湖南省衡阳市第八名校2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题

湖南省衡阳市第八名校2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|y=lg(2x−1)}A．{x|−1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1}C．{x|−1≤x≤0} D．{x|0<x≤1}2．为了得到函数y=sin(2x−πA．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的12C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的123．已知两个单位向量e1与e2的夹角为π3，若a=e1+A．−12 B．12 C．4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3=7，S6=63，若关于A．12 B．16 C．24 D．365．已知直线l的倾斜角α满足120∘<α≤135∘A．[−1，−3C．(−3，−1]6．若复数1+ai1−i2023A．-1 B．0 C．1 D．27．已知△ABC中，AC=1，AB=2，BC=3，在线段AB上取一点M，连接CM，如图①所示．将△ACM沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，此时△BCM内部存在一点N，使得A'A．25 B．35 C．48．若函数f(x)=ax+bx在(0A．a=ln1.1，b=10 C．a=e0.2，b=0.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．定义在D上的函数f(x)，如果满足：存在常数M>0，对任意x∈D，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（）A．y=2B．y=C．y=D．y=x−[x]（[x]表示不大于x的最大整数）10．将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（）A．事件甲与事件丙为互斥事件B．事件甲与事件丁是相互独立事件C．事件乙包含于事件丙D．事件丙与事件丁是对立事件11．已知点F是抛物线C：x2=8y，直线l经过点F交抛物线于A，B两点，与准线交于点D，且A．AFB．直线l的斜率是±C．|AB|=9D．设原点为O，则△OAB的面积为2612．已知函数f(x)=x−tanx，x∈{x|0<x<5π2，x≠πA．当x∈(0，π2)时，C．若x2>x1，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知(1+x)8=14．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知3S315．已如圆台的高为2，上底面圆O1的半径为2，下底面圆O2的半径为4，A，B两点分别在圆O1、圆O2上，若向量O1A与向量O216．如图，在矩形ABCD中，|AB|=2|AD|，A1，A2分别为边AB，CD的中点，M，N分别为线段A2C（不含端点）和AD上的动点，满足|MA2||CD|=|DN||AD|四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知数列{an}（1）求数列{a（2）若bn=log2an18．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1）求角A的大小；（2）若b+c=6，点D在边BC上，且AD平分∠BAC，求AD的长度.19．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．（1）证明：AD⊥BC；（2）若AB=4，BC=2，且二面角A−BD−C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．20．某市在200万成年人中随机抽取了100名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于1.5小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于2.（1）试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；（2）省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中5500的成年人平均每天读书时长不低于a小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到（3）该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过20万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数x(x>1)，适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少10lnx00，“读书迷”愿意加入的人数会减少10ln21．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1、F（1）求双曲线C的方程；（2）若|AF1|=4（3）若M(−2，0)，试问：是否存在直线l22．已知函数f(x)=ke（1）判断函数f(x)的零点个数；（2）当k=1时，若对x∈[0，1]，函数F(x)=x+1f(x)+x+1−2x

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由y=lg(2x−1)可知2故答案为：D.

【分析】解出集合B，利用交集计算即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：为了得到函数y=sin(2x−π故答案为：B.

【分析】由题意，根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论.3．【答案】C【解析】【解答】解：两个单位向量e1与e2的夹角为π3，

则e→1=e→2，e→1·e→故答案为：C.

【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.4．【答案】C【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则S3=a11-q31-q=7，S6=a11-q61-q=63，

解得q=2，a1=1，∴an=2n-1，S2n=22n-1，∴关于n的不等式S2n−tan+33≥0，

故答案为：C.

【分析】由等比数列的前n项和公式列出关于a1和公比q的方程，解出a1，q，即可写出an与S2n，再将不等式S2n−ta5．【答案】C【解析】【解答】解：根据函数k=tanα的单调性，可知k的取值范围是(−3故答案为：C.

【分析】直接利用直线的倾斜角的范围求出斜率的范围.6．【答案】A【解析】【解答】解：因为1+ai1−i2023=1+ai故答案为：A.

【分析】利用复数的除法运算法则以及纯虚数的定义求解即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，连接MN，因为A'N⊥平面BCM，CN，MN⊂平面BCM，

所以A'N⊥CN，A'N⊥MN，在Rt△A'CN中，A'C=AC=1，CN=73，

所以A'N=A'C2-CN2=1-79=23，所以在Rt△A'MN中，A'M>A'N=23，

因为在△ABC中，AC2+BC2=1+3=4=AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，A=60°，B=30°，

因为CN=73，所以点N在以点C为圆心，73为半径的圆C上，作CD⊥AB于点D，

因为点C到直线AB的距离CD=ACsinA=32，且32<73<1，

所以圆C与线段AB交于两点，记为N1和N2，记圆C与线段CB的交点为N3，如图所示.

在△ACN1中，由余弦定理得cosA=AC2+AN12-CN122AC·AN1，代入数据，解得AN1=13，

同理，在△ACN2中，AN2=23，因为A'M=AM>23>13，所以点M在线段N1B上，

因为点N在△BCM内部，所以点N在弧N2N3上(不含点N2和N3).设AM=A'M=t，

当点N在点N2时，MN=MN故答案为：B.

【分析】根据题意，寻找点N的临界状态，再利用余弦定理、勾股定理计算，最后判断A'M的取值范围.8．【答案】D【解析】【解答】解：f(x)=ax+bx，a>0且a≠1，b>0且b≠1，f'(x)=axlna+bxlnb，

令g(x)=f'(x)，则g'(x)=ax(lna)2+bx(lnb)2>0恒成立，

故f'(x)=axlna+bxlnb在(0，+∞)上单调递增，

要想f(x)=ax+bx在(0，+∞)上单调递增，只需f'(0)=lna+lnb≥0，即只需ab≥1.

A、ab=10ln1.1，令h(x)=x-1-lnx，x>1，则h'(x)=1-1x=x-1x>0在(1，+∞)上恒成立，

故h(x)=x-1-lnx在(1，+∞)上单调递增，故h(1.1)>h(1)=0，即0.1>ln1.1>0，

故ab=10ln1.1<10×0.1=1，A错误；

B、由于In11<10，故ab=0.1ln11=ln1110<1，B错误；

C、ab=0.8e0.2，令q(x)=(1-x)ex，x∈(0，1)，则q'(x)=-ex+(1-x)ex=-xex<0恒成立，

故q(x)=(1-x)ex在(0，1)上单调递减，故q(0.2)<q(0)=1，即0.8e0.2<1，C错误；故答案为：D.

【分析】二次求导得到f'(x)=axlna+bxlnb在(0，+∞)上单调递增，要想f(x)=ax+bx在(0，+∞)上单调递增，只需ab≥1，A选项，构造h(x)=x-1-lnx，x>1，求导得到单调性，即可判断：B选项，ab=0.1ln11=ln1110<1，即可判断；C选项，令q(x)=(1-x)ex，x∈(0，1)，求导得到其单调性，求出0.8e0.29．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、因为2sin(2x+π3)≤2，故存在M=2使得|f(x)|≤2成立，A正确；

B、因为y=2x>0恒成立，且随着x的增大，y=2x→+∞，故不存在M，使得对任意x∈D，都有|f(x)|≤M成立，B错误；

C、因为y=故答案为：AD.

【分析】结合函数的性质，分析各选项中函数的值域，结含已知定义即可判断.【解析】【解答】解：由题意，事件甲：第一次掷出的数字是1有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，

事件乙：第二次掷出的数字是2有：(1，2)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，

事件丙：两点数之和为8的所有可能为：(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，

事件丁：两点数之和为7的所有可能为：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，

其中P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=536，P(丁)=636=16，

A、事件甲与事件丙不能同时发生，所以事件甲与事件丙是互斥事件，A正确；

B、由P(甲丁)=136，P(甲)P(丁)=16×1故答案为：AB.

【分析】根据题意，利用列举法得到事件甲，乙，丙，丁，再由事件的关系，以及独立事件的判定方法，逐项判定，即可求解.11．【答案】A,C【解析】【解答】解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(0，2)，由B向准线作垂线，垂足为M，由A向准线作垂线，垂足为N，连接BM，AN，如图：由题知，直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为：y=kx+2，

由y=kx+2x2=8y得：x2-8kx-16=0，△=64k2+64>0，x1+x2=8k，x1x2=-16.

A、因为B为AD的中点，所以△DBM~△ADN，所以|AN|=2|BM|，

因为|AF|=|AN|，|BF|=|BM|，所以AF=2FB，A正确；

B、因为AF=2FB，所以(-x1，2-y1)=2(x2，y2-2)，所以x1=-2x2，因为x1+x2=8k，x1x2=-16，所以16k×(-8k)=-16，解得k=±24，B错误；

C、y1+y2=k(x1+x2)+4=8k2+4=5，所以|AB|=y1+y2+4=9，C正确；

【分析】由B为AD中点和抛物线的定义可判断A；将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理可判断B；利用弦长公式可判断C，D.【解析】【解答】解：A、设∠AOB=a∈(0，π2)，作出单位圆，与x轴交于A点，则A(1，0)，

过点A作AC垂直于x轴，交射线OB于点C，连接AB，由三角函数定义可知AC=tana，AB^=a，

设扇形OAB的面积为S1，则S△OAC>S1，即12tanα>12α，故tana>a，

当x∈(0，π2)时，有不等式tanx>x，A正确；

B、画出y1=tanx，x∈{x|0<x<5π2，x≠π2且x≠3π2}与y2=x的函数图象如下，

由图象可知，x1∈(π，3π2)，x2∈(2π，5π2)，故x2+x1>3π，B错误；

C、y=tanx的最小正周期为π，由图象可知x2＞x1+π，故x2-x1＞π，C正确；

D、不妨设x2>x1，则3π2>x2-π>x1>π，因为y=1cosx在(π，3π2)上单调递减，

所以1cosx1>1cosx2-π=-1cos故答案为：ACD.

【分析】A选项，作单位圆，利用面积得到tana>a；BC选项，画出y1=tanx与y2=x的函数图象，数形结合判断；D选项，不妨设x2>x1，则3π2>x2-π>x1>π，根据y=1cosx在(π，313．【答案】129【解析】【解答】解：由(1+x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，

令x=1，可得a0+a1+a2+⋯+a8=28，即

(a0+a2+a4+a6+a8)+(a1+a3+a5+a7)=28，

令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+⋯+a8=0，即

(a故答案为：129.

【分析】分别令x=1和x=-1，联立方程组求得a0+a2+a4+a6+a8=27=128，再令x=0，求得a0=1，即可求得2a0+a2+a4+a6+a8的值.14．【答案】-1【解析】【解答】解：因为3S3=S2+2S故答案为：-1.

【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式和求和公式求得公差d.15．【答案】π【解析】【解答】解：作出示意图形，如下图所示，向量O1A与向量O2B的夹角为60°，结合O1A//O2C，得∠BO2C=60°，

所以△BO2C为等边三角形，设点A在圆O2所在平面内的射影为D，

连接AD、BD，则AD与O1O2平行且相等，且D为02C中点，

∠BAD(或其补角)就是异面直线AB与直线O1O2所成角，

Rt△BCD中，BD=42-22=23，

在Rt△ADB中，AD=O1O2=2，得tan∠BAD=BDAD=

【分析】设点A在圆O2所在平面内的射影为D，连接AD、BD，可证出∠BAD(或其补角)就是异面直线AB与直线O1O2所成角，然后在Rt△ADB中算出AD、BD的长，利用三角函数的定义算出答案.16．【答案】y=±【解析】【解答】解：以A1A2所在的直线为y轴，线段A1A2的中垂线所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系：设|AD|=|BC|=m(m>0)，则|AB|=|CD|=2m，则有A-m,-m2，Bm,-m2，A10,-m2，A20,m2，Cm,m2，D-m,m2，设Mx0,m20<x0<m，N-m,y0-m2≤y0≤m2，所以|MA2|=x0，DN=m2-y0，

又因为MA2CD=DNAD，所以x02m=m2-y0m，所以x0=m-2y0或y0=m-x0

【分析】以A1A2所在的直线为y轴，线段A1A2的中垂线所在的直线为x轴，求出直线A1M，A2N的方程，联立两方程解出点P的坐标，进而可得点P所在双曲线方程，由渐近线方程的求法求解.17．【答案】（1）解：由题意得a12当n≥2时，a12由①-②得an2n又n=1时，a1综上，an（2）解：由（1）可得bn故1b设数列{1bn⋅b所以T=1−1【解析】【分析】（1）利用错位相减法求解即可；

（2）利用裂项相消法求解即可.18．【答案】（1）解：因为sinC=2sinB因为a2=3b2+由余弦定理可得cosA=在△ABC中，A∈(0，所以A=2π（2）解：由（1）问可知A=2π3，所以c=2bb+c=6，解得c=4设AD=x，由AD平分∠BAC，所以S△ABD即12解得：x=bc故AD的长度为43【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，找到边的关系，借助余弦定理计算求解；

（2）结合（1），求解c=4b=2，利用S19．【答案】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又ACCD=C，AC，∴BC⊥平面ACD，又AD⊂平面ACD，∴AD⊥BC．（2）解：设CD=a(a>0)，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则C(0，0，0)，B(2，由（1）可得，AC⊥平面BCD，∴平面BCD的一个法向量是CA=(0设n=(x，y由条件得AB=(2，−2∴n⋅AB不妨令x=1，则y=33，∴n又二面角A−BD−C所成角θ的正切值是2，∴cos∴|cos∴|n⋅∴====8．∴该几何体ABCDE的体积是8．【解析】【分析】（1）由圆的性质可得AC⊥BC，由线面垂直的性质可得CD⊥BC，结合线面垂直的判断定理有BC⊥平面ACD，故平面ADC⊥平面DCBE；

（2）设CD=a，以CB，CA，CD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，结合(1)的结论可得平面BCD的一个法向量是CA=(0，23，20．【答案】（1）解：样本中“阅读爱好者”出现频率为(0.“阅读爱好者”的人数为200×160“读书迷”人数为200×(0.所以32万“阅读爱好者”中，“读书迷”约有6万人．（2）解：由题意知至多有4500的成年人每天读书时长少于即找到450又0.5×0.所以0.72×0.即参考标准a不能高于0.7小时（（3）解：“阅读爱好者”中非“读书迷”约有26(1−ln“读书迷”约有6(1−ln令26(1−ln化简得：13(解得：lnx≤−16513或ln所以会费参数x至少定为e4时，才能使入会的人员不超过20【解析】【分析】(1)求出样本中“阅读爱好者”出现的频率，从而求出“阅读爱好者”的人数和“读书迷”人数，由此能求出32万“阅读爱好者”中，“读书迷”人数.

(2)由题意可知至多有45%的成年人每天读书时长少于a，即找到45%分位数，由此能求出参考标准a.

(3)“阅读爱好者”中非“读书迷”约有26(1−lnx10)万人，“读书迷”约有21．【答案】（1）解：由题意可知：2b=42e=c所以双曲线C的方程为：x2（2）解：因为|AF1|=42，所以所以cos∠所以∠F1A（3）解：假设存在l满足要求，当l的斜率不存在时，l：x=−4，由