【八年级下册数学浙教版】第四章 平行四边形（压轴题专练）

第四章平行四边形（压轴题专练）一．选择题（共8小题）1．（2023秋•泰山区期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023秋•任城区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为ts，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（）A． B． C．或 D．或3．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD的长为（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.54．（2023春•海阳市期中）已知▱ABCD的边AD＝10，∠DAB的平分线交CD所在直线于点E，且CE＝2，则边AB的长为（）A．8 B．10 C．12 D．8或125．（2023秋•江油市期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数可能是（）A．10或11 B．11C．11或12 D．10或11或126．（2022秋•钢城区期末）如图，BD为▱ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD延长线于点G，下列结论：①∠A＝∠BHE；②∠BHD＝∠BDG；③BE2+BG2＝AG2；④若EH＝2HD，则CE2，其中正确的结论有几个（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2021•河北）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是8．（2023春•鱼台县期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共9小题）9．（2021春•上城区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是_________．10．（2020•河北模拟）如图，点E、F分别在平行四边形ABCD边BC和AD上（E、F都不与两端点重合），连接AE、DE、BF、CF，其中AE和BF交于点G，DE和CF交于点H，令＝n，＝m，若m＝n，则图中有_______个平行四边形（不加别的辅助线）；若m+n＝1，且四边形ABCD的面积为28，则四边形FGEH的面积为_______．11．（2023秋•岱岳区期末）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是__________________．12．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AD＝2AB＝8，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为_________________．13．（2023秋•潮南区期末）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为____________________．14．（2022秋•淄川区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝4.9，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别交BA，CD的延长线于点M，N，且∠BMF＝∠CNF，则CD的长为__________．15．（2022春•海陵区校级期末）定义：作▱ABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为▱ABCD的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围____________．16．（2022春•河北区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是_______．17．（2023春•浙江期中）如图，有一张平行四边形纸条ABCD，AD＝5cm，AB＝2cm，∠A＝120°，点E，F分别在边AD，BC上，DE＝1cm．现将四边形CFED沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′上．当点C′恰好落在边AD上时，线段CF的长为_________________cm．在点F从点B运动到点C的过程中，若边FC'与边AD交于点M，则点M相应运动的路径长为_____________________cm．三．解答题（共5小题）18．（2023•蜀山区二模）如图1，在四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形．（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD＝90°，求证：BR＝RD；（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？19．（2023秋•宁阳县期末）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形；（3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．20．（2023秋•杜尔伯特县期末）在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若∠DAF＝∠BAF，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．21．（2023春•浙江期中）已知在平行四边形ABCD中，E是边AD的中点，F是边AB上一动点．（1）如图1，连接FE并延长交CD的延长线于点G，求证：E是FG的中点；（2）如图2，若CF⊥AB，AD＝2AB，求证：∠DEF＝3∠AFE；（3）如图3，若CF⊥AB，AD＝2AB＝4，∠B＝60°时，K是射线CD上一个动点，将EK逆时针旋转90°得到EM，连接FM，求FM的最小值．22．（2023春•海曙区校级期中）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．（2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，当运动时间为__________________秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．（3）如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点，连接AE，当AE⊥CE，DF＝8时，求AC的长．（4）如图4，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB＝4cm，求△APF的面积．

第四章平行四边形（压轴题专练）答案全解全析一．选择题（共8小题）1．（2023秋•泰山区期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB＝BC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S平行四边形ABCD＝AB⋅AC；根据AB＝BC，OB＝BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；可得OE是三角形的中位线，证得④OE＝BC；由等边三角形的性质得到∠AEC＝120°，根据等腰三角形的性质可得∠AEO＝∠AEC＝60°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，∵∠ABE＝∠ADC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴BE＝BC，∴BE＝CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，∴∠ECA＝30°，∴∠CAD＝∠ECA＝30°，故①正确；∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确；AB⊥OA，∴OB＞AB，∴OB≠AB，故③错误；∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD//BC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE＝AB＝BC，故④正确；∵△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵CE＝AE，OA＝OC，∴∠AEO＝∠CEO＝∠AEC＝60°，故⑤正确．故选：D．2．（2023秋•任城区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为ts，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（）A． B． C．或 D．或【分析】由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．设运动时间为t．当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t，∴10﹣t＝10﹣2.5t，1.5t＝0，∴t＝0（舍去）；当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10，∴10﹣t＝2.5t﹣10，解得：t＝；当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t，∴10﹣t＝30﹣2.5t，解得：t＝（舍去）；综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．故选：B．3．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD的长为（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.5【分析】延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，依据等腰三角形的判定与性质，即可得到PQ的长；再根据三角形中位线定理，即可得到DG的长等于PQ的长的一半．【解答】解：如图所示，延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，∵CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，∴∠ACD＝∠PCD，∠ABG＝∠QBG，又∵AD⊥CF，AG⊥BE，∴∠ADC＝∠PDC，∠AGB＝∠QGB，∴∠CAP＝∠P，∠BAG＝∠Q，∴AC＝PC＝8，AB＝QB＝9，又∵BC＝7，∴PQ＝BQ+PC﹣BC＝9+8﹣7＝10，∵AC＝PC，CD平分∠ACP，∴点D是AP的中点，同理可得，点G是AQ的中点，∴DG是△APQ的中位线，∴DG＝PQ＝5，故选：B．4．（2023春•海阳市期中）已知▱ABCD的边AD＝10，∠DAB的平分线交CD所在直线于点E，且CE＝2，则边AB的长为（）A．8 B．10 C．12 D．8或12【分析】由平行四边形的性质推出AB∥DC，由角平分线定义，平行线的性质推出DE＝AD＝10，分两种情况即可求解．【解答】解：如图，当E在DC延长线上时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠E＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠E＝∠DAE，∴DE＝AD＝10，∴DC＝DE﹣CE＝10﹣2＝8，∴AB＝CD＝8；如图，当E在线段CD上时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AED＝∠DAE，∴DE＝AD＝10，∴DC＝DE+CE＝10+2＝12，∴AB＝CD＝12，∴AB的长是8或12．故选：D．5．（2023秋•江油市期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数可能是（）A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12【分析】先设内角和是1620°的多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式，列出关于n的方程，求出n，再根据一个多边形截去一个角后边数可以增加1，不变或减少1，求出原多边形的边数即可．【解答】解：设内角和是1620°的多边形的边数为n，则180（n﹣2）＝1620，n﹣2＝9，n＝11，∵一个多边形截去一个角后边数可以增加1，不变或减少1，∴原多边形的边数可能是10或11或12，故选：D．6．（2022秋•钢城区期末）如图，BD为▱ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD延长线于点G，下列结论：①∠A＝∠BHE；②∠BHD＝∠BDG；③BE2+BG2＝AG2；④若EH＝2HD，则CE2，其中正确的结论有几个（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，得∠BEH＝∠DEC＝∠CFB＝90°，则∠C+∠EHF＝180°，而∠BHE+∠EHF＝180°，所以∠BHE＝∠C，由平行四边形的性质得∠A＝∠C，所以∠A＝∠BHE，可判断①正确；由AD∥BC，得∠ADB＝∠DBC＝45°，则∠BDG＝135°，∠EDB＝∠DBC＝45°，所以∠BHE＞45°，则∠BHD＜135°，所以∠BHD≠∠BDG，可判断②错误；因为∠ABG＝∠DFG＝90°，所以AB2+BG2＝AG2，由DE＜CD，且BE＝DE，AB＝CD，得BE＜AB，可知BE2+BG2≠AG2，可判断③错误；由EH＝2HD，得BE＝DE＝EH，再证明△BHE≌△DCE，得EH＝CE，则BE＝DE＝CE，所以BC＝CE，则S▱ABCD＝BC•DE＝CE2，可判断④正确，于是得到问题的答案．【解答】解：∵DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，∴∠BEH＝∠DEC＝∠CFB＝90°，∴∠C+∠EHF＝360°﹣2×90°＝180°，∵∠BHE+∠EHF＝180°，∴∠BHE＝∠C，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠BHE，故①正确；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°，∴∠BDG＝180°﹣45°＝135°，∠EDB＝∠DBC＝45°，∵∠BHE＞∠EDB，∴180°﹣∠BHD＝∠BHE＞45°，∴∠BHD＜135°，∴∠BHD≠∠BDG，故②错误；∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠DFG＝90°，∴AB2+BG2＝AG2，∵DE＜CD，且BE＝DE，AB＝CD，∴BE＜AB，∴BE2+BG2≠AG2，故③错误；∵EH＝2HD，∴BE＝DE＝EH，在△BHE和△DCE中，，∴△BHE≌△DCE（AAS），∴EH＝CE，∴BE＝DE＝CE，∴BC＝CE+CE＝CE，∴S▱ABCD＝BC•DE＝CE×CE＝CE2，故④正确，故选：B．7．（2021•河北）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；方案乙：证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；方案丙：证△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；方案乙中：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；方案丙中：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；故选：A．8．（2023春•鱼台县期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC＝DF＝AE＝4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝3，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°，则③正确；最后求出S▱AEFD＝6，故④错误；即可得出答案．【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；过A作AG⊥DF于G，如图所示：则∠AGD＝90°，∵四边形AEFD是平行四边形，∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，∴AG＝AD＝，∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6，故④错误；∴错误的个数是1个，故选：A．二．填空题（共9小题）9．（2021春•上城区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是16．【分析】根据题意，OM垂直平分AC，所以MC＝MA，因此△CDM的周长＝AD+CD，可得平行四边形ABCD的周长．【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵OM⊥AC，∴AM＝MC．∴△CDM的周长＝AD+CD＝8，∴平行四边形ABCD的周长是2×8＝16．故答案为：16．10．（2020•河北模拟）如图，点E、F分别在平行四边形ABCD边BC和AD上（E、F都不与两端点重合），连接AE、DE、BF、CF，其中AE和BF交于点G，DE和CF交于点H，令＝n，＝m，若m＝n，则图中有4个平行四边形（不加别的辅助线）；若m+n＝1，且四边形ABCD的面积为28，则四边形FGEH的面积为7．【分析】根据平行四边形性质可得：AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD，再由＝n，＝m，m＝n，可得AF＝EC，进而可得DF＝BE，可证明四边形AECF、四边形BEDF为平行四边形，进而可证明四边形EGFH是平行四边形，故图中有4个平行四边形；由m+n＝1，可证明AF＝BE，DF＝CE，连接EF，即可得：四边形ABEF、四边形CDFE均为平行四边形，故S四边形FGEH＝S△BCF＝S四边形ABCD＝7．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD∵＝n，＝m，m＝n，∴＝，∴AF＝EC∴AD﹣AF＝BC﹣EC即DF＝BE∴四边形AECF、四边形BEDF均为平行四边形∴AE∥CF，BF∥DE∴四边形EGFH是平行四边形故图中共有4个平行四边形；∵＝n，＝m，m+n＝1，∴AF+EC＝BC＝AD∵AF+DF＝AD∴EC＝DF∴AF＝BE∴四边形ABEF、四边形CDFE均为平行四边形∴BG＝FG，CH＝FH∴S△EFG＝S△BEF，S△EFH＝S△CEF，∴S四边形FGEH＝S△EFG+S△EFH＝S△BEF+S△CEF＝S△BCF，∵S四边形ABCD＝28∴S△BCF＝S四边形ABCD＝28×＝14∴S四边形FGEH＝S△BCF＝14×＝7故答案为：4；7．11．（2023秋•岱岳区期末）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是．【分析】取AB的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AD、CB的中点，∴EG∥BD且EG＝BD＝×12＝6，FG∥AC且FG＝AC＝×10＝5，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝＝＝．故答案为：．12．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AD＝2AB＝8，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为．【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，过点A作AN⊥BC于点N，证∠ACD＝90°，再由勾股定理和含30°角的直角三角形的性质求出AC＝4、AN＝2，然后由三角形中位线定理得EF＝AG，进而求出AG的最大值和最小值即可．【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，过点A作AN⊥BC于点N，∴AM＝DM＝AD＝×8＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝AD＝×8＝4，∴AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝∠DMC＝×60°＝30°，∴∠ACD＝∠MCA+∠MCD＝30°+60°＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，在Rt△ACN中，∠ACN＝∠BCD﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，∴AN＝AC＝×4＝2，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AG，∵AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为4，最小值为2，∴EF的最大值为2，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为2﹣＝，故答案为：．13．（2023秋•潮南区期末）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为．【分析】过点A作AH⊥BC于H，利用解直角三角形得AH＝AB•sin∠ABC＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝2，CH＝BC﹣BH＝4，由勾股定理得AC＝2，再由AQ＝AB＝4，可得点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，即当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝2﹣4．【解答】解：如图3，过点A作AH⊥BC于H，连接AC，∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则AH＝AB•sin∠ABC＝4sin60°＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝4cos60°＝2，∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，在Rt△ACH中，AC＝＝＝2，∵点B与点Q关于直线AP对称，∴AQ＝AB＝4，∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝2﹣4，故答案为：．14．（2022秋•淄川区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝4.9，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别交BA，CD的延长线于点M，N，且∠BMF＝∠CNF，则CD的长为4.9．【分析】连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG，根据E，G分别是AD，BD的中点，得到GE为△ABD的中位线，，同理得到GF为△BDC的中位线，，根据GE为△ABD的中位线，得到GE∥MB，推出∠GEF＝∠BMF，同理∠GFE＝∠CNF，结合∠BMF＝∠CNF，得到∠GEF＝∠GFE，GE＝GF，AB＝CD，结合AB＝4.9，即可求出CD的长．【解答】解：连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG，∵E，G分别是AD，BD的中点，∴GE为△ABD的中位线，∴，∵F，G分别是BC，BD的中点，∴GF为△BDC的中位线，∴，∵GE为△ABD的中位线，∴GE∥MB，∴∠GEF＝∠BMF，∵GF为△BDC的中位线，∴GE∥CN，∴∠GFE＝∠CNF，又∵∠BMF＝∠CNF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∴AB＝CD，∵AB＝4.9，∴CD＝AB＝4.9．故答案为：4.9．15．（2022春•海陵区校级期末）定义：作▱ABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为▱ABCD的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围2≤m≤4．【分析】根据平行四边形的性质可得∠BPC＝90°，当点Q与点C重合时，当点Q与点D重合时，分别作图，根据全等三角形的性质求出m的值，即可确定m的取值范围．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°，∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝90°，∴∠BPC＝90°，当点Q与点C重合时，如图所示：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵∠BPC＝90°，∴∠APB＝∠BPC＝90°，∵BP＝BP，∴△ABP≌△CBP（ASA），∴AB＝BC，∵BC＝4，∴m＝4，当点Q与点D重合时，如图所示：延长CP交BA的延长线于点K，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵∠BPC＝90°，∴∠KPB＝∠BPC＝90°，∵BP＝BP，∴△KBP≌△CBP（ASA），∴BK＝BC，KP＝CP，∵AB∥CD，∴∠K＝∠DCP，又∵∠KPA＝∠CPD，∴△KPA≌△CPD（ASA），∴CD＝AK，∵AB＝CD，∴BC＝2AB＝4，∴AB＝2，∴m＝2，综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4，故答案为：2≤m≤4．16．（2022春•河北区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是9．【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AD∥EF，CD∥GH，∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴图中平行四边形有：▱ABCD，▱ABHG，▱CDGH，▱BCFE，▱ADFE，▱AGOE，▱BEOH，▱OFCH，▱OGDF共9个．即共有9个平行四边形．故答案为：9．17．（2023春•浙江期中）如图，有一张平行四边形纸条ABCD，AD＝5cm，AB＝2cm，∠A＝120°，点E，F分别在边AD，BC上，DE＝1cm．现将四边形CFED沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′上．当点C′恰好落在边AD上时，线段CF的长为cm．在点F从点B运动到点C的过程中，若边FC'与边AD交于点M，则点M相应运动的路径长为2.8﹣cm．【分析】当点C′恰好落在边AD上时，易得C′E＝C′F＝CF，过点E作EG⊥C′D′于点G，求出D′G，EG的长度，进而求出C′G的长度，勾股定理求出C′E的长度，即可得到CF的长；分别求出F与B重合时，AM的长，以及C′在AD上时，AM的长，作差即可得出点M相应运动的路径长．【解答】解：（1）当点C′恰好落在边AD上时，如图：∵平行四边形纸条ABCD，AD＝5cm，AB＝2cm，∠A＝120°，∴CD＝AB＝2cm，∠D＝60°，∠BCD＝120°，AD∥BC，∴∠CFE＝∠C′EF，∵折叠，∴C′D′＝CD＝2cm，DE＝D′E＝1cm，∠D′＝∠D＝60°，∠CFE＝∠C′FE，CF＝C′F，∴∠C′FE＝∠C′EF，∴C′E＝C′F＝CF，过点E作EG⊥C′D′于点G，则：∠EGD′＝∠C′GE＝90°，∴，∴，，∴，∴（厘米）；（2）当点F与点B重合时，此时AM最短，如图：∵，C′D′＝2，D′E＝1，∴D′E2+C′E2＝4＝D′C′2，∴∠C′ED′＝90°，∴∠EC′D′＝30°，∴∠MC′E＝∠BC′D′﹣∠EC′D′＝∠BCD﹣∠EC′D′＝90°，同（1）法可得：BM＝ME，设BM＝ME＝x，则：C′M＝BC′﹣BM＝BC﹣BM＝5﹣x，在Rt△MC′E中，ME2＝C′E2+C′M2，即：x2＝3+（5﹣x）2，解得：，∴，∴；当点C′在AD上时，此时M与C′重合，AM最大，由（1）可知，，∴点M运动的路径长为4﹣﹣＝（2.8﹣）（厘米）．故答案为：，．三．解答题（共5小题）18．（2023•蜀山区二模）如图1，在四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形．（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD＝90°，求证：BR＝RD；（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？【分析】（1）可先证CR⊥BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，求得∠BCR＝∠DCR，进而求得∠BAR＝∠DCR，又有AB＝CR，AR＝BC＝CD，可证△ABR≌△CRD；（2）由PS∥BC，PS∥RD知，点R在QD上，故BC∥AD．又由AB＝CD知∠A＝∠CDA因为SR∥PQ∥BA，所以∠SRD＝∠A＝∠CDA，从而SR＝SD．由PS∥BC及BC＝CD知SP＝SD．而SP＝DR，所以SR＝SD＝RD故∠CDA＝60度．因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA＝60°【解答】（1）证明：∵∠ABD＝90°，AB∥RC，∴CR⊥BD．∵BC＝CD，∴∠BCR＝∠DCR．∵四边形ABCR是平行四边形，∴∠BCR＝∠BAR．∴∠BAR＝∠DCR．又∵AB＝CR，AR＝BC＝CD，∴△ABR≌△CRD（SAS）．（2）解：由PS∥QR，PS∥RD（四边形PRDS为平行四边形）知，点R在QD上，又∵PS∥BC，PS∥RD，故BC∥AD．又由AB＝CD知∠A＝∠CDA，因为SR∥PQ∥BA，所以∠SRD＝∠A＝∠CDA，∵从而SR＝SD，由PS∥BC，∴△DCB∽△DSP，∵BC＝CD，∴SP＝SD．∵SP＝DR，所以SR＝SD＝RD，故∠CDA＝60°．因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA＝60°．（注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD＝60°或BC∥AD，∠BCD＝120°等亦可）．19．（2023秋•宁阳县期末）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形；（3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，证明∠BAE＝∠AEB，得出BE＝AB，即可证明结论；（2）证明△ADF≌△ECF（ASA），得出DF＝CF，根据AF＝EF，即可证明结论；（3）证明△ABE是等边三角形，得出AB＝AE＝4，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明△ADF≌△ECF，根据平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积求出结果即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，∴BE＝CD；（2）证明：由（1）知BE＝AB，∵BF平分∠ABE，∴AF＝EF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴DF＝CF，又∵AF＝EF，∴四边形ACED是平行四边形；（3）解：由（1）知BE＝AB，又∵∠BEA＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝4，∵BF⊥AE，∴，在Rt△ABF中，由勾股定理得，，∵∠DAE＝∠AEB，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF，∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝．20．（2023秋•杜尔伯特县期末）在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若∠DAF＝∠BAF，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△DAE和△BCF中，，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴DE＝BF，∵AB＝CD，AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝BE，∵DE＝BF，BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，∴AD＝5，∵AE＝3，DE＝4，∴AE2+DE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∵DE∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AF＝＝＝4．21．（2023春•浙江期中）已知在平行四边形ABCD中，E是边AD的中点，F是边AB上一动点．（1）如图1，连接FE并延长交CD的延长线于点G，求证：E是FG的中点；（2）如图2，若CF⊥AB，AD＝2AB，求证：∠DEF＝3∠AFE；（3）如图3，若CF⊥AB，AD＝2AB＝4，∠B＝60°时，K是射线CD上一个动点，将EK逆时针旋转90°得到EM，连接FM，求FM的最小值．【分析】（1）证明△AEF≌△DEG（AAS），根据全等三角形的性质，即可得证；（2）由平行四边形的性质及已知得∠CFB＝∠FCG＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CE＝EG，由AD＝2AB得ED＝CD，再由等边对等角及三角形外角的定义即可得证；（3）由30°所对的直角边等于斜边的一半可得当CF⊥AB，AD＝2AB＝4，∠B＝60°时，点F与点A重合，根据旋转的性质可得M的运动轨迹为射线M'M''，过点A作M'M''的垂线交M'M''的延长线于点M，延长AD交M'M''的延长线于点I，由垂线段最短可得FM的值最小即为AM，利用直角三角形的性质及勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AFE＝∠G，∠A＝∠ADG，∵E是边AD的中点，∴AE＝ED，∴△AEF≌△DEG（AAS），∴EF＝EG，∴点E是FG的中点；（2）证明：如图，延长FE交CD的延长线于点G，连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，CF⊥AB，∴AB∥CD，∴∠CFB＝∠FCG＝90°，由（1）知点E是FG的中点，∴CE＝EG，∴∠G＝∠ECG，∴∠FEC＝∠G+∠ECG＝2∠G，∵AD＝2AB，∴，∴∠DEC＝∠ECD，∴∠DEF＝∠FEC+∠DEC＝3∠G，∵∠AFE＝∠G，∴∠DEF＝3∠AFE；（3）解：当CF⊥AB，AD＝2AB＝4，∠B＝60°时，∴∠FCB＝90°﹣60°＝30°，∴，∴此时点F与点A重合，当点K与C、D两点重合时，EK逆时针旋转90°，得M'，M''，∴M的运动轨迹为射线M'M''，如图