江西省2023-2024学年高三上学期1月新高考“七省联考”考前数学猜题卷一

江西省2023-2024学年高三上学期1月新高考“七省联考”考前数学猜题卷一姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．设x∈R，则“0<x<1”是“|x−1|<1”的（）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．下列关于复数的说法，正确的是（）A．复数i是最小的纯虚数B．在复数范围内，模为1的复数共有1，−1，C．i与−i是一对共轭复数D．虚轴上的点都表示纯虚数3．已知圆O的半径为2，弦MN的长为23，若2MP=A．-4 B．-2 C．2 D．44．调和信号是指频率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述信号的衰减.已知一个调和信号的函数为f(x)=sin2xA． B．C． D．5．折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（）A．2−18 B．2−28 C．6．已知双曲线C：x2−y2=1，直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，若点P在直线lA．(0，1) B．(1，2) C．7．已知半径为R的球中有一个内接正四棱锥，底面边长为a，当正四棱锥的高为h时，正四棱锥的体积取得最大值V，则（）A．h=2a B．h=32a C．h=a8．设正数xi(i=1，2，3)满足x1A．5027 B．2 C．6427 二、多选题（共20分）9．近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选取5000人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5组：[50，60)、[60，70)、⋯、[90，100]，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分X（单位：分）近似地服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6826，A．由直方图可估计样本的平均数约为74B．由直方图可估计样本的中位数约为75C．由正态分布可估计全县X≥98.5的人数约为D．由正态分布可估计全县62.5≤X<98.10．已知圆G：(x+1)2+(y−2A．当直线l经过(−1，1)时，直线l与圆GB．当m=0时，直线l'与l关于点G对称，则l'C．当n=0时，圆G上存在4个点到直线l的距离为2D．过点G与l平行的直线方程为：mx−ny−m−2n=011．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1DA．当点M与点A重合时，M，PB．当点M与点B重合时，cosC．当点M为棱AB的中点时，A1M⊥D．直线CD与平面MPQ所成角的正弦值存在最小值112．已知实数m，n满足mem4A．n=em2C．m+n<75 三、填空题（共20分）13．在高中数学第一册我们学习“集合的子集”时知道，若一个集合有n(n∈N+)个元素，则该集合的子集（包括含有0个元素（空集），1个元素，2个元素，…，n个元素）个数共有2n个，请你结合你所学习的二项式定理的有关知识写出关于子集个数为14．若数列a，27，−9，b，−1为等比数列，则(b−π)2−15．椭圆O：x212+y26=1的弦AB满足OA⋅OB=0，记坐标原点16．对∀x∈(1e，+∞)，都有关于x的不等式ln(lnax+1四、解答题（共70分）17．如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？18．已知点A1(1，2)，A2(2，3)，设An(an，bn)(n∈N（1）设cn=a（2）求数列{a19．如图，在圆台O'O中，截面EFBC分别交圆台的上下底面于点E，C，F，B四点.点A为劣弧（1）求过点A作平面α垂直于截面EFBC，请说明作法，并说明理由；（2）若圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，母线长为3，∠BOF=120°，求平面α与平面CAB所成夹角的余弦值.20．多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.（1）写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；（2）求小李同学当天穿连衣裙的概率.21．将圆x2+y2=1上各点的横坐标变为原来的5倍，纵坐标变为原来的4倍，所得的曲线为C.记曲线C与x轴负半轴和y轴正半轴分别交于A､B（1）求曲线C的方程；（2）连接BM交曲线C于点D，过点D作x轴的垂线交曲线C于另一点E.记△AEM的面积为S1，记△AEB的面积为S2，求22．若函数f(x)在定义域内存在两个不同的数x1，x2，同时满足f(x1)=f(x2)，且（1）证明：f(x)=2x（2）若g(x)=xlnx−1ex2+ax为“切合函数”（其中e（ⅰ）求证：x1（ⅱ）求证：(a+1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】|x−1|<1，即−1<x−1<1，解得0<x<2，由于0<x<1是0<x<2的真子集，故“0<x<1”是“|x−1|<1”的充分不必要条件.故选：B【分析】本题考查充分必要条件的判断.先解不等式|x−1|<1，解得0<x<2，所以0<x<1是0<x<2的真子集，根据充分不必要条件的定义得到答案.2．【答案】C【解析】【解答】A、虚数不能比大小，A错误；B、对于复数z=a+bi(a、b∈R)，但凡满足a2+b2=1C、由共轭复数的定义可知，C正确；D、原点(0，故选：C

【分析】本题考查复数相关概念.根据复数不能比大小可判断A选项；通过举出反例z=12+323．【答案】B【解析】【解答】如图，设MN的中点为Q，连接OQ，则OQ⊥MN.由|NO|MN|=23，得|MQ|=3，|OQ|=1，所以所以∠POQ=π6，所以所以MO⋅故选：B.【分析】本题考查平面向量的数量积.先根据题意作出图形，可求出MO与OP的夹角，再利用平面向量的数量积公式可得：MO⋅4．【答案】B【解析】【解答】令f(x)=0，则sin2x=0，2x=kπ，k∈Z则在(−4，0)内有又f(x)不具有奇偶性，则图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除选项C，故选：B【分析】本题考查函数的图象.先令f(x)=0，则sin2x=0，2x=kπ，k∈Z可知在(−4，0)内有−π2，−π两个零点，据此排除A，D选项；再求f(−x)=sin25．【答案】A【解析】【解答】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为22，公比为22，

故对折5次后，得到腰长为(2设该等腰直角三角形的内切圆半径为r，则由等面积法可得12×(28故选：A.【分析】本题考查等比数列的通项公式，直角三角形的内切圆的性质.根据题意：每次对折后仍成等腰直角三角形，可知对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为22，公比为26．【答案】D【解析】【解答】由题可得点P为线段AB的中点，选项A：数形结合可知，直线l为直线y=1时，点(0，1)为故(0，1)可以作为点已知双曲线x2y=kx+m与双曲线交于A(x1，y1)，则x12ab2a选项B：可得直线l的斜率k=1×11×2=12联立得y=12x+32(1，2)可以作为点选项C：可得直线l的斜率k=1×21×1=2，故直线l联立得y=2x−3x2−y2(2，1)可以作为点选项D：可得直线l的斜率k=1×121×1联立得y=2x−34x2−(12，故选：D【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意知P为线段AB的中点，设出A(x1，y1)，B(x2，y2)两点坐标，及7．【答案】C【解析】【解答】如图，△PAC是正四棱锥P−ABCD的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆，O是圆心（球心），设球心到底面的距离为OE=x，则PE=h=R+x，a=2∴V(x)=2方法一：V'令V'(x)=2当0<x<R3时，V'(x)>0，V(x)单调递增，当x>R所以当且仅当x=R3时，正四棱锥的体积取得最大值V，此时h=4R3，方法二：V=1当且仅当R+x=2R−2x，即x=R3时取等号，此时h=4R3，故选：C.【分析】本题考查棱锥体积公式的应用，导函数的应用，基本不等式的应用。先设球心O到底面距离为OE=x，通过正四棱锥的对角面求出棱锥的高，与底面边长，表示体积为：V(x)=28．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，不妨设x1≥x2≥x3，由2x12+2x22-5x1x2≤0，解得12x1≤x2≤x1，同理可得12x1≤x3≤x1，所以4=x1+x2+x3≥x1+12x1+12x1=2x1，解得x1≤2，又4=x1+x2+x3≤x1+x1+x1=3x1解得x1≥43，所以43≤x1≤2，因为x3=4-(x1+x29．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、由直方图可估计样本的平均数为x=(55×0B、前两个矩形的面积为(0.前三个矩形的面积之和为(0.设样本的中位数为m，则m∈(70，由中位数的定义可得0.35+(m−70)×0.C、因为μ=74.5，σ=12，所以，P(X≥98.所以，由正态分布可估计全县X≥98.5的人数约为D、因为62.5=μ−σ，所以，P(62=P(μ−σ<X<μ+σ)+P(μ−2σ<X<μ+2σ)所以，由正态分布可估计全县62.5≤X<98.故选：ABD.【分析】本题考查频率分布直方图的应用和正态分布3σ原则.根据频率分布直方图可知计算出样本的平均数平均数为x=(55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.025+95×0.01)×10=74.510．【答案】A,B【解析】【解答】解：易知圆G的圆心为−1，2，半径r=3，

A、当直线l经过(-1，1)时，m+n=0，则l：x+y=0，

所以圆心到直线的距离为d=−1+212+12B、当m=0时，直线l：y=0，因为直线l'与l关于点G对称，所以直线l'与l平行，由于G(-1，2)到l：y=0的距离为2，所以G−1，2到l'的距离也为2，所以l'的方程为y=4，故B正确；

C、当n=0时，直线l：x=0，此时圆心G(-1，2)到直线的距离为d=1，由于半径r=3，

所以在直线l：x=0的右侧：r−d=3−1<2，所以在直线l：x=0的右侧不存在满足条件的点；在直线l：x=0的左侧：r+d=3+1>2，所以在直线l：x=0的左侧存在满足条件的点有2个；所以圆G上只存在2个点到直线l的距离为2，故C错误；

D、过点G−1，2与l平行的直线方程可设为：mx−ny+c=0，将点G故答案为：AB.

【分析】利用直线l经过(-1，1)得到x+y=0，求出圆心到直线的距离，借助圆的弦长公式计算即可判断A；利用直线关于点对称的直线的求法即可判断B；借助圆心到直线的距离，半径，以及圆上的点到直线的距离的大小关系判断即可判断C；借助直线平行的相关知识即可判断D.11．【答案】B,D【解析】【解答】A、由棱长为2的正方体ABCD−A1B可得点P为BC的中点，且点Q为CC1的中点，可得当点M和点A重合时，可得AD1//所以M，P，又由AD1=2所以四边形APQD的面积为S=1B、由点P为BC的中点，且点Q为CC1的中点，可得当点M与点B重合时，则异面直线D1M与PQ所成的角，即为直线D1设∠D1BC1=θ，在直角可得cosθ=又由D1M，C、以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为当点M为棱AB的中点时，可得A1可得A1则A1M⋅MP=−1≠0D、由C中的空间直角坐标系，设AM=m，(可得M(则PM=设平面MPQ的法向量为n=(x取y=−1，可得x=m−2，z=m−2，所以设直线CD与平面MPQ所成角为α，可得sinα=|当m=0时，可得sinα≥13，即直线CD与平面MPQ故选：BD.【分析】本题考查异面直线的夹角，利用空间向量证明直线与平面垂直，直线与平面所成的角，四点共面的证明.根据题意，证得AD1//PQ，得到M，P，Q，D1四点共面，且四边形APQD为等腰梯形，求得梯形的面积，可判定A不正确；证得PQ//BC1，设∠D112．【答案】A,C,D【解析】【解答】由mem4即2me2m=4也即e2m设函数f(x)f'当x∈(0，1e)时，当x∈(1e，+∞)时，且当x∈(0，1)时，f(x)A、因为e2m=1即f(e2m)=f[B、mnC、设t(x)=xe且t(所以存在唯一x0∈(0，由e2m=1m可得，m+n=m+12em，设所以g(所以m+n=m+1D、2n−m设h(x)令μ(x)易得函数μ'(x)=所以函数μ(x)且μ(12所以h(所以h(0)所以1<2n−m故选：ACD.【分析】本题考查函数与方程的应用，利用导函数研究函数的单调性.先利用同构思想，将原等式化为2me2m=(2n)2ln(2n)2，进而构造函数f(x)13．【答案】C【解析】【解答】一个集合有n(n∈N+)所以这个集合的子集共有Cn∵(1+x)n令x=1，则C故答案为：Cn

【分析】由二项式定理，通过赋值x=1即可求解。14．【答案】π【解析】【解答】由题意得272=−9a从而等比数列公比为−13，所以所以(b−π)=π−3−(−故答案为：π【分析】本题考查等比中项的应用.已知数列a，27，−9为等比数列，根据等比中项可得：272=−9a，可求出a；进而可知：等比数列公比为−15．【答案】4【解析】【解答】椭圆O：x212+y设A(r1cosθ于是r12cos2则1r12由原点O在AB的射影为M，得|OM|⋅因此|OM|=2，即点M的轨迹是以原点O圆心O到直线x+y=1的距离d=112垂直于直线x+y=1的圆x2+y2=4的直径端点P于是圆x2+y所以到直线x+y=1的距离为1的点M的个数为4.故答案为：4【分析】本题考查点到直线的距离公式的应用及椭圆的简单几何性质.根据给定条件OA⋅OB=0和原点O在AB的射影为M，可求出点M的轨迹方程为：以原点O为圆心，2为半径的圆，方程为x2+16．【答案】1（答案不唯一）【解析】【解答】由题设有a>0.又由题设可得ln(ax)+1≥ex−1故lna≥ex−1而ex−1≥x，lnx≤x−1故ex−1−1−ln故函数y=e故lna≥0，故a≥1故答案为：1（答案不唯一）.【分析】本题考查函数的恒成立问题.先判断出a>0，参变分离得到lna≥ex−1−1−lnx，利用常见的函数不等式ex−117．【答案】解：根据正弦定理，在△ACD中，有AC=CD在△BCD中，有BC=CD在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2+B所以A，B两点间的距离为106【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解实际问题.根据正弦定理，在△ACD中：ACsin(45°+60°)=CDsin[18018．【答案】（1）证明：当n∈N∗时，线段AnAn+1的中点为Bn+2，Bn+2an+an+12，bn+bn+12，

则An+2bn（2）解：由(1)知cn=2×-12n-1，即an+1+bn+1−an−bn=2×-12n-1，

则a2+b2【解析】【分析】（1）直接利用等比数列的定义即可证明；

（2）直接利用累加法求即可数列的通项公式.19．【答案】（1）解：连接O'A，AO，OO'，平面∵在圆台OO'中，OO'⊥面OBA，BF⊂面∵A为劣弧BF中点，OA为圆O的半径，∴OA⊥BF，又∵OO'∩OA=O，OO'，OA⊂平面又∵BF⊂平面EFBC，∴平面O'OA⊥平面（2）解：连接O'C，OB，在圆台OO'中，OO∵O'C=1，OB=3，BC=3，∴∠BOF=120°，则∠BOA=60°，过点O在下底面内作OA的垂线交圆O于点D，分别以OA，OD，OO'所在直线为x，y，∴由题意A(3，0，0)，B(3m=(0，1∵AB=(−32，332∴n⋅AB=−32得n=(设平面α与平面CAB的夹角为θ，则cosθ=因此平面α与平面CAB的夹角余弦值为108【解析】【分析】本题考查平面与平面垂直的判定，利用空间向量求平面与平面所成的角.（1）先作平面O'OA即为所求作的平面α，再利用面面垂直的判定定理，证明平面O'（2）建立空间直角坐标系，再分别求出平面O'OA和平面20．【答案】（1）解：设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2，P(X=4)=C44C6所以X的分布列为：X432P182故E(X)=4×1（2）解：设A表示穿红色衣物，则A表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则B表示穿套装.因为穿红色衣物的概率为P(A)=P(X=4)+P(X=3)=1则穿蓝色衣物的概率为P(A穿红色连衣裙的概率为P(B|A)=0.6=3则当天穿连衣裙的概率为P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A所以小李同学当天穿连衣裙的概率为1425【解析】.【分析】本题考查超几何分布，全概率的计算公式.（1）根据超几何分布求出P(（2）设A表示穿红色衣物，则A表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则B表示穿套装.求出P(A)，21．【答案】（1）解：设曲线C上任一点的坐标为(x，y)，圆x2由题意可得