湘教版七年级数学下册第五章轴对称与旋转教学课件

5.1轴对称湘教版七年级数学下册第五章轴对称与旋转逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2轴对称图形轴对称变换轴对称的性质知1－讲感悟新知知识点轴对称图形及其相关概念11.如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形就是一个轴对称图形，这条直线就是它的一条对称轴.感悟新知知1－讲特别解读轴对称图形的三个条件：1.一个整体图形；2.一条直线：对称轴；3.直线两旁的部分完全重合.感悟新知2.对称轴、轴对称图形将图形（Ⅰ）沿着一条直线折叠，得到另一个图形（Ⅱ），我们把图形的这种变换称为关于这条直线的轴对称，此时称这两个图形关于这条直线对称，也称图形（Ⅰ）与（Ⅱ）成轴对称，这条直线叫作对称轴.原来的图形（Ⅰ）叫作原像，得到的图形（Ⅱ）叫作原图形在这个轴对称下的像.知1－讲感悟新知原像的一个点P

在轴对称下变成像里的一个点P′，称点P与点P′关于这条直线对称，称点P′是点P关于这条直线的对称点，也称点P′是点P

在这个轴对称下的对应点.如果一个图形上的每一个点关于某条直线的对称点都在这个图形上，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作这个图形的对称轴.知1－讲感悟新知知1－讲温馨提示1.轴对称图形是一个图形自身的特性，它被对称轴分成的两部分能够互相重合，其对应点在同一图形上.2.对称轴是一条直线，而不是射线或线段.3.一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条.感悟新知3.几种常见的轴对称图形及对称轴：知1－讲名称图形及其对称轴对称轴的条数对称轴角1条角平分线所在的直线等腰三角形1条底边上的高（底边上的中线或顶角的平分线）所在的直线感悟新知知1－讲名称图形及其对称轴对称轴的条数对称轴等边三角形3条各边上的高（各边上的中线或各内角平分线）所在的直线等腰梯形1条过上、下底中点的直线感悟新知知1－讲名称图形及其对称轴对称轴的条数对称轴长方形2条对边中点的连线所在的直线正方形4条①对角线所在的直线；②过对边中点的直线圆无数条过圆心的直线知1－练感悟新知[中考·重庆]下列标点符号（如图5.1-1）中，是轴对称图形的是（）例1考向：利用轴对称图形及其相关概念解决问题知1－练感悟新知解题秘方：根据轴对称图形的定义进行判断，关键是找到一条直线，使得直线两侧的部分能够完全重合.知1－练感悟新知解：根据轴对称图形的定义可知，感叹号是轴对称图形，逗号、分号、问号不是轴对称图形.答案：A知1－练感悟新知方法点拨判断轴对称图形的方法：根据图形的特征，如果能找到一条直线，沿着这条直线对折，直线两边的部分能够重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则就不是轴对称图形.感悟新知知2－讲知识点轴对称21.定义：如果一个图形关于某一条直线作折叠后，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称.知2－讲感悟新知识别轴对称的方法：定义法：紧扣定义中的“两个图形，一条直线，完全重合.”反面观察法：从纸的反面观察图形，若观察到的和正面一样，就成轴对称.感悟新知知2－讲2.轴对称与轴对称图形的区别与联系：名称轴对称轴对称图形区别对象不同两个图形一个图形意义不同两个图形的特殊位置关系一个具有特殊形状的图形对应点位置不同对应点分别在两个图形上对应点在同一个图形上知2－讲感悟新知名称轴对称轴对称图形区别对称轴位置不同两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点)轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部对称轴数量不同只有一条有一条或多条或无数条知2－讲感悟新知联系(1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠.

(2)

把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称感悟新知知2－练利用下列图案（如图5.1-2①②）中的对称点，画出图案的对称轴.例2

考向：利用成轴对称图形及其相关概念解决问题题型1对称轴的定义在作成轴对称图形的对称轴中的应用感悟新知知2－练解：如图5.1-2①②.解题秘方：先从图上找出两个对称点，连接，作垂直平分对应点连线的直线就是对称轴.知2－练感悟新知特别解读轴对称的三个条件：1.有两个图形；2.存在一条直线；3.一个图形沿着这条直线折叠后与另一个图形重合.轴对称的一个特性：成轴对称的两个图形可以完全重合，但可以完全重合的两个图形不一定成轴对称.感悟新知知2－练如图5.1－3的四组图形中，成轴对称的有(

)A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组例3

题型2利用轴对称的定义识别轴对称知2－练感悟新知答案：D解题秘方：根据轴对称的定义识别.解：根据轴对称的定义，可以判断只有④中的两个图形沿着某一条直线对折后，两个图形能够重合，所以成轴对称的只有1组.感悟新知知3－讲知识点轴对称的性质31.轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.因此，若两个图形关于一条直线对称，则其中一个图形上的任意一个点P与另一个图形上的对应点P′的连线段PP′被这条直线垂直平分，反过来，若两个图形的任意一组对应点的连线段都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称.感悟新知知3－讲特别地，若点P

与点P′关于一条直线对称，则线段PP′被这条直线垂直平分.反过来，若线段PP′被一条直线垂直平分，则点P

与点P′关于这条直线对称.感悟新知知3－讲2.在图5.1-4中，将△ABC沿直线l折叠，在这个轴对称下，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′.通过比较可以发现：AB=A′B′，BC=B′C′，∠ABC=∠A′B′C′.从这个例子以及大量的实践经验可以得出：轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.知3－讲感悟新知特别解读1.轴对称图形或成轴对称的两个图形的对应线段、对应角相等；2.成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于某一点，且该点一定在对称轴上.知3－练感悟新知如图5.1－5，画出下列图形关于直线l

对称的图形.例4考向：利用轴对称和轴对称图形的性质解决问题题型1轴对称的性质在画成轴对称的图形中的应用知3－练感悟新知解题秘方：找全确定已知图形形状的特殊点，画出这些特殊点关于直线l

的对应点，然后按原图顺序连接所画的对应点.解：如图5.1－6.知3－练感悟新知方法点拨◆找特殊点的方法：规则图形的特殊点是图形的顶点，不规则图形的特殊点是线与线的交点.◆作对应点的方法：过这个点作对称轴的垂线，并延长一倍，就得到该点的对应点.知3－练感悟新知如图5.1－7是轴对称图形，图中直线l

是它的对称轴.请据此解决下列问题．例5题型2轴对称图形的性质在判断相关关系中的应用知3－练感悟新知(1)∠3和∠4有什么关系？AB

与A′B′呢？为什么？(2)DD′与直线l

有什么关系？为什么？(3)写出图中其他相等关系．(不少于三对)解题秘方：紧扣轴对称图形的性质进行解答.知3－练感悟新知解：(1)∠3=∠4，AB=A′B′．因为轴对称图形被对称轴分成的两部分可以完全重合，由此得到对应角、对应边相等.(2)直线l垂直平分DD′，因为在轴对称图形中，任何一对对应点所连线段都被对称轴垂直平分．(3)AD=A′D′，∠1 =∠2，DC=D′C′．(答案不唯一)知3－练感悟新知解法提醒轴对称图形和轴对称的性质中关键有两点：一是对应图形可以完全重合，由此可得到对应的边、角相等；二是对称轴的垂直平分性.揭示对称轴与对应点所连线段之间的位置关系.知3－练感悟新知如图5.1-8，△ABC

和△DEF

关于直线l对称，已知∠A=115°，∠E=42°，DF=8．求∠F的度数和AC

的长．例4

题型3轴对称的性质在计算中的应用知3－练感悟新知解题秘方：紧扣轴对称的性质确定对应元素进行计算.解：因为△ABC

和△DEF

关于直线l对称，所以∠D=∠A，AC=DF.因为∠A=115°，DF=8，所以∠D=115°，AC=8.在△DEF

中，因为∠D=115°，∠E=42°，所以∠F=180°-∠D-∠E=23°．知3－练感悟新知解法提醒利用轴对称的性质求线段的长度或角的度数的方法：先根据轴对称的特征确定两个图形的对应边、对应角，再运用轴对称的性质(对应边相等，对应角相等)，把要求的边或角与已知的对应边或对应角建立联系，从而求出待求的线段的长度或角的度数.轴对称轴对称的性质轴对称轴对称图形轴对称变换5.2旋转第五章轴对称与旋转逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2旋转的定义旋转作图旋转的性质知1－讲感悟新知知识点旋转的相关概念11.图形旋转的概念：如图5.2—1，将图形（Ⅰ）上的每一个点，绕这个平面内一定点O

按同一个方向旋转同一个角α，此处旋转是指平面内的变换，因此，“平面内”这一条件不可忽略.知1－讲感悟新知即把图形（Ⅰ）上的每一个点与定点的连线绕定点O

按同一个方向旋转角α，得到图形（Ⅱ），我们把图形的这种变换叫作旋转.这个定点O叫旋转中心，角α

叫作旋转角.原位置的图形（Ⅰ）叫作原像，新位置的图形（Ⅱ）叫作图形（Ⅰ）在旋转下的像.图形（Ⅰ）上的每一个点P

与它在旋转下的像点P′叫作在这个旋转下的对应点.感悟新知知1－讲特别提醒1.旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点.2.旋转方向可以是顺时针方向，也可以是逆时针方向.3.某些特殊图形经过旋转变换后得到的新图形可以与原图形重合，如圆绕圆心旋转任意角度还是原位置的圆.感悟新知2.图形旋转的三要素：知1－讲旋转中心旋转过程中的定点，即不动的点，如右图中的定点O旋转角转动的角(在本书中，旋转角不大于360°)，如右图中的∠POP′旋转方向顺时针或逆时针，如右图中时针的旋转方向为顺时针感悟新知知1－讲3.图形旋转中的对应元素(如图5.2－1

)知1－练感悟新知如图5.2－3，A，B，C

三点共线，△ACD和△BCE都是等边三角形，△ACE经过旋转后到达△DCB

的位置.(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转角是多少度？例1考向：利用旋转的定义认识旋转的“三要素”知1－练感悟新知解题秘方：紧扣“图形旋转时，固定不动的点是旋转中心，转过的角是旋转角”进行判断.知1－练感悟新知解：(1)点C

是在△ACE旋转过程中不动的点，所以点C

是旋转中心.(2)△ACE

旋转后到达△DCB的位置，AC

绕点C

旋转到DC，AC转过的角即∠ACD

就是旋转角.因为△ACD是等边三角形，所以∠ACD=60°，即旋转角是60°.知1－练感悟新知解法提醒△ACE经过旋转后得到△DCB.（1）三角形在旋转过程中不动的点是旋转中心；（2）两个三角形的对应边所夹的角即为旋转角.感悟新知知2－讲知识点旋转作图21.作图依据：旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，每组对应点都旋转相同的角度.感悟新知知2－讲2.旋转作图的一般步骤：（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角.（2）找出图形的关键点，一般是图形中的转折点.（3）作旋转后的对应点，方法如下：①连：连接图形的每个关键点与旋转中心；②转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）；感悟新知知2－讲③截：在作得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点；（4）按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形；（5）写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形.感悟新知知2－讲易错点拨画旋转图形时容易忽视对旋转方向的要求，除了旋转中心及旋转角之外，还应指明旋转方向是顺时针还是逆时针，若无特别说明，则应考虑两种情况.考向：利用旋转作图的方法作旋转后的图形例2如图5.2-4，△ABC

绕点O

旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法．解题秘方：在旋转作图时，要紧扣以下三点：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）旋转的角度相等；（3）旋转的方向相同.解：如图5.2-5.作法：（1）连接OA，OB，OC，OD；（2）分别以OB，OC为边作∠BOM=∠CON=∠AOD；（3）分别在OM，ON上截取OE=OB，OF=OC；（4）连接DE，EF，FD，

△DEF

就是所求作的三角形.解法提醒为了避免作图混乱，也可以对一个关键点连、转、截，找到其对应点后再进行下一个关键点的旋转；已知旋转中心和一组对应点，画旋转图形时要先将这组对应点与旋转中心相连，找出旋转方向和旋转角.由此将此类问题转化成已知旋转三要素的旋转作图.感悟新知知2－讲知识点旋转的性质31.旋转的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.2.旋转保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.感悟新知知2－讲如图5.2-6，△ABC绕点O逆时针旋转60°得到△A′B′C′，对应点A，A′与点O的距离相等，即AO=A′O.类似地，BO=B′O，CO=C′O，对应点A，A′与B，B′与C，C′与旋转中心的连线所成的角相等，且等于旋转角，即∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=60°.感悟新知知2－讲如图5.2-6，通过比较可以发现，AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′；∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′.也可以表达为：旋转前后对应边相等，对应角相等.知2－讲感悟新知特别提醒要注意区分旋转角与对应角、对应点到旋转中心的距离与对应线段的长度：旋转角是指图形旋转过的角度，而非图形中的角度，对应角是指图形旋转前、后能够互相重合的角，是图形中的角；对应点到旋转中心的距离是图形上的点到旋转中心的距离，对应线段的长度则是图形的边长.感悟新知知2－练如图5.2－7，在正方形ABCD中，点E

在BC

上，∠FDE=45°，△DEC按顺时针方向旋转一个角度后到达△DGA

的位置.例3

考向：利用旋转的性质识别旋转前后对应图形的关系知2－练感悟新知解题秘方：紧扣旋转的性质解答相关问题.感悟新知知2－练(1)图中哪一个点是旋转中心？旋转角是多少度？解：图中的点D

是旋转中心，旋转角是90°.感悟新知知2－练(2)请写出图中旋转图形的对应线段与对应角.解：图中DE

与DG，DC

与DA，EC与GA

是对应线段；∠CDE

与∠ADG，∠C与∠DAG，∠DEC

与∠G

是对应角.感悟新知知2－练(3)请写出图中除正方形的四条边、直角外的相等线段与相等角及能够完全重合的三角形.解：相等线段：DG=DE，GA=EC；相等角：∠G=∠DEC=∠ADE，∠ADG=∠CDE，∠GDF=∠FDE，∠AFD=∠CDF；能够完全重合的三角形：△DEC

与△DGA.感悟新知知2－练(4)求∠GDF的度数.解：因为△DEC

绕点D

顺时针旋转90°到△DGA

的位置，所以∠GDE=90°.所以∠GDF=∠GDE

－

∠FDE=90°－45°=45°.知2－练感悟新知解题通法由于旋转前后两个图形的形状、大小未发生改变，所以我们在利用旋转来解决与其相关的问题时应抓住以下三点：1.明确旋转中的“变”与“不变”；2.找准旋转前后的“对应关系”，正确判断旋转前后图形的对应点、对应角、对应线段以及旋转角，这是理解和应用旋转特征的基础；3.充分挖掘旋转过程中的相等关系.旋转旋转旋转角旋转中心旋转方向定义性质作图三要素5.3图形变换的简单应用第五章轴对称与旋转逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2图案的形成图案设计知1－讲感悟新知知识点图案的形成11.图案的形成：分析图案的形成过程时，要认真观察整个图案，从中找出基础图形，从基础图形的大小、形状、位置、距离等方面加以分析，确定由基础图形得到整个图案的变换方式.感悟新知知1－讲特别提醒基础图形可能是一种图形，也可能是两种或更多种图形的组合图形，一个图案中的基础图形可以有多种.感悟新知2.平面图案的形成依据：平移、旋转和轴对称.3.常见的形成图案类型有：(1)平移变换；(2)旋转变换；

(3)轴对称变换；(4)旋转变换与平移变换的组合；(5)旋转变换与轴对称变换的组合；(6)轴对称变换与平移变换的组合.知1－讲知1－练感悟新知如图5.3－1中的图案是由六个完全相同的菱形拼成的，它也可以看成是以一个图案为基础图形，通过旋转得到的，如图5.3－2的图案中，不能作为基础图形的是()例1考向：利用图案的特征分析图案的形成方法知1－练感悟新知解：A中的图案经过旋转可以得到整个图案；C和D中的图案经过轴对称或旋转可以得到整个图案.解题秘方：紧扣“能够经过旋转、平移、轴对称等变换形成已知图案的简单图案是基础图形”进行判断.答案：B知1－练感悟新知解题通法分析图案形成过程的一般步骤：1.确定设计图案的表达意图；2.分析图案所给定的基