1】（23-24七年级·四川绵阳·期末）已知线段AB，点C在线段AB上，AB=mBC，反向延长线段AB至D，使BD=nAD，若m=3，BD:CD=11:8，则n的值为（

）A．53 B．74 C．116【变式10-2】（23-24七年级·河南驻马店·期末）有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M−P−N，若该折线M−P−N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A−C−B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=3,CE=4，则线段BC的长是（

）A．2 B．4 C．2或14 D．4或14【变式10-3】（23-24七年级·重庆江津·期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA:AP=2:3，OB:BP=3:7.若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（

）A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5【题型11线段中的动点问题】【例11】（23-24七年级·浙江宁波·期末）数轴上，点A对应的数是−6，点B对应的数是−2，点O对应的数是0.动点P、Q从A、B同时出发，分别以每秒3个单位和每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（

）A．PQ=2OQ B．OP=2PQ C．3QB=2PQ D．PB=PQ【变式11-1】（23-24七年级·河南驻马店·期末）线段MN=30，点A从点M开始向点N以每秒1个单位长度的速度运动，点B从点N开始以每秒2个单位长度的速度向点M运动，当MA=2AB时，t的值为（

）A．307秒 B．607秒 C．12秒 D．【变式11-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）如图，已知线段AB=a，线段CD=b，线段CD在线段AB上运动（点C、D始终在线段AB上），在CD的运动中，则图中所有线段的长度和是（

）A．2a+2b B．3a+b C．3a+2bD．随着CD位置的改变而发生变化【变式11-3】（23-24七年级·云南昆明·期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点.点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）.若点P在运动过程中，当PB=2时，则运动时间t的值为（

）A．32秒或72秒 B．32秒或72秒或C．3秒或7秒 D．3秒或132或7秒或17【题型12角的计算】【例12】（23-24七年级·浙江台州·期末）已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD=13∠COD，OE平分∠COD，设∠AOB=α，则∠BOE=A．516α或18α B．516α或16α【变式12-1】（23-24七年级·吉林长春·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，∠COD=13∠AOC，OE平分∠BOD，若∠COD=10°，则∠COEA．80° B．70° C．60° D．50°【变式12-2】（23-24七年级·河南驻马店·期末）如图，已知∠AOB=130°，以点O为顶点作直角∠COB，以点O为端点作一条射线OD．通过折叠的方法，使OD与OC重合，点B落在点B'处，OE所在的直线为折痕，若∠COE=15°，则∠AOB'

A．30° B．25° C．20° D．15°【变式12-3】（23-24七年级·江苏南通·期末）如图，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（

）A．∠1+∠2+∠3=90° B．∠1+∠2−∠3=90°C．∠2+∠3−∠1=90° D．∠1−∠2+∠3=90°【题型13角中的旋转问题】【例13】（23-24七年级·广西钦州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O,∠AOC=60°，一直角三角尺EOF的直角顶点与点O重合，OE平分∠AOC，现将三角尺EOF以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线CD也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40），当CD平分∠EOF时，t的值为（）A．2.5 B．30 C．2.5或30 D．2.5或32.5【变式13-1】（23-24七年级·河北保定·期中）如图，OC是∠BOD的平分线，OE是∠BOC内部一条射线，过点O作射线OA，在平面内沿箭头方向转动，使得∠AOB:∠BOE=3:2，若∠BOD=120°，∠COE=30°则∠AOC的度数为（

）A．15° B．105° C．15°或105° D．无法计算【变式13-2】（23-24七年级·山东聊城·期中）图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转；同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（0≤t≤90）．下列说法正确的是（

）A．整个运动过程中，不存在∠AOB=90°的情况B．当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t一定为20秒C．当t值为36秒时，射线OB恰好平分∠MOAD．旋转过程中，使射线OB是由射线OM，OA，ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线，这样的t值有两个【变式13-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）如图，已知O为直线AC上一点，以O为端点作射线OB，∠AOB=120°，将射线OA绕点O逆时针旋转，旋转速度为5°/s，旋转后OA对应射线为OA1，旋转时间为t秒，当OA1与OC重合时运动停止，射线OD为∠A1OB的角平分线，射线OE为∠COAA．193或28 B．203或28 C．203或80【题型14新定义问题】【例14】（23-24七年级·浙江湖州·期末）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为（A．94x或3x或92x B．94x或3x或9x C．94x或92【变式14-1】（23-24七年级·湖北恩施·阶段练习）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝2a−b,a≥ba−2b,a<b．如5*3＝2×5﹣3＝7，12*1＝12A．4 B．11 C．4或11 D．1或11【变式14-2】（23-24七年级·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数a、b，有a⊕b=2ab，则A．5338 B．1 C．120 【变式14-3】（23-24七年级·安徽滁州·期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“x←x+2”表示用x+2的值作为x的值输入程序再次计算．比如：当输入x=2时，依次计算作为第一次“传输”，可得2×2=4，4−1=3，32=9，9不大于2024，所以2+2=4，把x=4输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得4×2=8，8−1=7，……，若输入x=1，那么经过（

A．11 B．12 C．21 D．23【题型15规律探究】【例15】（23-24七年级·陕西西安·期中）对一组数(x ,  y)的一次操作变换记为P1(x ,  y)，定义其变换法则如下：P1(x ,  y)=(x+y A．(0 ,  21005) B．(0【变式15-1】（23-24七年级·陕西渭南·期末）用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗，第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第个图案中有黑色棋子（

）A．301颗 B．304颗 C．307颗 D．310颗【变式15-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）在1+12+122+123+12A．43 B．98 C．6【变式15-3】（23-24七年级·广东东莞·期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（

）A．2001 B．4039 C．8124 D．16304【题型16多结论问题】【例16】（2024·重庆·一模）有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①b3＝2a+5；②当a＝2时，第3项为16；③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；④第2022项为（a+2022）2；⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2；以上结论正确的是（）A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤【变式16-1】（23-24七年级·浙江金华·期中）如图，在数轴上，点P表示−1，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移2个单位长度到达点P1，第二次将点P1向左移动4个单位长度到达P2，第三次将点P2向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点Pn，给出以下结论：①P5表示5；②P12>P11；③若点

A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④【变式16-2】（23-24七年级·重庆·期中）已知三个数3a,2b,c，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果a1，b1，c1，称为一次操作，按照上述方法对a1，b1，c1再进行一次操作，可得到三个结果①若3a=5，2b=1，c=−2，则a1，b1，②若a=x，b=−1，c=7，且a1，b1，c1中最小值为−3，则x=−4③若a=b=c=1k，则存在某一次操作的结果为−62k，2kA．0 B．1 C．2 D．3【变式16-3】（23-24七年级·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D=30°、∠BAC=45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°<∠CBE<90°，有下列四个结论：

①在图1的情况下，在∠DBC内作∠DBF=∠EBF，则BA平分∠DBF；②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次；④∠DBC+∠ABE的角度恒为105°．其中正确的结论个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

期末复习之选择压轴题十六大题型总结【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1数轴与绝对值的化简】 1【题型2有理数的运算】 4【题型3幻方与程序框图】 7【题型4有理数运算的应用】 11【题型5列代数式】 14【题型6代数式求值】 17【题型7整式加减与周长问题】 19【题型8一元一次方程的解】 24【题型9一元一次方程的应用】 26【题型10线段的和差】 29【题型11线段中的动点问题】 32【题型12角的计算】 36【题型13角中的旋转问题】 39【题型14新定义问题】 44【题型15规律探究】 47【题型16多结论问题】 50【题型1数轴与绝对值的化简】【例1】（23-24七年级·四川达州·期中）若ab≠0，则a|a|+bA．1和3 B．−1和3 C．1和−3 D．−1和−3【答案】B【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据ab≠0，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可．【详解】解：∵ab≠0，∴设a>0，∴a∴a>0，b<0或∴a|a|+∴a<0，∴a综上可得：a|a|+b故选：B．【变式1-1】（23-24七年级·广东广州·期末）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（）

A．1 B．1.5 C．2.5 D．2【答案】D【分析】根据|a−d|＝10，|a−b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案．【详解】解：∵|a−d|＝10，∴a和d之间的距离为10，假设a表示的数为0，则d表示的数为10，∵|a−b|＝6，∴a和b之间的距离为6，∴b表示的数为6，∴|b−d|＝4，∴|b−c|＝2，∴c表示的数为8，∴|c−d|＝|8−10|＝2，故选：D．【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出a、b、c、d表示的数．【变式1-2】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点，如果a+b−a−2c+b−2c−

A．A的左边 B．A与C之间 C．C与B之间 D．B的右边【答案】B【分析】可得a+b=2c，从而可得a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c=a+b【详解】解：∵C是AB的中点，∴a+b=2c，∴a+b===a+bA．在A的左边，∴a>0，b>0，a+b>0，a+b=a+b−b+a=2a≠0，故此项不符合题意；B．在A与C之间时，∴a<0，b>0，a+b>0，a+b=a+b−b−a=0，故此项符合题意；C．在C与B之间时，∴a<0，b>0，a+b<0，a+b=−a−b−b−a=−2a−2b≠0，故此项不符合题意；D．在B的右边时，∴a<0，b<0，a+b<0，a+b=−a−b+b−a=−2a≠0，故此项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了利用绝对值性质进行化简，掌握性质是解题的关键．【变式1-3】（23-24七年级·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若a−2=18，且3a−c=A．﹣6 B．2 C．8 D．9【答案】D【分析】根据绝对值的代数意义对a−2=18进行化简，a−2=18或a−2=−18，解得a=20或a=−16有两个解，分两种情况再对3a−c=c进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，320−c=c【详解】∵a−2=18∴a−2=18或a−2=−18，∴a=20或a=−16，当a=20时，3a−c=c等价于3∴60−3c=c或60−3c=−c，∴c=15或c=30；当a=−16时，3a−c=c等价于3∴−48−3c=c或−48−3c=−c，∴c=−12或c=−24，故c=15或c=30或c=−12或c=−24，∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(−12)+(−24)=9．故答案为：D【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，c的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏．【题型2有理数的运算】【例2】（23-24七年级·广东东莞·期中）已知ab−2和a−1是一对互为相反数，1ab+1A．12020 B．12021 C．20212022【答案】C【分析】先用绝对值非负性求出a、b的值，代入到所求的代数式中再运用1n(n+1）【详解】∵ab−2和a−1是一对互为相反数∴ab−2+a−1=0∴a=1，b=2∴1=1=1−=1+(−=1−=2021故选：C．【点睛】此题考查绝对值的非负性和有理数的简便运算．其关键是要发现并运用1n(n+1）=1n−1n+1【变式2-1】（23-24七年级·上海宝山·期末）如果M=12×34×56⋯×A．M<N B．M=N C．M>N D．M【答案】A【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数(1−101)，把这两道算式相乘，得出积为1101【详解】解：设A=2∵12<2∴A>M，∴AM==1∴M×M<1∵N=−∴M<110，即故选A．【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键．【变式2-2】（23-24七年级·山西·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的a的值为多少即可．【详解】解：根据分析，可得则所有符合条件的a的值为：128、21、20、3．故答案为：D．【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．【变式2-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）对于正数x，规定fx=11+x，例如f4A．40432 B．4043 C．40412 【答案】A【分析】计算出f2【详解】解：∵f2∴f2+f1∴fx∴f2022+f2021+f=2021+=4043故选：A．【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．【题型3幻方与程序框图】【例3】（23-24七年级·浙江温州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为（

）A．−4 B．−3 C．3 D．4【答案】B【分析】共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果．【详解】解：因为共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，所以−5,−1,5这一行最后一个圆圈数字应填3，则a所在的横着的一行最后一个圈为3，−2,−1,1这一行第二个圆圈数字应填4，目前数字就剩下−4,−3,0,6，1,5这一行剩下的两个圆圈数字和应为−4，则取−4,−3,0,6中的−4,0，−2,2这一行剩下的两个圆圈数字和应为2，则取−4,−3,0,6中的−4,6，这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填−4，所以1,5这一行第三个圆圈数字应为0，则a所在的横行，剩余3个圆圈里分别为2,0,3，要使和为2，则a为−3故选：B【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键．【变式3-1】（23-24七年级·河南濮阳·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2018次输出的结果为()A．0 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】根据题意找出规律即可求出答案．【详解】第一次输出为24，第二次输出为12，第三次输出为6，第四次输出为3，第五次输出为6，第六次输出为3，……从第三次起开始循环，∴（2018﹣2）÷2=1008故第2018次输出的结果为：3．故选B．【点睛】本题考查了数字规律，解题的关键是正确理解程序图找出规律，本题属于基础题型．【变式3-2】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）把1～9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于15，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中m的值为()．A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】本题考查了有理数的混合运算；根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于15，可得①，②，③表示的数，即可求出m的值．【详解】解：如图，∵任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于15，∴对角线上①处数字与5，2的和为15，∴①处的数字为：15−5−2=8，又中间一列②处数字与7，5的和为15，∴②处上的数字为：15−7−5=3最正面一行数字之和为15∴③处数字为15−8−3=4最后一列之和为15，∴m=15−2−4=9，故选：D．【变式3-3】（23-24七年级·湖南长沙·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现−1，2，−2，−4，5，−5，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中a+b+c−d的值为（

）

A．−5 B．5 C．6 D．−6【答案】B【分析】本题主要考查有理数的加减运算，要先读懂题意，根据题意获取数量关系，再用尝试法，直到找到合理的数值，本题综合性比较强，比较注重逻辑推理．由题意可知，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．所以有b+c−1=2+c+d=a+c+2−1，进而得b=d+3，a=d+1，b>a>d，再利用尝试法，把数据代入验证，可得a，b，c，d的值，并代入计算可得结论．【详解】解：由题意可得：b+c−1=2+c+d=a+c+2−1，所以有b=d+3，a=d+1，b>a>d，由图中可知a，b，c，d的值，由−2，−4，5，−5，6，8中取得，由于8>6>5>−2>−4>−5，且只有8−5=3，b=8，d=5，a=6，这时，c的值从−2，−4，−5中取得，当c=−2和−5，计算验证，都不符合题意，所以c=−4时，符合题意．具体数值如下图所示，

所以a=6，b=8，c=−4，d=5，则a+b+c−d=6+8−4−5=5．故选：B．【题型4有理数运算的应用】【例4】（23-24七年级·浙江绍兴·期末）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（

）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，可得其乘坐方式的数目．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，有3×2×2=12种乘坐方式；②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，有3×2×2=12种乘坐方式；则共有12+12=24种乘坐方式；故选：B．【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭”的可能情况．【变式4-1】（2024七年级·全国·专题练习）共享单车已经成为许多城市中的重要交通工具，在北京上班的李雷，周一到周五要骑共享单车在单位宿舍与办公室之间进行两个往返，每个单程用时10分钟；周末和节假日回家（连续假日时，只需往返一次），从宿舍到家单程骑行要50分钟．有W，Z，M，D四家共享单车公司，其收费规则如下表所示，其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一次计费．如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付费的角度，且只使用一个公司的单车，则李雷在2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）期间，用（

）公司的共享单车最划算（注：清明、端午各有三天假期，五一有五天假期）．公司计费付费优惠W1元/次没有Z1.5元/次周末和节假日骑行免费M1.5元/次每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计次连续骑行一周D1.5元/次每骑行付费一次，下次骑行免费A．W B．Z C．M D．D【答案】D【分析】计算2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）的工作日与假期的天数，获得骑行的次数与时间，然后计算不同方案所需总费用，进行比较即可．【详解】解：这段时间有20周，19个周末（含假清明、五一，端午），不足半小时的次数有20×5−5×4=380个，还有19×2=38∴若用W公司的车，约需付费：380×1+38×2=456（元）；若用Z公司的车，约需付费：380×1.5=570（元）；若用M公司的车，大体认为在4.5个月的周期里，可以免单4.5周，计费的工作日不超过15.5×5≈78天，周末加法定假日不超过15个，大约需付费不超过：78×4+15×4×1.5=558若用D公司的车，约需付费：3802综上所述，选用D公司的车最省钱，也就是最划算．故选D．【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用．解题的关键与难点在于理解题意．【变式4-2】（23-24七年级·福建厦门·期末）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动．套餐内容价格（元）优惠活动套餐A1张电影票＋1桶爆米花60消费满300元，减25元消费满600元，减60元套餐B1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币70若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（

）A．530元 B．540元 C．545元 D．550元【答案】B【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，得到至少要购买5份套餐B，再结合优惠活动进行求解即可．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键．【详解】解：∵全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，∴至少要购买5份套餐B，①当购买5份套餐B，其余全部购买电影票时：5×70+45×5=575（元），∵消费满300元，减25元，∴共消费：575−25=550元，②当购买6份套餐B，其余全部购买电影票时：6×70+45×4=600元，∵消费满600元，减60元，∴共消费：600−60=540元，此时最优惠，故选B．【变式4-3】（2024七年级·全国·竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为4:2:1，甲容器5cm高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器3cm高度处有一根管子与丙容器相连通，且两根连通管相同．现在向甲容器匀速注水，记注水时间为t分钟，若t=5时，甲容器里的水开始流向乙容器．当乙容器里的水比丙容器里的水高1cm时，t

A．5.5 B．5.5或7.5 C．5.5或7 D．7或7.5【答案】C【分析】本题考查有理数的应用，分类讨论是解决问题的关键．根据题意，分两种情况，①乙容器水高1cm，丙容器无水时；②丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，丙到达2cm【详解】解：∵t=5时，甲容器里的水开始流向乙容器，即甲中水上升了5cm，甲中注水速度为5÷5=1甲、乙、丙的底面的面积之比为4:2:1，则注水的速度之比为1:2:4，∴乙的注水速度为2cm/min，丙的注水速度为4cm/min，当乙容器里的水比丙容器里的水高1cm①乙容器水高1cm，丙容器无水，t=5+1÷2=5.5②丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，用时5+3÷2=6.5min，假设在此之后注水x分钟，乙比丙高1cm，则丙要到达∴x=2÷4=0.5，∴t=6.5+0.5=7，综上所述，t的值为5.5或7．故选：C．【题型5列代数式】【例5】（23-24七年级·湖北孝感·期末）某轮船在静水中的速度为u千米/时，A港、B港之间的航行距离为S千米，水流速度为v千米/时．如果该轮船从A港驶往B港，接着返回A港，航行所用时间为t1小时，假设该轮船在静水中航行2S千米所用时间为t2小时，那么t1A．t1＜t2 B．t1＞t2 C．t1＝t2【答案】B【详解】解：t1=Su+v+St2=2Sut1﹣t2=2Su2−v2因为u＞v＞0，所以t1﹣t2＞0，即t1＞t2．故选B．【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度．【变式5-1】（2024·安徽合肥·一模）某某市2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了x%，计划2020年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（

A．a3+3x%万元 B．C．a3+x%万元 D．【答案】D【分析】本题主要考查列代数式，根据题意先求出2018年和2020年扶贫资金，再求得这三年的扶贫资金总额即可．【详解】解：∵2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了x%∴2018年的扶贫资金为a1+x∵计划2020年的增幅调整为上一年的2倍，∴2020年的扶贫资金为a1+2x∴这3年的扶贫资金总额将达到：a1+x故选：D．【变式5-2】（23-24七年级·山东德州·期中）甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（

）A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯【答案】D【分析】设每杯售价x元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可．本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键．【详解】解：设每杯售价x元，在甲店购买12杯的费用为6x+6×0.5x=9x（元）；在甲店买8杯，在乙店买4杯的费用为4x+4×0.5x+(4−1)x=9x（元）；在甲店买6杯，在乙店买6杯的费用为3x+3×0.5x+(6−2)x=8.5x（元）；在乙店购买12杯的费用为(12−4)x=8x（元）；在乙店买12杯花钱最少，故选：D．【变式5-3】（23-24七年级·山东青岛·单元测试）萱萱的妈妈下岗了，在国家政策的扶持下开了一家商店，全家每个人都要出一份力，妈妈告诉萱萱说，她第一次进货时以每件a元的价格购进了35件牛奶；每件b元的价格购进了50件洗发水，萱萱建议将这两种商品都以a+b2A．赚钱 B．赔钱C．不嫌不赔 D．无法确定赚与赔【答案】D【分析】此题可以先列出商品的总进价的代数式，再列出按萱萱建议卖出后的销售额，然后利用销售额减去总进价即可判断出该商店是否盈利.【详解】由题意得，商品的总进价为30a+50b，商品卖出后的销售额为a+b2则a+b2因此，当a＞b时，该商店赚钱：当a＜b时，该商店赔钱；当a=b时，该商店不赔不赚.故答案为D.【点睛】本题主要考查列代数式及整数的加减，分类讨论的思想是解题的关键.【题型6代数式求值】【例6】（2024·湖北武汉·二模）已知一列数的和x1+x2+⋅⋅⋅+x2023A．2 B．−2 C．3 D．−3【答案】D【分析】设k=x则可推出2023k=x1−3x2+1+x2【详解】解：设k=x∵x1∴2023k===−2=−2×=0∴k=0∴x∴x即x∴x故选：D【点睛】本题考查整式的加减法，推导x1【变式6-1】（23-24七年级·河北保定·期末）已知a+b=12，A．−1 B．0 C．3 D．9【答案】D【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键．根据已知条件推出式子b−c与c−b的值，代入b−c2【详解】解：∵a+b=1∴a+b−即b−c=52，∴b−c2故选：D．【变式6-2】（23-24七年级·全国·单元测试）已知m，n为常数，代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，则mn的值共有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据题意可得m=-1，|5-n|=1或m=-2，|5-n|=4，求出m、n的值，然后求出mn的值即可．【详解】∵代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，∴化简后的结果可能为2x4y，也可能为xy，当结果为2x4y时，m=-1，|5-n|=1，解得：m=-1，n=4或n=6，则mn=（-1）4=1或mn=（-1）6=1；当结果为xy时，m=-2，|5-n|=4，解得：m=-2，n=1或n=9，则mn=（-2）1=-2或mn=（-2）9=-29，综上，mn的值共有3个，故选C.【点睛】本题考查了合并同类项，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．【变式6-3】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）若m满足方程2019−m=2019+m，则m−2020等于（A．m−2020 B．−m−2020 C．m+2020 D．−m+2020【答案】D【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答.【详解】当m≥2019时，2019−m=m−2019当m≤0时，2019−m=2019+当0<m<2019时，2019−m=2019−m所以m≤0m−2020故选D【点睛】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键.【题型7整式加减与周长问题】【例7】（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，在长方形ABCD中放入一个大正方形AEFG和两个大小相同的小正方形H1I1J1K1及H2I2J2D，其中I1J1在边BC上，GF与K1J1A．S1+S2+S3 B．【答案】D【分析】本题考查了整式与几何图形，延长H2I2交BC于点N，得到GK1=OJ1，即四边形I2NJ1O【详解】解：如图，延长H2I2交BC∵两个大小相同的小正方形H1I1∴DJ∴GO−K即GK∴四边形I2NJ同理可得GD=I∵I∴四边形LI2N∵GF−K∴G即GK∵GK∴KB−FJ∵四边形AEFG为正方形，两个大小相同的小正方形H1I1∴AE=EF，AK=H∴AE−AK=EF−MF，即KE=EM=2，∴正方形KEML的面积为4，∵长方形KBCJ∴S故答案为：D．【变式7-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形ABCD内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】本题考查了整式的加减混合运算，根据图形列出阴影部分的周长是解答本题的关键．设正方形纸片①②③④的边长为a、b、c、d；列出两个阴影部分边长之差即可得到结果．【详解】解：设正方形纸片①②③④的边长为a、b、c、d，如图：左上角阴影部分的周长为：2AB−c+AD−b右下角阴影部分的周长为：2AB−a−b+AD−c∴两部分阴影周长值差为：2=2AB−2c+2AD−2b−2AB+2a+2b−2AD+2c=2a，∴要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其①正方形的边长即可，故选：A．【变式7-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（

）A．m+n B．m−n C．2m−n D．m+2n【答案】A【分析】正方形AKIE的周长表示为AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长表示为GJ+JF+FC+CL+LH+HG，再利用线段的和差，求解即可．【详解】解：∵长方形ABCD的周长为m，阴影部分的周长为n，∴AB+BC=m2，JI+HI=延长FG交AD于M，正方形AKIE的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG，∵AK+JF=AB，KJ+FC=BC，∴AK+JF+KJ+FC=AB+BC=m2∵AM+GL=AD=BC，∴AM+GL+LC=BC+AB-DL=m2∴GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH=GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH，∵EH=DL，∴正方形AKIE的周长+正方形FCLG的周长=m2+m故选：A．．【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．【变式7-3】（23-24七年级·江苏无锡·期末）将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）A．44 B．53 C．46 D．55【答案】A【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y−x，根据图1中长方形的周长为36，求得x+y=92，根据图2中长方形的周长为53，求得AB=532−3x−4y，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y−x，由图1中长方形的周长为36，可得，y+2x+y+2x+y如图，图2中长方形的周长为53，∴AB+2x+y∴AB=53根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，∴2=2=2=53−2=53−9=44．故选A．【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，设出未知数、正确列代数式表示各线段的长是解答本题的关键．【题型8一元一次方程的解】【例8】（23-24七年级·重庆·期末）已知关于x的方程x−2−ax6=A．−23 B．23 C．−34 D．34【答案】C【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．【详解】解：x−去分母，得6x−去括号，得6x−2+ax=2x−12移项、合并同类项，得4+a将系数化为1，得x=−∵x=−10∴a=−5或−6，−9，−14时，x的解都是非负整数则−5+故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．【变式8-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知关于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，关于y的一元一次方程b2023+2023c=−a的解是y=−2021（其中b和c是含有A．b=−y−1,c=y+1 B．b=1−y,c=y−1C．b=y+1,c=−y−1 D．b=y−1,c=1−y【答案】B【分析】根据x=2022，y=−2021得到x=1−y，得到1−y2023+2023y−1=−a的解为【详解】∵x=2022，y=−2021得到x=1−y，∴1−y2023+2023y−1∵方程b2023+2023c=−a的解是∴b=1−y,c=y−1，故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．【变式8-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图，点C,D为线段AB上两点，AC+BD=9，且AD+BC=75AB，设CD=t，则方程3x−7A．x=2 B．x=3 C．x=4 D．x=5【答案】D【分析】把AC+BD=9代入AD+BC=75AB得出7【详解】解：∵AC+BD=9，AB=AC+BD+CD，∴AB=9+CD，∵AD+BC=∴75解得：CD=6．∴t=6，∴3x−7(x−1)=62−2(x+3)故选：D．【点睛】本题考查了两点间的距离、一元一次方程的解法及应用，得出关于CD的方程是解此题的关键．【变式8-3】（23-24七年级·全国·课后作业）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=ba；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程x3•a=x2﹣16（A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1【答案】A【详解】解：去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6），去括号得：2ax=2x+6，移项，合并得，（2a-2）x=6，因为无解，所以2a﹣2=0，即a=1．故选A．【点睛】本题考查了一元一次方程无解，解题关键是准确理解题意，列出关于字母a的方程．【题型9一元一次方程的应用】【例9】（23-24七年级·全国·单元测试）实验室里，水平桌面上有半径相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，用两个相同的管子在容器的6cm高度处连通(即管子底端离容器底6cm)．现三个容器中，只有甲中有水，水位高2cm，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升56cmA．3 B．6 C．3或6 D．3或9.3【答案】D【分析】在容器乙中的水未注入容器甲之前，注入的水仅存放在乙、丙容器内；在容器乙中的水注入容器甲之后，注入容器乙和丙中的水流入到甲容器中，在注入的过程中产生0.5cm【详解】解：当容器乙中的水未注入容器甲之前，由题意，注入单个容器中水位上升的高度与时间的关系为56cm/分钟，所以当乙中水位为2.5cm当容器乙中的水注入容器甲之后，当甲容器中的水位为5.5cm，容器乙中的水位为6设注水时间为x，则2×56x+2=2×6+5.5要使乙中水位高出甲0.5cm，则需注水的时间为：9.3故选：D．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意分析产生水位差的两种情况是解答本题的关键点，建立方程时要注意甲容器中原有的水．【变式9-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点．．．若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后2分钟内，两人相遇的次数为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】根据题意，首先计算得甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为：2×1005+4=200【详解】根据题意，甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为：2×1005+4设两人相遇的次数为x∵起跑后时间总共为2分钟，即120s∴200∴x=5.4根据题意，两人相遇的次数x为整数∴x=5，即两人相遇的次数为5次故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．【变式9-2】（23-24七年级·湖北武汉·期中）下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数七年级12.543八年级10.533九年级7ab表格中a、b的值正确的是（

）A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2【答案】D【分析】对比图表中七、八年级小组活动次数可知，八年级比七年级多活动1次文艺小组，总时间多2小时，由此可以指导文艺小组活动每次2小时，再通过七年级的活动次数可以求出科技小组活动每次1.5小时，然后列代数式，求代数式的整数解．【详解】由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为7−2x1.5次，因为活动次数为整数，所以当x=2时，7−2x故选D【点睛】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意是解决本题的关键．【变式9-3】（23-24七年级·河北沧州·期中）甲、乙两支同样的温度计如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数20正对着乙温度计的度数-10，那么此时甲温度计的度数-5正对着乙温度计的度数是（

）A．5 B．15 C．25 D．30【答案】B【分析】通过观察发现两支温度计的放置方向相反，但是刻度间的间隔相同，所以求出甲温度计前后的温度变化后，把乙温度计按相反方向变化相同的温度即可得到答案．【详解】解：设所求乙温度计的度数为x，则由题意可知甲温度计前后刻度的变化为：-5-20=-25，∵两支温度计的放置方向刚才相反，∴两支温度计前后刻度的变化也是相反的，∴x-（-10）=25，解得x=25-10=15，故选B．【点睛】本题考查正负数在生活中的应用，熟练掌握正负数的意义及它们的关系是解题关键．【题型10线段的和差】【例10】（23-24七年级·重庆·期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧．若AB=2DE，线段DE在线段AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则

A．5 B．1714 C．1714或56【答案】B【分析】设BC=x，则AC=2BC=2x，求得AB=3x，设CE=y，当点E在线段BC之间时，得到AE=2x+y，BE=x−y，求得y=27x，进而即可求出CD【详解】设BC=x，则AC=2BC=2x，∴AB=3x．∵AB=2DE，∴DE=3设CE=y，当点E在线段BC之间时，如图，

∴AE=AC+CE=2x+y，∴AD=AE−DE=2x+y−3∵AD+ECBE∴12∴y=2∴CD=DE−CE=3∴CDCB当点E在线段AC之间时，如图，

∴AE=AC−CE=2x−y，∴AD=AE−DE=2x−3∵AD+ECBE∴12解得：y=−2综上可得CDCB故选B．【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和与差．解答的关系是分类讨论点E的位置．【变式10-1】（23-24七年级·四川绵阳·期末）已知线段AB，点C在线段AB上，AB=mBC，反向延长线段AB至D，使BD=nAD，若m=3，BD:CD=11:8，则n的值为（

）A．53 B．74 C．116【答案】D【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设AB=3a，则BC=a，AC=2a，再根据BD:CD=11:8可得BD=113a【详解】解：由题意，画出图形如下：设AB=3a，∵AB=mBC，m=3，∴BC=a，AC=AB−BC=2a，∵BD:CD=11:8，即BDCD∴BD=11∴AD=BD−AB=2∵BD=nAD，∴n=BD故选：D．【变式10-2】（23-24七年级·河南驻马店·期末）有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M−P−N，若该折线M−P−N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A−C−B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=3,CE=4，则线段BC的长是（

）A．2 B．4 C．2或14 D．4或14【答案】C【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差计算．根据题意运用分类讨论画出两个图形，运用线段中点的定义与线段的和差即可解答．【详解】分两种情况讨论：①如图，CD=3,CE=4，∵点E是线段AC的中点，∴AC=2CE=2×4=8，∴AD=AC−CD=8−3=5，∵点D是折线A−C−B的“折中点”，∴AD=DC+CB，即5=3+CB∴BC=2；②如图，CD=3,CE=4，∵点E是线段AC的中点，∴AC=2CE=2×4=8，∵点D是折线A−C−B的“折中点”，∴BD=AC+CD=8+3=11，∴BC=BD+CD=11+3=14；综上所述，线段BC的长为2或14．故选：C【变式10-3】（23-24七年级·重庆江津·期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA:AP=2:3，OB:BP=3:7.若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（

）A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5【答案】D【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.【详解】设OB=3x，则BP=7x，∴OP=OB+BP=10x，∵OA:AP=2:3，∴OA=4x，AP=6x，∴AB=OA-OB=x，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，再从点B重叠处一起剪开，得到的三段分别为：2x、3x、5x，故选：D.【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意折叠后AB段的长度应是原AB段的2倍，由此计算即可.【题型11线段中的动点问题】【例11】（23-24七年级·浙江宁波·期末）数轴上，点A对应的数是−6，点B对应的数是−2，点O对应的数是0.动点P、Q从A、B同时出发，分别以每秒3个单位和每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（

）A．PQ=2OQ B．OP=2PQ C．3QB=2PQ D．PB=PQ【答案】A【分析】设运动时间为t秒，根据题意可知AP=3t，BQ=t，AB=2，然后分类讨论:①当动点P、Q在点O左侧运动时，②当动点P、Q运动到点O右侧时，利用各线段之间的和、差关系即可解答.【详解】解:设运动时间为t秒，由题意可知:AP=3t，BQ=t，AB=|-6-(-2)|=4，BO=|-2-0|=2，①当动点P、Q在点O左侧运动时，PQ=AB-AP+BQ=4-3t+t=2(2-t)，∵OQ=BO-BQ=2-t，∴PQ=2OQ；②当动点P、Q运动到点O右侧时，PQ=AP-AB-BQ=3t-4-t=2(t-2)，∵OQ=BQ-BO=t-2，∴PQ=2OQ，综上所述，在运动过程中，线段PQ的长度始终是线段OQ的长的2倍，即PQ=2OQ一定成立.故选:A.【点睛】本题考查了数轴上的动点问题及数轴上两点间的距离，解题时注意分类讨论的运用.【变式11-1】（23-24七年级·河南驻马店·期末）线段MN=30，点A从点M开始向点N以每秒1个单位长度的速度运动，点B从点N开始以每秒2个单位长度的速度向点M运动，当MA=2AB时，t的值为（

）A．307秒 B．607秒 C．12秒 D．【答案】D【分析】分A，B相遇前和相遇后两种情况，列代数式表示出AB的长度，根据等量关系列一元一次方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得MA=t，NB=2t，当MA=2AB时，分两种情况：当A，B相遇前，AB=MN−MA−NB=30−t−2t=30−3t，因此t=230−3t解得t=60当A，B相遇后，AB=MA+NB−MN=t+2t−30=3t−30，因此t=23t−30解得t=12；故当MA=2AB时，t的值为607秒或12秒故选D．【点睛】本题考查线