广东省广东实验2023-2024学年高三上学期1月第二次调研数学试卷

广东省广东实验2023-2024学年高三上学期1月第二次调研数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1}，A．1 B．2 C．3 D．42．已知数列{an}的前n项和为SA．{an}为等差数列 C．{Sn}为等差数列 3．已知sinα>0，cosα<0，则A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限4．如图，在△ABC中，满足条件AD=DB，AE=A．8 B．4 C．2 D．15．若a∈R，z为纯虚数，且2+(a−1)i=(2a+z)i，则|a+z|（）A．373 B．5 C．5 6．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v与时间t（月）近似地满足关系v=a⋅bt（其中a，b，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10A．20 B．28 C．32 D．407．已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（）A．463 B．26 C．78．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，经过FA．55 B．23 C．34二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．亚洲奥林匹克理事会宣布，原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．为了加大宣传力度，杭州某社区进行了以“中国特色、浙江风采、杭州韵味”为主题的知识竞赛，现随机抽取30名选手，其得分如图所示．设得分的中位数为m，众数为n，平均数为x，则（）

A．m=5 B．n=5 C．m>x D．10．下列说法不正确的是（）A．存在x∈R，使得1−B．函数y=sin2xC．函数y=cos2(x+D．若角α的终边经过点(cos(−3)，sin11．如图，抛物线C：y2=8x的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作A．若|AB|=10，则直线AB的方程为x−2y−2=0或x+2y−2=0B．PF⊥QFC．以线段AF为直径的圆与y轴相切D．|PQ|12．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域为R，若f'(2)=8，函数A．函数f'B．函数f'(x)的图象关于点C．i=1D．函数f(x)的图象关于直线x=3对称三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知二项式(1−ax)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数a14．已知数列{an}的首项为1，an15．在空间直角坐标系中，定义点A(x1，y1，z1)和点B(x2，y2，16．已知函数f(x)=sinx+ex−2(x<0)与四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知数列{an}（1）证明数列{an2（2）求数列{an}的前n18．在①(2−sinA)cosB−1=cosAsinB−2cosBsinC；②(2a−c)cosB=bcosC两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且____．（1）求角B的大小；（2）若点D满足BD=2BC，且线段AD=3，求19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB//CD，AB⊥AD，PA=AB=2，AD=DC=1，E为（1）若E为PB中点，求证：CE//平面PAD（2）若点E不与P和B重合，且二面角E-AC-P的余弦值为63，求AE与平面ABCD20．已知椭圆C的中心为坐标原点，记C的左、右焦点分别为F1，F2，上下顶点为B1，B（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点Q(0，2)的直线与椭圆C交于M，N两点，且OM⋅21．已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者a，b，c，d将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求a，（2）记甲，乙两队的最终人数分别为n1，n2，设随机变量X=|n22．已知函数f(x)=e（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由x2−3x+2=0，解得x=1或x=2，则B={1，2}，则A∪B=故答案为：D.【分析】解一元二次方程求得集合B，再根据集合的并集运算求A∪B，最后利用子集的个数公式求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：因为数列{an}满足an+2=2Sn由an+2=2Sn(n∈N*①-②可得an−a所以数列{an}为2由于S1=2，S2=0，由于S2=0，故数列故答案为：B.【分析】根据an=S1,n=1S3．【答案】D【解析】【解答】解：因为sinα>0，cosα<0，所以α为第二象限角，即所以π6当k=3n时，π6+2×3nπ3<α3<π3+2×3nπ3,k∈Z，即α3位于第一象限；

故α3故答案为：D.【分析】先通过条件确定α的范围，再求出α3的范围，分k=3n，k=3n+1和k=3n+24．【答案】A【解析】【解答】解：由图可知：DE=DA+AE，因为即DE=14BA+14故答案为：A.【分析】由图，利用向量加法的三角形法则，结合已知条件，可得DE=145．【答案】B【解析】【解答】解：因为z为纯虚数，所以设z=mi(m∈R,由2+(a−1)i=(2a+z)i，得2+(a−1)i=−m+2ai，所以2=−ma−1=2a，解得a=−1m=−2，所以z=−2i，则故答案为：B．【分析】由题意，设z=mi(m∈R,6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得0.1=a⋅b12由1=0.025⋅2t6，解得2故答案为：C.【分析】先由题给条件求得正常数a，b的值，得到分解率v与时间t（月）近似地满足关系v=0.7．【答案】A【解析】【解答】解：由题意知，六棱锥的底面六边形的顶点在同一个截面圆上，易知当六边形为正六边形时，其面积最大，要使六棱锥的体积最大，则该六棱锥为正六棱锥，设正六边形的边长为a(0<a≤2)，六棱锥的高为h由球的性质可知，(h−2)2所以正六棱锥的体积V=1设f(x)当f'(x)>0时，x∈(0所以函数f(x)在区间(当x=83时，函数f(x)取得最大值，即h=所以正六棱锥的侧棱长l=a故答案为：A．【分析】由该六棱锥为正六棱锥时，其体积最大结合体积公式得出V=38．【答案】A【解析】【解答】因为3IB+4IA如图，在BF2上取一点M，使得|BM|：|MF则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以S△IA所以|AF设|AF2|=3x由椭圆定义可知：|AF2|+|BF2所以|AF2|=a，故点A与上顶点重合，在△ABFcos∠BA在△AF1F解得：ca所以椭圆离心率为55故答案为：A

【分析】对3IB+4IA+5IF2=0变形得到38IB9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、由图可知，30名选手得分的中位数为第15个数和第16个数（分别是5和6）的平均数，即中位数m=5.B、由图可知，5出现的次数最多，所以众数n=5，故B正确；CD、因为平均数x=130故答案为：BD.【分析】根据中位数、众数和平均数相关概念直接计算求解即可.【解析】【解答】解：A、因为cosx∈[−1，1]又因为log2110<B、函数y=sin2xcosC、函数y=cos2(x+π3)，令2(x+所以函数y=cos2(x+π3)D、因为cos(−3)=所以角α的终边在第三象限，即角α是第三象限角，故D正确．故答案为：ABC．【分析】利用立方差公式即可判断A；利用二倍角公式化简求周期即可判断B；根据余弦函数的对称性即可判断C；根据角的范围判定符号即可判断D.【解析】【解答】解：A、易知抛物线的焦点F(2,0)，显然直线设直线AB的方程为x=my+2，A(x1,所以P(−2,y1)，Q(−2,y2)，联立直线和抛物线方程y2=8xx=my+2，消元整理可得y2−8my−16=0，

由韦达定理可得y1+y2=8m，y1B、因为kPF=y所以kPF⋅kC、由抛物线定义知，|AF|=x1+2，线段AF即线段AF的中点到y轴的距离是12|AF|，所以以线段AF为直径的圆与D、|PQ|2|AF||BF|=(x1+2)(故答案为：BCD.【分析】设直线AB方程x=my+2，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦半径公式计算即可判断A；通过计算kPF⋅kQF即可判断B；通过计算线段AF的中点到12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因为函数f(2x+1)为偶函数，所以f(−2x+1)=f(2x+1)，两边求导可得−2f'(−2x+1)=2f'(2x+1)，所以−f'(−2x+1)=由f'(x)=−f'(2−x)，令x=1因为函数f'(x+2)为偶函数，所以f'(−x+2)=f'(x+2)所以函数f'(x)=−f'(2−x)=−因为f'(x)=f'(4−x)，令x=1令x=2，得f'所以i=12023因为f'(x+4)=f所以f'(4+x)=−f'(2−x)再证明：若函数f(x)连续可导，且导函数f'(x)图象关于点(a,0)对称，则函数若导函数f'(x)图象关于点(a,即f'(x)+f则F'(x)=f'(x)+又因F(a)=f(a)−f(2a−a)=0，所以F(x)=0.所以f(x)−f(2a−x)=0，即f(x)=f(2a−x)，所以函数f(x)得图象关于直线x=a对称.所以函数f'(x)关于点(3,0)对称，可得故答案为：BCD.【分析】根据函数奇偶性的定义，由周期函数的定义求解即可判断A；结合函数的对称性求解即可判断B；根据函数周期性的性质求解即可判断C；根据原函数与导数的对称性关系求解即可判断D.13．【答案】3【解析】【解答】解：因为二项式(1−ax所以展开式共有7项，即n=6，令x=1，展开式中所有项的系数和为(1−a)6所以a=3或a=−1（舍去），所以正数a的值为3.故答案为：3.【分析】根据题意，推出二项式(1−ax)n展开式共有7项，求得n=614．【答案】81【解析】【解答】解：因为数列满足anan+1=3则an+1an+2所以数列{an}同理，各个偶数项a2,a4,故答案为：81.【分析】由数列满足anan+1=3n(n∈N*15．【答案】[【解析】【解答】解：由题意可得AB=(所以设|x其中θ,φ∈[0==3因为θ∈[0,π2]，所以设t=sin(θ+=6因为φ∈[0,π2因此当t=1且φ+arctan12t=d(A,B)当t=22且φ=0或φ=π此时arctan12t=arctan所以d(A,B)综上，A和B两点之间的“直角距离”的取值范围是[3故答案为：[3【分析】根据空间两点间距离公式，结合三角代换法、辅助角公式、正弦型函数的最值性质求解即可.16．【答案】(−1【解析】【解答】解：因为函数f(x)=sinx+ex−2(x<0)与g(x)=sinx+1即当且仅当m=x−12−e因为y=e−x在(0,+∞)上单调递减，所以由复合函数单调性可知所以y=−12−e又因为y=x在(0,+∞)上单调递增，所以y=h(x)=x−1且当x→+∞时，y=x−12−e−x→+∞，所以若m=x−故m的取值范围是(−1,故答案为：(−1,【分析】由题意得方程f(−x)+g(x)=0在(0,+∞)上有解，即m=x−117．【答案】（1）解：因为an+1=2a所以an+1所以{an2所以an2（2）解：由（1）知，an所以Sn所以2S所以−=4+3×4−所以S【解析】【分析】本题考查等差数列的定义，错位相减法求数列的和.（1）已知an+1=2an+6⋅2n，等式两边同时除以2n+1可得：an+1（2）由（1）知，an=(3n−1)⋅2n，可写出Sn=2×2+5×218．【答案】（1）解：选①，2cosB−1=sinAcosB+cosAsinB−2cosBsinC=sin(A+B)−2cosBsinC=(1−2cosB)sinC，所以(1+sinC)(2cosB−1)=0．因为1+sinC≠0，所以2cosB−1=0，即cosB=1所以B=π选②．由(2a−c)cosB=bcosC及正弦定理得sinBcosC=(2sinA−sinC)cosB，所以2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA．因为A，B∈(0，π)，所以所以cosB=1所以B=（2）解：如图，点D满足BD=2BC，则BC=CD，故BD=2a，又故AD即c2+4a2−9=2ac≥4ac−9故S△ABC=12acsinB≤【解析】【分析】（1）选①：利用两角和的正弦公式化简即可求得角B；

选②：根据已知条件，利用正弦定理和两角和正弦公式求解即可；（2）由余弦定理和基本不等式求出ac≤919．【答案】（1）解：取PA的中点F，连结DF，EF又∵E为PB中点，所以EF//AB，且又∵DC//AB，且∴EF//DC，∴四边形CDFE为平行四边形，∴CE//DF，又∵CE⊄平面PAD，DF⊂平面∴CE//平面PAD（2）解：由题意，PA，AB，AD则P(0，0，则AP=(0，0设平面PAC的法向量为n1=(x，令x=1得，n1设平面EAC的法向量为n2=(x令x=1得，n2故|cosn1，解得a=1或a=4（舍），故E(记AE与平面ABCD所成的角为α，平面ABCD的法向量为AP=则sinα=|cosAE⋅AP|=|故tanα=1，即AE与平面ABCD所成角的正切值为1．【解析】【分析】（1）取PA的中点F，连结DF,EF；证明四边形CDFE为平行四边形，从而推出CE//DF，即可证明（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，以及平面PAC与平面EAC的法向量，结合题意得方程22×2+(a2−a)2=63，从而解出点E(0,120．【答案】（1）解：由题意知|B1B2|=2，则故椭圆C的标准方程为x2（2）解：由题意知如图所示：

直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为y=kx+2，联立y=kx+2x24由Δ=(16k)2−4×(1+4设M(x1，y1)，则y1因为OM⋅ON>0，所以x∴34<k2<4综上，斜率范围为(−2【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的性质求得b、a的值，即可得椭圆方程；（2）根据题意，直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为y=kx+2，联立直线和椭圆方程，消元整理利用韦达定理及OM⋅ON>0坐标表示得到关于k21．【答案】（1）解：a，记事件A=“a被分至甲队”，事件B=“b被分至甲队”，事件C=“c被分至甲队”，当a即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a被分至甲队即a摸出红球的概率为P(当a被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b被分至甲队即b摸出红球的概率为P(当a，b均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c被分至甲队即c摸出红球的概率为所以P(AB)同理知：新增登山爱好者a，b，所以a，b，（2）解：由题设，X可能取值为4，X=4为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则P(X=2为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第k(P1=P(P3=P(所以