2024-2025学年云南省文山州富宁县高二上学期期末数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年云南省文山州富宁县高二上学期期末数学检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知直线l过点（2，﹣1），且在x轴上的截距为3，则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣3＝0 B．x﹣2y+6＝0 C．2x+y+3＝0 D．2x+y﹣3＝02．（5分）已知集合A＝{x|y2＝4﹣x，x∈N*}，B＝{y|y＝x，﹣2＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．（﹣2，3）3．（5分）已知直线l的方程为3x+y−5=0，则直线lA．π6 B．π3 C．2π34．（5分）设角α的终边上有一点P（4，﹣3），则2sinα+cosα的值是（）A．−25 B．25 C．−25．（5分）已知离心率为3的双曲线x2−y2m2=1与椭圆xA．13 B．21 C．29 D．316．（5分）点P（1，0），点Q是圆x2+y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．(x−12)2C．x2+(y−（多选）7．（5分）若方程x25−t+A．曲线C可能是圆 B．若1＜t＜5，则C不一定是椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则1＜t＜3 D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则t＜18．（5分）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P（x，y）是阴影部分（包括边界）的动点，则yx−2A．−23 B．−32 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分．部分选对得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）若a→=(2，0)，A．a→B．|aC．a→与b→的夹角为D．b→在a→（多选）10．（6分）直线l：（m+1）x+2（m﹣1）y﹣4m＝0与圆C：x2+y2﹣x﹣y﹣2＝0的交点个数可能为（）A．0 B．1 C．2 D．3（多选）11．（6分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为面A1ABB1的中心，E、F分别为BC到D1C1的中点，则（）A．B1D⊥平面A1EF B．平面ACD1与平面A1EF相交 C．点O到直线A1E的距离为26D．点O到平面A1EF的距离为29三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知抛物线C：x＝4y2．则抛物线C的准线方程为．13．（5分）已知直线l1：（a+1）x+y+a＝0，l2：x+（a+1）y+2＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为．14．（5分）已知椭圆C：x23+y2=1的左、右焦点分捌为F1，F2，直线y＝x+m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．写出满足下列条件的直线的方程．（1）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；（2）经过点B（﹣2，0），且与x轴垂直；（3）斜率是﹣4，在y轴上的截距是7．16．已知点（2，﹣3）在圆C：x2+y2﹣8x+6y+m＝0上．（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为−43的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦17．如图，正方形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，平面BCE⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，且FD=3（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求平面ABF与平面EBF夹角的余弦值．18．已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点F1的直线交椭圆Γ于M，N两点，交直线x＝﹣2于点P，设PM→=λMF1→，19．已知点F1（﹣2，0），F2（2，0）分别为椭圆C：x2a2+y212=1的左、右焦点，经过点F1且倾斜角为θ(0＜θ＜π2)的直线l与椭圆C交于A，B两点（其中点A在x轴上方）．如图，将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A﹣F1F（1）当θ=π①求证：A′O⊥平面B′F1F2；②求直线A′F2与平面A′B′F1所成角的正弦值；（2）是否存在θ(0＜θ＜π2)，使得折叠后△A′B′F2

答案与试题解析题号1234568答案ABCACAC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知直线l过点（2，﹣1），且在x轴上的截距为3，则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣3＝0 B．x﹣2y+6＝0 C．2x+y+3＝0 D．2x+y﹣3＝0【分析】根据已知条件，求出直线l过点（2，﹣1），（3，0），再结合直线的斜率公式，即可求解．解：直线l过点（2，﹣1），且在x轴上的截距为3，则直线l过点（2，﹣1），（3，0），直线l的斜率为−1−02−3故直线l的方程为y﹣0＝x﹣3，即x﹣y﹣3＝0．故选：A．【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|y2＝4﹣x，x∈N*}，B＝{y|y＝x，﹣2＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．（﹣2，3）【分析】根据题意确定集合A，B中元素，然后由交集定义计算．解：集合A＝{x|y2＝4﹣x，x∈N*}＝{1，2，3，4}，又B＝{y|y＝x，﹣2＜x＜3}＝（﹣2，3），A∩B＝{1，2}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．3．（5分）已知直线l的方程为3x+y−5=0，则直线lA．π6 B．π3 C．2π3【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．解：由直线l的方程为3x+y−5=0可得直线l的斜率为−3，因此倾斜角为2π故选：C．【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．4．（5分）设角α的终边上有一点P（4，﹣3），则2sinα+cosα的值是（）A．−25 B．25 C．−2【分析】由题意可得x＝4，y＝﹣3，r=x2+y2=5，可得cosα=xr和sin解：∵角α的终边上有一点P（4，﹣3），∴x＝4，y＝﹣3，r=x∴cosα=xr=4∴2sinα+cosα＝2×（−35）故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．（5分）已知离心率为3的双曲线x2−y2m2=1与椭圆xA．13 B．21 C．29 D．31【分析】根据双曲线与椭圆的几何性质，即可求解．解：根据题意可得双曲线x2−y∴m2＝8，又双曲线x2−y∴n2＞12，且n2−12=3，∴∴m2+n2＝29．故选：C．【点评】本题考查双曲线与椭圆的几何性质，属基础题．6．（5分）点P（1，0），点Q是圆x2+y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．(x−12)2C．x2+(y−【分析】根据相关点法，即可求解．解：设点M的坐标为M（x，y），∵P（1，0），线段PQ的中点为M，∴Q（2x﹣1，2y），又点Q在圆x2+y2＝4上，∴（2x﹣1）2+（2y）2＝4，即(x−1故选：A．【点评】本题考查根据相关点法求解轨迹方程，属基础题．（多选）7．（5分）若方程x25−t+A．曲线C可能是圆 B．若1＜t＜5，则C不一定是椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则1＜t＜3 D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则t＜1【分析】AB选项，计算出t＝3时，曲线C表示圆，A正确，B正确；C选项，根据焦点在x轴上的椭圆所满足的条件得到不等式，求出答案；D选项，根据焦点在y轴上的双曲线所满足的条件得到不等式，求出答案．解：A选项，当5﹣t＝t﹣1＞0，即t＝3时，方程x25−t+y2t−1=1表示圆心为原点，半径为2的圆，故选项A正确，选项B正确；C选项，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则5﹣t＞t﹣1＞0，解得1＜t＜3，故选项C正确；D选项，若C为双曲线，且焦点在y轴上，方程x25−t+则t−1＞0t−5＞0，解得t＞5，故选项D故选：ABC．【点评】本题考查圆锥曲线的几何性质，属中档题．8．（5分）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P（x，y）是阴影部分（包括边界）的动点，则yx−2A．−23 B．−32 【分析】转化为点P（x，y）与（2，0）连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，解：记A（2，0），则k=yx−2为直线故当直线AP与半圆x2+（y﹣1）2＝1（x＞0）相切时，得k最小，此时设AP：y＝k（x﹣2），故|−1−2k|k2+1=1，解得即kmin故选：C．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分．部分选对得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）若a→=(2，0)，A．a→B．|aC．a→与b→的夹角为D．b→在a→【分析】根据向量数量积的坐标运算，向量的模的定义，向量夹角公式，投影向量的定义即可求解．解：∵a→=(2，0)，∴a→⋅b→=2对A选项，∵a→⋅b对B选项，∵|a→+b→|＝|（3，又|a→−b→|＝|（1，|a→+b→|≠|对C选项，∵cos＜a又＜a→，b→对D选项，∵b→在a→方向上的投影向量为∴D选项正确．故选：AD．【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的模的定义，向量夹角公式，投影向量的定义，属基础题．（多选）10．（6分）直线l：（m+1）x+2（m﹣1）y﹣4m＝0与圆C：x2+y2﹣x﹣y﹣2＝0的交点个数可能为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】求出直线l：（m+1）x+2（m﹣1）y﹣4m＝0恒过点（2，1），判断（2，1）在圆上，即可得出结论．解：直线l：（m+1）x+2（m﹣1）y﹣4m＝0可整理为（x﹣2y）+m（x+2y﹣4）＝0．由x−2y=0x+2y−4=0，可得x＝2，y＝1，即直线l：（m+1）x+2（m﹣1）y﹣4m∵22+12﹣2﹣1﹣2＝0，∴（2，1）在圆上，∴直线与圆可能有两个交点，也可能只有一个交点，故选：BC．【点评】本题考查直线恒过定点，考查直线与圆的位置关系，确定直线恒过定点是关键，属于中档题．（多选）11．（6分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为面A1ABB1的中心，E、F分别为BC到D1C1的中点，则（）A．B1D⊥平面A1EF B．平面ACD1与平面A1EF相交 C．点O到直线A1E的距离为26D．点O到平面A1EF的距离为29【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量方法处理线、面关系以及空间距离问题．解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则由题意有：A(1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，E(1A1（1，0，1），B1（1，1，1），D1（0，0，1），C1（0，1，1），设平面A1EF的法向量为n→A1则由n→⊥A1F令x＝2，则y＝4，z＝3，可得n→设平面ACD1的法向量为m→AC→则由m→⊥AC→，令a＝1，则b＝c＝1，可得m→对A，因为DB1→=(1，1，1)，则21所以B1D与平面A1EF不垂直，故A错误；对B，因为21≠41≠所以平面ACD1与平面A1EF相交，故B正确；对C：OE→则点O到直线A1E的距离为|OE→|对D：A1O→=(0，12，−12)，则点故选：BCD．【点评】本题考查利用空间向量判定空间直线、平面间的位置关系，求解点到直线及点到平面的距离，属中档题．三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知抛物线C：x＝4y2．则抛物线C的准线方程为x=−116【分析】根据抛物线方程判断焦点位置，求得p的值，即得准线方程．解：抛物线C：x＝4y2．即C：y故2p=14，即故抛物线C的准线方程为x=−1故x=−1【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．13．（5分）已知直线l1：（a+1）x+y+a＝0，l2：x+（a+1）y+2＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为﹣1．【分析】根据两条直线垂直的性质即可得．解：若l1⊥l2，则（a+1）•1+1•（a+1）＝0，即2（a+1）＝0，则a＝﹣1．故﹣1．【点评】本题考查直线的位置关系，属于基础题．14．（5分）已知椭圆C：x23+y2=1的左、右焦点分捌为F1，F2，直线y＝x+m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB【分析】联立方程，根据Δ＞0求出m的范围，再将S△F1ABS△F2AB转化为点F解：联立y=x+mx23+y2=1，消去y并整理得4x因为直线y＝x+m与C交于A，B两点，所以Δ＝36m2﹣4×4（3m2﹣3）＞0，解得﹣2＜m＜2，设F1到AB的距离为d1，F2到AB的距离为d2，易知F1(−2所以d1=|−此时S△解得m=−23或m因为﹣2＜m＜2，所以m=−2故−2【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于基础题．四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．写出满足下列条件的直线的方程．（1）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；（2）经过点B（﹣2，0），且与x轴垂直；（3）斜率是﹣4，在y轴上的截距是7．【分析】（1）易知斜率为0，可得直线方程；（2）易知倾斜角为90°，可得结果；（3）利用直线的斜截式方程计算可得结果．解：（1）因为在y轴上的截距是2，即直线过点（0，2），且与x轴平行，则直线的斜率为0，所以过点（0，2）的直线方程为y＝2，即y﹣2＝0；（2）经过点B（﹣2，0），且与x轴垂直，则直线的斜率不存在，则直线方程为x＝﹣2，即x+2＝0；（3）斜率是﹣4，在y轴上的截距是7，即直线过（0，7），则直线方程为y＝﹣4x+7，即4x+y﹣7＝0．【点评】本题考查直线的斜截式方程的应用及过一点的直线方程的求法，属于基础题．16．已知点（2，﹣3）在圆C：x2+y2﹣8x+6y+m＝0上．（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为−43的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦【分析】（Ⅰ）把点（2，﹣3）代入圆的方程，求得m的值，可得圆心坐标及半径长．（Ⅱ）先求出圆心到直线l的距离，再利用弦长公式，求得结果．解：（Ⅰ）∵点（2，﹣3）在圆C：x2+y2﹣8x+6y+m＝0上，∴22+（﹣3）2﹣16﹣18+m＝0，解得m＝21．∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝4，∴圆心C坐标为（4，﹣3），半径r＝2．（Ⅱ）．依题意，直线l的方程为y−1=−43(x+1)，即4x则圆心到直线l的距离为d=|16−9+1|∴|AB|=24−【点评】本题主要考查圆的一般方程，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．17．如图，正方形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，平面BCE⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，且FD=3（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求平面ABF与平面EBF夹角的余弦值．【分析】（1）取BC的中点H，连接EH，DH，先证明四边形EHDF为平行四边形，可得EH∥DH，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角即可．（1）证明：取BC的中点H，连接EH，DH，则EH⊥BC，EH=3∵平面BCE⊥平面ABCD，平面BCE∩平面ABCD＝BC，EH⊂平面BCE，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，FD=3，∴FD∥EH，FD＝EH∴四边形EHDF为平行四边形，∴EH∥DH，又EF⊄平面ABCD，DH⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．（2）解：∵FD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，∴以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，2，0)，B(2，2，0)，F(0，0，3∴BF→设平面ABF的法向量为m→=（x，y，z），则令y=3，则x＝0，z＝2，∴m设平面EBF的法向量为n→=（a，b，c），则令b＝23，则a=−3，c＝2，∴n设平面ABF与平面EBF的夹角为θ，则cosθ=|cos〈m故平面ABF与平面EBF夹角的余弦值为10133【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理，利用向量法求面面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点F1的直线交椭圆Γ于M，N两点，交直线x＝﹣2于点P，设PM→=λMF1→，【分析】（1）由∠AF1B=π2，得a=2b（2）设出直线MN的方程，代入椭圆方程，设A（x1，y1），N（x2，y2），由PM→=λMF1→，解：（1）根据题意可知，∠AF1B=由于点(1，22)即2b2＝2，解得b＝1，所以a=2因此椭圆Γ的方程为x2（2）根据已知得直线MN的斜率必存在，所以设直线MN的方程为y＝k（x+1），代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，Δ＞0，设N（x2，y2），M（x1，y1），所以x1又因为F1（﹣1，0），P（﹣2，﹣k），则根据PM→可得λ=−r因此λ+μ=−x又由于2x因此λ+μ＝0为定值．证明完毕．【点评】本题考查椭圆综合应用，属于中档题．19．已知点F1（﹣2，0），F2（2，0）分别为椭圆C：x2a2+y212=1的左、右焦点，经过点F1且倾斜角为θ(0＜θ＜π2)的直线l与椭圆C交于A，B两点（其中点A在x轴上方）．如图，将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A﹣F1F（1）当θ=π①求证：A′O⊥平面B′F1F2；②求直线A′F2与平面A′B′F1所成角的正弦值；（2）是否存在θ(0＜θ＜π2)，使得折叠