【八年级下册数学湘教版】第二章 四边形（10类题型突破）

第二章四边形（10类题型突破）题型一多边形【例1】（2024上·广东广州·八年级统考期末）一个多边形的内角和是，这个多边形是（

）A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形【例2】（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形对角线的总条数为________．【例3】（2021·全国·八年级专题练习）（1）如图1所示，_________；（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为__________；二环五边形的内角和为__________；二环n边形的内角和为_________．【例4】（2023上·甘肃兰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，作、的平分线交于点称为第1次操作，作、的平分线交于点称为第2次操作，作、的平分线交于点称为第3次操作，……，则第4次操作后的度数是______．巩固训练：1．（2024上·云南昭通·八年级统考期末）正多边形的每个内角的度数为，则它的边数是（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2024上·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期末）一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的倍，则这个多边形的边数是（

）A． B． C． D．3．（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个内角为________度．4．（2021·青海西宁·统考中考真题）十二边形的内角和的度数为_______．5．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）如图，六角螺母的横截面是正六边形，则的度数为________．6．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）一个正多边形的外角与它相邻的内角的度数之比是，则它是正________边形．7．（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的内角和是____________．8．（2023下·全国·八年级假期作业）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则______________．9．（2020上·山东泰安·八年级统考期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．10．（2017下·山东东营·七年级校考期中）如图所示，________．11．（2023上·辽宁铁岭·八年级校考阶段练习）如图，求________．

12．（2023上·广西贺州·八年级统考期中）在中，，点，分别是边，上的点（不与，，重合），点是平面内一动点（与，不在同一直线上）．令，，．(1)若点在边上，如图①所示，且，则______；(2)若点在的外部，如图②所示，则，，之间有何关系？说明理由；(3)若点在的边的延长线上，直接写出，，之间的数量关系．题型二平行四边形【例1】（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于E，交于F，若平行四边形的周长为36，，则四边形的周长为（

）A．24 B．26 C．28 D．20【例2】（2023上·海南海口·八年级校考期中）若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较大的内角是（

）A． B． C． D．【例3】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（

）A． B． C． D．【例4】（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个巩固训练1．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC＝4，BD＝10，AB＝6．若要使四边形ABCD成为平行四边形，则OB的长为（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2023下·全国·八年级假期作业）有下列说法：①平行四边形的两组对边分别平行且相等；②平行四边形的对角线互相平分；③平行四边形的对角相等、邻角互补；④平行四边形的对角线相等．其中正确的说法有（

）A．4个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023上·山东威海·八年级校联考阶段练习）如图，中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长为（

）A．16 B．19 C．22 D．324．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考阶段练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，能判断四边形为平行四边形的是（

）A． B． C． D．5．（2023下·四川德阳·八年级统考期中）如图，在中，E为边延长线上一点，连结．若的面积为6，则的面积为（

）A．5 B．4 C．3 D．26．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（

）A．一组对边相等，另一组对边平行 B．一组对边平行且相等C．两条对角线互相平分 D．两组对边分别相等7．（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，四边形是平行四边形，为的中点，连接，将沿着所在的直线折叠，点刚好落在上的处，若，则的长为______．8．（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，于E，则的度数为_______．9．（2023下·全国·八年级假期作业）如图所示，AB，CD是两条相交的线段，O分别是它们的中点，当线段DC绕点O旋转时（DC，AB不重合），连接AC，CB，BD，DA所得到的四边形ACBD始终是________．理由是_________．10．（2024上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为______.11．（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，四边形中，，为上一点，与交于点，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求的长．12．（2023上·海南海口·八年级校考期中）如图，在中，点E，F分别在上，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)已知，，求的大小．13．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）已知：如图，在四边形中，，，垂足分别为E，F，延长、，分别交于点H，交于点G，若，．求证：四边形为平行四边形；14．（2023下·全国·八年级假期作业）在四边形中，，．(1)如图①，求证：四边形是平行四边形；(2)如图②，平分，交于点．若，，求的面积；(3)如图③，平分，交于点，作交射线于点，交于点．若，请探究线段，，之间的数量关系．15．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形ACBD中，AB与CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AEBF是平行四边形．16．（2024·全国·八年级假期作业）在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．若是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？17．（2023上·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）如图，点E、F是对角线上的两点，且，连接、、、．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，，求的面积．题型三中心对称和中心对称图形【例1】（2023上·辽宁铁岭·九年级统考期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【例2】（2024上·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点，分别作，，关于的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（

）

A．点与点是对称点 B．C． D．【例3】（2023上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，将置于平面直角坐标系中，三角形所有顶点都在格点上，画出以原点O为对称中心，与成中心对称的，并写出点，，的坐标．

巩固训练1．（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2023上·上海浦东新·七年级校联考期末）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2024上·甘肃武威·九年级校联考期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2024上·广东汕头·九年级统考期末）如图，与关于点C成中心对称，则的长是____5．（2024上·广东珠海·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，，，．(1)请在图中画出，使它和关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为，，；(2)的坐标为______．6．（2023上·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑．(1)再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法)；(2)再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．题型四三角形的中位线【例1】（2023上·重庆忠县·八年级统考期末）在如图所示的中，点D，E在边AB上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则的周长为（

）A．10 B．12 C．18 D．20【例2】（2024上·云南昭通·八年级统考期末）如图，已知在中，点，分别是边，的中点若的面积等于，则三角形的面积等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【例3】（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，D，E分别是的中点，，F是线段上一点，连接，．若，则的长度是__________．【例4】（2021上·北京顺义·九年级北京市顺义区第一中学校考阶段练习）如图，是边长为1的等边三角形，取边的中点E，作交于点D，交于点F，得到四边形，它的面积记作；取边的中点E1，作交于，交于点得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则的值为_____________．

巩固训练1．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，在中，分别为边的中点，则四边形的周长为（

）A．8 B．9 C．12 D．132．（重庆市万州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为______．3．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为________．4．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，点D、E、F分别是的、、的中点，若的周长为14，则的周长为______．

5．（2023下·浙江·八年级校联考期中）如图，是的中线，，分别是，的中点，连结．若，则的长为______．6．（2023上·山东烟台·八年级校考期末）如图，中，平分，交于点E，平分，交于点F，交于点O，点G，H分别是和的中点，则的长为_____．7．（2019下·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E，F分别是的中点，连接于点交于点N，若，则线段的长为_______________．8．（2023上·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为______．9．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，在等边三角形中，分别是边的中点，过点作，交的延长线于点，则______．10．（2023上·四川达州·九年级四川省渠县中学校考期末）如图，中，，，取BC边中点E，作，，得到四边形，它的面积记作；取BE中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则______．11．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在中，边上的高，E、F分别、的中点．(1)求四边形的面积；(2)若，求四边形的周长．题型五矩形【例1】（2023上·山东菏泽·七年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【例2】（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在长方形中，，对角线，平分交于点，是线段上的点，连接，过点作交的延长线于点，当为等腰三角形时，（）A．4 B．5 C．6 D．7【例3】（2023上·全国·九年级期末）如图，在矩形中，，，点在上，于，于，则等于（）A． B． C． D．【例4】（2023上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，四边形是平行四边形，点在边的延长线上，且，，，相交于点O，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．巩固训练：1．（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（）A．2 B． C． D．32．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）长方形ABCD中，，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（

）A．5 B． C． D．3．（2023下·全国·八年级假期作业）判断一个门框是否是矩形，可用的方法是（

）A．测量两组对边是否相等 B．检查门框的三个角是否是直角C．测量两条对角线是否互相平分 D．测量两条对角线是否互相垂直平分4．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，要使成为矩形，需添加的条件是（

）A． B． C． D．5．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则的长为（

）A．1 B． C． D．46．（2024上·广东佛山·九年级统考期末）如图，矩形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交、于点、.若，，则四边形面积是（

）A．20 B．16 C．12 D．247．（2023上·四川达州·九年级开江县任市中学校考期末）如图，已知矩形边上有一点，且，是线段上的一点（不与点、重合），是线段延长线上的一点，且，连结交于点，过点作于点，若，，则线段的长是________．8．（2017下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，在矩形中，，对角线，相交于点O，垂直平分于点，则的长为___________．9．（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）如图，在矩形中，，，对角线的中垂线交于点，交于点，则的长为________．

10．（2023下·重庆·八年级统考期末）如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为_____．

11．（2023上·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为_________．

12．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，木工师傅要做一个矩形木框，做好以后测量得长，宽．若对角线的长为，则这个木框______（填“合格”或“不合格”），判定的依据是________________________．13．（2024上·山东淄博·九年级校联考期末）已知矩形（如图1）的一边和对角线分别与矩形的对角线及边重合，连接，取的中点，连接，试探索解决下列问题：

(1)求证：；(2)如图2，若将（1）中的矩形绕点旋转一定的角度，其它条件不变，你认为（1）中的结论是否成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．14．（2024上·湖南邵阳·九年级统考期末）【动手操作】将一张矩形纸片按下图操作：步骤一：如图①，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕．步骤二：如图②，是上一动点，沿折叠纸片，使点落在上点处，的对应点为，连接，．请完成：（1）试猜想的形状，并予以证明；【类比操作】步骤三：如图③，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕，沿折叠纸片，使点落在上点处，的对应点为，连接，，并延长交于点．（2）请说明：．15．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的对角线相交于点，且．(1)求证：四边形是矩形；(2)点在上，连接，若，求的面积．16．（2023下·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求四边形的面积．17．（2023上·广东深圳·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E．(1)求证：四边形为矩形；(2)若，求的长．18．（2023上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，．(1)求证：四边形是矩形：(2)若，，求四边形的面积．题型六菱形【例1】（2023上·广东佛山·九年级统考期末）已知菱形的边长为，它的一条对角线长为，则该菱形的面积为（

）A． B． C． D．【例2】（2023上·宁夏银川·九年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例3】（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）如图，中，点为对角线的中点，过点且分别交，于点，．连接，．

(1)求证：；(2)求证：若平分，四边形为菱形．巩固训练1．（2024·重庆大渡口·统考一模）如图，在菱形中，对角线交于点，若菱形的面积是，则的面积为（

）A． B． C． D．2．（2024上·辽宁丹东·九年级统考期末）菱形的对角线长分别为，则此菱形的周长为（

）A． B． C． D．3．（2024上·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，P为菱形的对角线上的一定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交，于点E，G，，若的最小值为2，则的长为________．4．（2023上·甘肃白银·九年级统考阶段练习）已知一个菱形的边长为2，一条对角线长为，则这个菱形的面积是_______．5．（2024上·广东江门·九年级统考期末）如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为和，求阴影部分的面积为______．6．（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，在菱形中，是对角线上的两点，且．(1)求证：；(2)证明四边形是菱形．7．（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：．8．（2023上·福建三明·九年级统考期末）如图，中，分别为的中点，连接．(1)尺规作图：在的延长线上确定点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若，求证：四边形为菱形．9．（2024上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）【操作探究】已知：在菱形中，点在直线上，过作的平行线交直线于点，交直线于点．(1)【举例感知】如图1，当点在线段上时，求证：；(2)【类比探究】①当点在延长线上时，直接写出三条线段之间的数量关系．②当点在延长线上时，直接写出三条线段之间的数量关系．10．（2024上·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的周长．11．（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长DE到点F，使得，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求菱形的面积．题型七正方形【例1】（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为5，正方形的边长为3，则正方形的面积为（

）A．16 B．25 C．30 D．34【例2】（2024上·四川南充·九年级统考期末）如图，把正方形的边绕着点逆时针旋转，得到线段．射线与边交于，则大小为（

）A． B． C． D．【例3】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图，边长为的正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，则两个正方形重叠部分的面积是（

）A．8 B．4 C．6 D．2【例4】（2023上·河北张家口·九年级统考期末）【方法前置】作图形旋转是解决几何问题的重要方法，如图①，正方形中，、分别在边、上，且，连接，求证：．可将绕点逆时针旋转到的位置（容易得出点在的延长线上），进一步证明与全等．亲爱的同学们，你想好了吗？试着看下面的问题情境吧．【问题情景】如图②，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为60米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（在上，在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出人口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草．（1）【模型感知】请参考【方法前置】的思路在图②中证明．（2）【模型应用】如图②，若，请你计算儿童活动区的面积；（3）【模型拓展】如图③，连接，若，与线段分别交于点、点，，请直接写出、和之间的数量关系．巩固训练1．（2016上·江苏扬州·八年级阶段练习）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，c这2个方形的面积和为（）

A．10 B．15 C．22 D．122．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为_____．3．（2023上·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）如图，在正方形的外侧作等边，则______度．4．（2023上·山东·九年级专题练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是____．5．（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践【问题情境】如图1，正方形中，点E为其内一点，以点E为直角顶点，以为斜边构造直角三角形，使得，将绕点B按顺时针方向旋转，得到△（点A的对应点为C），延长交于点F，连接．【解决问题】请根据图1完成下列问题：（1）若，则∠=_度；（2）试判断四边形的形状，并给予证明；【拓展探究】（3）如图2，若，请写出线段与的数量关系，并说明理由．6．（2024上·陕西宝鸡·九年级统考期末）【问题提出】（1）如图①，正方形的对角线与相交于点，点为边的中点，连接，若，则正方形的边长为_______；【问题探究】（2）如图②，在正方形中，点是边上一点，且点不与、重合，过点作的垂线交延长线于点，连接，试判断的形状，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有、、、、五个出口，其中出口在边上，已知．米，米，米，，、为果园内两条小路，现在的中点处修建一个临时库房，沿修一条运输通道．试求该运输通道的长度．7．（2024上·湖南衡阳·七年级校考期末）四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，．求：

(1)指出旋转中心和旋转角度；(2)求的长度和的度数．8．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期中）已知正方形和（点C，D，E在直线同侧），把绕点A按顺时针方向旋转，得到，由旋转的性质，可知，延长交于点G．(1)如图1，若点E在正方形边上（），则与的位置关系是________．(2)如图2，若点E在正方形内部（，）．①（1）的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．②若，，请直接写出线段的长．9．（2023上·山东济宁·九年级统考期中）阅读与理解图1是边长分别为m和的两个正方形纸片和叠放在一起的图形（点F，G分别在，上）．(1)操作与证明①将图1中的正方形固定，将正方形绕点C按顺时针方向旋转，连接，，如图2所示．猜想：线段与之间的大小关系，并证明你的猜想；②若将图1中的正方形绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接，，如图3所示．那么（1）中的结论还是否成立吗？请说明理由．(2)操作与发现根据上面的操作过程发现，当为________度时，线段的最大值是________；当为________度时，线段的最小值是________？10．（2023上·甘肃陇南·九年级校考阶段练习）已知：如图，正方形，连接，E是延长线上一点，，连接交于点F．(1)求的度数；(2)若，求点F到的距离．11．（2023上·全国·九年级期末）如图，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上（），取线段的中点．探究：线段、的关系，并加以证明．

(1)说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；(2)在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．①的延长线交于点，且；②将正方形绕点逆时针旋转（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且．附加题：将正方形绕点旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段、的关系，并加以证明．题型八中点四边形【例1】（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）下列命题中，真命题是（

）A．顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形C．顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形D．顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形【例2】（2023上·江西九江·九年级统考阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，E，F，G，H分别为，，，的中点，若，，则四边形的面积为______．

【例3】（2023下·四川南充·八年级校考期中）如图，已知矩形的面积为1．分别为的中点，若四边形的面积为，分别为的中点，四边形的面积记为，…，依此类推，第n个四边形的面积记为，则___________．

巩固训练1．（2023上·宁夏中卫·九年级校考期中）若四边形两条对角线互相垂直，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（

）A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形2．（2023上·甘肃酒泉·九年级校联考阶段练习）若顺次连接平行四边形四边的中点，得到的图形是一个矩形，则平行四边形一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形3．（2023上·山东枣庄·九年级校联考阶段练习）顺次连结某四边形的中点所得的图形是菱形，则这个某四边形一定是（

）A．正方形 B．矩形C．对角线相等的四边形 D．平行四边形4．（2023下·湖北襄阳·八年级校考期中）顺次连接矩形的中点所得的四边形是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形5．（2023上·四川遂宁·九年级射洪中学校考期中）如图，在四边形中，点、F、G、H分别为各边的中点，点A到C的距离、点B到的距离都等于，则四边形的周长是________．6．（2023上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__________时，四边形是菱形．7．（2023上·广东揭阳·九年级统考期中）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，若四边形是菱形，则四边形的对角线和需要满足的条件是______．8．（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．

(1)请判断四边形的形状，并说明理由．(2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由．(3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由．9．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务，瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点、、，分别是边、，，的中点，顺次连接，、、，得到的四边形是平行四边形．我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654-1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接，分别交，于点、，过点作于点，交于点∵、分别为，的中点，∴，．（依据1）∴，∵，∴．∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即．∵，即，∴四边形是平行四边形，（依据2）．∴，∵，∴．同理，…

任务：(1)填空：材料中的依据1是指：________．依据2是指：________．(2)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，满足下列要求：①四边形及它的瓦里尼翁平行四边形的顶点都在小正方形网格的格点的上；

②四边形是矩形，不是正方形．(3)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线、长度的关系，并证明你的结论．

10．（2023下·山西吕梁·八年级统考期中）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形．(1)判断四边形的形状，并说明理由．(2)求四边形的面积．(3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）．题型九动点问题【例1】（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（

）A．2 B．3 C．2或 D．2或【例2】（2022下·河南郑州·八年级统考期末）如图，在中，对角线相交于点，点在上，，，，点是的中点，若点以的速度从点出发，沿向点运动，点同时以的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动___________时，以点为顶点的四边形是平行四边形．【例3】（2022下·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）如图，是直角梯形，，，，点P从B点开始，沿边向点A以的速度移动，点Q从D点开始，沿DC边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从B、D同时出发，P、Q有一点到达终点时运动停止，设移动时间为t．(1)t为__________时四边形是平行四边形；(2)t为何值时四边形是矩形？(3)t为__________时四边形是等腰梯形．巩固训练1．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平行四边形中，为中点，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．连结，过点作，且，连结，点和点始终在直线的同侧．设运动的时间为秒．(1)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）．(2)当点落在边上时，求的值．(3)连结，当与平行四边形的边平行时，直接写出的值．2．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结．(1)直接写出点与点重合时的值．(2)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）．(3)当时，求的值．(4)当时，直接写出的值．3．（2022上·山西运城·九年级统考期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，．(1)四边形能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能；(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．4．（2023上·山西运城·九年级统考期中）综合与探究如图，在矩形中，，点分别从点出发，沿，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动．在相同时间内，若，则．

(1)当运动停止时，的值为______．(2)当为何值时，点重合？(3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？5．（2023上·广东河源·九年级统考期中）如图，矩形中，，点P从点A出发沿向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒．

(1)若点P、Q均以的速度移动，则：_；_．（用含t的代数式表示）(2)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？(3)若点P、Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形．6．（2023上·陕西渭南·九年级校考阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

(1)当时，求的面积；(2)当t为何值时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？(3)（2）中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当Q速度不变，求出P点速度？7．（2023下·吉林·八年级校考期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．

(1)的长为______；(2)用含的代数式表示线段的长；(3)连接，①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．8．（2017上·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．

(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？9．（2023上·福建南平·九年级统考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）．(1)则___________，___________（用含t的代数式表示）；(2)当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于？10．（2023上·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点B运动；点Q从点C出发，以的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点Q的运动时间为．P，Q两点同时出发．

(1)若存在某一时刻，四边形为正方形，求x的值；(2)当时，若，求t的值．11．（2023上·山东青岛·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，，点．同时从、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动（到点停止），点的速度为，点的速度为．(1)经过多少秒为等边三角形？(2)经过多少秒四边形的面积为．12．（2022下·福建龙岩·八年级校考期中）如图所示，在，在中，，，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间t秒，过点D作于点F，连接、．

(1)求证：．(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，请说明理由．题型十最值问题【例1】（2023下·湖南湘西·八年级校联考期中）如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（

）

A．6 B． C．12 D．【例2】（2023上·河南平顶山·九年级统考期中）如图，在菱形中，，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，的最小值为______．

【例3】（2022上·陕西咸阳·八年级校考期中）如图，正方形的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值___________．

【例4】（2023下·山东菏泽·八年级统考期末）如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，．

(1)探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______；(2)将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由；(3)已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值．巩固训练1．（2023·湖南湘西·统考三模）如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（

）

A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为__________．3．（2022上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考阶段练习）正方形中，点在上，，，点在上，的最小值_____．

4．（2021上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是___________．

5．（2021上·广东韶关·九年级校考期中）如图，在边长为6的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接．则的最小值为___________．

6．（2023下·江苏盐城·八年级校考期中）如图，正方形的边长为5，E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形，连接、，当的值最小时________．7．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为________．8．（2023·广东深圳·统考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值．9．（2023下·广东广州·八年级广州市第二中学校考期中）如图，正方形中，点P是线段上的动点．(1)当交于E时，①如图1，求证：．②如图2，连接交于点O，交于点F，试探究线段、、之间用等号连接的数量关系，并说明理由；(2)如图3，已知M为的中点，为对角线上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，的最小值为，求线段的长．

第二章四边形（10类题型突破）答案全解全析题型一多边形【例1】（2024上·广东广州·八年级统考期末）一个多边形的内角和是，这个多边形是（

）A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形【答案】C【分析】本题考查根据多边形的内角和公式计算多边形的边数，解答的关键是要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理，利用多边形的内角和公式，列出方程求解即可．【详解】解：设所求多边形的边数为，∴，解得：，故选：C．【例2】（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形对角线的总条数为________．【答案】【分析】本题考查多边形的外角和以及对角线的条数．熟练掌握多边形的外角和和对角线条数的计算方法是解题的关键．根据多边形的外角和为，求出多边形的边数，再根据一个多边形有条对角线，进行计算即可．【详解】解：设该多边形有条边，多边形的外角和为，多边形的每一个外角都等于，，该多边形的对角线的数量为：（条），故答案为：．【例3】（2021·全国·八年级专题练习）（1）如图1所示，_________；（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为__________；二环五边形的内角和为__________；二环n边形的内角和为_________．【答案】360°720°1080°【分析】（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得，再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案；（2）连接，交于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得；结合五边形内角和性质，得；结合（1）的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】（1）如图所示，连接AD，交于点M∵，，∴；故答案为：360°（2）如图，连接，交于点M∴，∵∴∴∵∴∴∴二环四边形的内角和为：∵二环三角形的内角和为：二环四边形的内角和为：∴二环五边形的内角和为：∴二环n边形的内角和为：故答案为：，，．【例4】（2023上·甘肃兰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，作、的平分线交于点称为第1次操作，作、的平分线交于点称为第2次操作，作、的平分线交于点称为第3次操作，……，则第4次操作后的度数是______．

【答案】【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是找出操作的变化规律，得到与之间的关系．先根据、的平分线交于点，得出，再根据、的平分线交于点，得出，以此类推，得出再进行计算即可，再进行计算即可．【详解】解：∵在四边形中，，∴，∵、的平分线交于，∴，，∴，∵、的平分线交于点，∴，，∴，同理，∴∴，故答案为：．巩固训练：1．（2024上·云南昭通·八年级统考期末）正多边形的每个内角的度数为，则它的边数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本题考查了多边形的内角与外角，根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为，再用外角和除以，计算即可得解．【详解】解：正多边形的每个内角等于，每一个外角的度数为，边数，故选：C．2．（2024上·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期末）一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的倍，则这个多边形的边数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了多边形的内角和外角的关系，先根据一个正多边形的内角和外角互补关系列方程求出正多边形的外角，再根据多边形的外角和等于即可求出正多边形的边数，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．【详解】解：设正多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，，解得，∴正多边形的每个外角为，∴这个多边形的边数为，故选：．3．（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个内角为________度．【答案】120【分析】本题主要考查了多边形的内角和正多边形，首先设此多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的内角和除以9，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：，解得：，∴这个正多边形的每一个内角等于：．故答案为：120．4．（2021·青海西宁·统考中考真题）十二边形的内角和的度数为_______．【答案】/1800度【分析】本题考查了多边形的外角和的求法．根据多边形的公式解答即可．【详解】解：十二边形的内角和的度数为：故答案为：．5．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）如图，六角螺母的横截面是正六边形，则的度数为________．【答案】/60度【分析】根据正多边形的外角相等，结合外角和为，求解即可．掌握正多边形的每个外角都相等，是解题的关键．【详解】解：∵正六边形的每个外角都相等，∴；故答案为：．6．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）一个正多边形的外角与它相邻的内角的度数之比是，则它是正________边形．【答案】十二【分析】本题考查了正多边形的定义，多边形的外角定理等知识．先求出正多边形的每个外角为，进而得到正多边形的边数为12，问题得解．【详解】解：∵正多边形的外角与它相邻的内角的度数之比是，∴这个正多边形的每个外角为，∴这个正多边形的边数为，即它是正十二边形．故答案为：十二7．（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的内角和是____________．【答案】/540度【分析】本题考查正多边形的内角和和外角和的综合，先利用正多边形的外角和为求得边数，再根据多边形的内角和公式求解即可．【详解】解：∵正多边形的每个外角为，∴这个正多边形的边数为，∴这个正多边形的内角和为，故答案为：．8．（2023下·全国·八年级假期作业）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则________________．【答案】9．（2020上·山东泰安·八年级统考期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．【答案】0【分析】将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.【详解】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，∴=180°×2+360°=720°如图2所示，将原六边形分成了四个三角形∴=180°×4=720°∴m-n=0故答案为0.10．（2017下·山东东营·七年级校考期中）如图所示，________．

【答案】360【分析】如图：根据三角形外角的性质可得、，进而得到，最后根据四边形的内角和即可解答．将所求角的和转化为四边形的内角和是解题的关键．【详解】解：如图：根据三角形外角的性质可得、，则．故答案为360．

11．（2023上·辽宁铁岭·八年级校考阶段练习）如图，求=________．

【答案】【分析】连接，根据三角形的内角和定理即可证得，进而根据四边形的内角和定理即可求解．【详解】解：如图所示，连接，设交于点

在和中，，，．12．（2023上·广西贺州·八年级统考期中）在中，，点，分别是边，上的点（不与，，重合），点是平面内一动点（与，不在同一直线上）．令，，．(1)若点在边上，如图①所示，且，则______；(2)若点在的外部，如图②所示，则，，之间有何关系？说明理由；(3)若点在的边的延长线上，直接写出，，之间的数量关系．【答案】(1)120(2)(3)或【分析】本题主要考查三角形外角定理、四边形内角和和对顶角相等，利用三角形外角定理和四边形内角和，即可求得答案；利用三角形外角定理和对顶角相等即可求得答案；分两种情况，根据点P离点A的远近可得到答案．【详解】（1）解：∵，，，，∴，∴，故答案为：；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，则；（3）如图，当直线在直线下面时，∵，，，∴，∴,；如图，当直线在直线上面时，∵，，，，∴，∴；故或．题型二平行四边形【例1】（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于E，交于F，若平行四边形的周长为36，，则四边形的周长为（

）A．24 B．26 C．28 D．20【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先利用证明，从而得，，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式，即可求得答案．【详解】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为，，，又，，，，平行四边形的周长为36，，四边形的周长为：．故选：A．【例2】（2023上·海南海口·八年级校考期中）若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较大的内角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行四边形性质；根据平行四边形对角相等，邻角互补性质，可设：这两个角的度数分别为和，则，解方程可得答案．【详解】由已知可设这两个角的度数分别为和，依题意得：，解得．所以，较大的角是．故选：D．【例3】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（

）A． B． C． D．【答案】C【例4】（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理解题的关键．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵平分，∴，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，故①正确；∴，∴，∴，故②错误；∵，∴E为中点，∴，故③错误；∵，，∴，故④正确；故正确的个数为个，故选：B．巩固训练1．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC＝4，BD＝10，AB＝6．若要使四边形ABCD成为平行四边形，则OB的长为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B2．（2023下·全国·八年级假期作业）有下列说法：①平行四边形的两组对边分别平行且相等；②平行四边形的对角线互相平分；③平行四边形的对角相等、邻角互补；④平行四边形的对角线相等．其中正确的说法有（

）A．4个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C3．（2023上·山东威海·八年级校联考阶段练习）如图，中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长为（

）A．16 B．19 C．22 D．32【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定；证明，得出，，进而可得四边形的周长为，即可求解．【详解】解：四边形是平行四边形，，，．在和中，，，，，，．又，，，，四边形的周长为：．故选C．4．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考阶段练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，能判断四边形为平行四边形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；B．由，，根据一组对边平行且相等的四边形为平形四边形，故该选项正确，符合题意；C．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；D．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．5．（2023下·四川德阳·八年级统考期中）如图，在中，E为边延长线上一点，连结．若的面积为6，则的面积为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】此题主要考查利用平行四边形的性质．首先根据平行四边形的性质，平行四边形和的高相等，即可求解．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，∴平行四边形和的高相等，，故选：C．6．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（

）A．一组对边相等，另一组对边平行 B．一组对边平行且相等C．两条对角线互相平分 D．两组对边分别相等【答案】A【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：一组对边相等，另一组对边平行，不能判定一个四边形是平行四边形，故A选项正确；一组对边平行且相等，能判定一个四边形是平行四边形，故B选项错误；两条对角线互相平分，能判定一个四边形是平行四边形，故C选项错误；两组对边分别相等，能判定一个四边形是平行四边形，故D选项错误；故选A．7．（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，四边形是平行四边形，为的中点，连接，将沿着所在的直线折叠，点刚好落在上的处，若，则的长为______．【答案】【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，延长，交于点，连接，证明出，得到，再证明出，从而得到，即可求出的长．掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：延长，交于点，连接，四边形是平行四边形，，，，，为的中点，，在和中，，，，由沿着所在的直线折叠得到，，，，，，，，，，，，，，．故答案为：．8．（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，于E，则的度数为_______．【答案】/22度【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两个锐角互余，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键．根据平行四边形性质，得到，根据等腰三角形性质得到，因为，在中，即可求出的度数．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，在中，，故答案为：．9．（2023下·全国·八年级假期作业）如图所示，AB，CD是两条相交的线段，O分别是它们的中点，当线段DC绕点O旋转时（DC，AB不重合），连接AC，CB，BD，DA所得到的四边形ACBD始终是________．理由是_________．【答案】平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形10．（2024上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为______.【答案】3【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四边形的性质，得出是解题的关键．根据平行四边形的对边平行且相等可得，，；根据两直线平行，内错角相等可得；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得；推得，根据等角对等边可得，，即可列出等式，求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，∴，∵平分，∴，则，∴，同理可证：，∵，即，解得：；故答案为：3．11．（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，四边形中，，为上一点，与交于点，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见详解(2)的长为【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）过点作于点，证是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理得，求出，即可得出结论．【详解】（1）证明：在和中，又∴四边形是平行四边形；（2）解：如图，过点作于点，则，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，即的长为．12．（2023上·海南海口·八年级校考期中）如图，在中，点E，F分别在上，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)已知，，求的大小．【答案】(1)见解析(2)130°【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等边对等角．（1）根据平行四边形的性质，得到，即可得出结论；（2）等边对等角，求出的度数，平角的定义求出的度数，根据平行四边形的对角相等，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形；（2）由（1）可知四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴．13．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）已知：如图，在四边形中，，，垂足分别为E，F，延长、，分别交于点H，交于点G，若，．求证：四边形为平行四边形；【答案】见解析【分析】本题考查平行四边形的判定，证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；解题的关键是证明．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形．14．（2023下·全国·八年级假期作业）在四边形中，，．(1)如图①，求证：四边形是平行四边形；(2)如图②，平分，交于点．若，，求的面积；(3)如图③，平分，交于点，作交射线于点，交于点．若，请探究线段，，之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)3(3)或【详解】解：（1）证明：，．，，，四边形是平行四边形．（2）在中，，．平分，，，．如图①，作交的延长线于点，．图①，，，，．（3）如图②、图③，作交射线于点．当点在线段上时，如图②．图②，，，．四边形是平行四边形，，，．在和中，，．由（2）易知．，，．又，，即；当点在的延长线上时，如图③．图③同理可得，，，即．综上所述，线段，，之间的数量关系为或15．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形ACBD中，AB与CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AEBF是平行四边形．【答案】见解析【详解】证明：∵AC∥DB，∴∠ACD＝∠BDC．∵∠AOC＝∠BOD，AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OC＝OD．∵E，F分别是OC，OD的中点，∴，，∴OE＝OF．又∵AO＝BO，∴四边形AEBF是平行四边形．16．（2024·全国·八年级假期作业）在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．若是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？【答案】或【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用．熟练掌握平行四边形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．由题意知，分当点在线段上，当在线段上，两种情况求解；①当点在线段上，时，即，计算求解即可；②当在线段上，时，即，计算求解即可．【详解】解：∵，是上一点，即，∴，，①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，∴，解得；②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，∴，解得；综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．17．（2023上·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）如图，点E、F是对角线上的两点，且，连接、、、．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，，求的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等：（1）由平行线的性质得到，进而得到，再证明，得到，即可证明四边形是平行四边形；（2）先利用勾股定理求出，进而得到，求出即可得到答案．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：，，，∴，∵，∴（同高三角形），∵，∴．题型三中心对称和中心对称图形【例1】（2023上·辽宁铁岭·九年级统考期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．该图是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【例2】（2024上·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点，分别作，，关于的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（

）

A．点与点是对称点 B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质判断即可，掌握中心对称的性质是求解本题的关键．【详解】解：∵和关于点成中心对称，∴点与点是对称点，，故成立；∵与是对顶角，∴，故成立；∵的对应角是，∴，故不成立；故选：．【例3】（2023上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，将置于平面直角坐标系中，三角形所有顶点都在格点上，画出以原点O为对称中心，与成中心对称的，并写出点，，的坐标．

【答案】画图见解析，，，【分析】本题考查了中心对称作图，解题的关键是熟练掌握关于原点成中心对称的点的特征．分别找到点，，，关于原点的中心对称的对应点，，，顺次连接即可；【详解】解：如图所示，∴点的坐标分别为：，，．巩固训练1．（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键；中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义即可判断；【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形故此选项符合题意；B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形故此选项不符合题意；D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．2．（2023上·上海浦东新·七年级校联考期末）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：．是轴对称图形，故本选项不符合题意；．是轴对称图形，故本选项不符合题意；．是轴对称图形，故本选项不符合题意；．是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．3．（2024上·甘肃武威·九年级校联考期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．4．（2024上·广东汕头·九年级统考期末）如图，与关于点C成中心对称，则的长是____【答案】【分析】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．【详解】解：与关于点成中心对称，，，，，，，，故答案为：．5．（2024上·广东珠海·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，，，．(1)请在图中画出，使它和关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为，，；(2)的坐标为______．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据关于原点对称的点的定义画图即可；（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点的坐标．【详解】（1）解：如下图，根据关于原点O对称的概念可知：，连结即可，就是所要求画的三角形；（2）根据关于原点O对称的概念可知：，的坐标为．6．（2023上·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑．(1)再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法)；(2)再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查轴对称作图和中心对象作图，选择合适的对称轴或对称中心是解题的关键．（1）先根据题意选择合适的对称轴作图即可；（2）先根据题意选择合适的对称中心作图即可．【详解】（1）解：如下图所示，即为所求作的图形，（2）如下图所示，即为所求作的图形，题型四三角形的中位线【例1】（2023上·重庆忠县·八年级统考期末）在如图所示的中，点D，E在边AB上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则的周长为（

）A．10 B．12 C．18 D．20【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．证明，推出，，同理，，得到是的中位线，进一步计算即可求解．【详解】解：∵平分，且，∴，，，∴，∴，，同理可证，，∴是的中位线，∴，∴的周长为，故选：D．【例2】（2024上·云南昭通·八年级统考期末）如图，已知在中，点，分别是边，的中点若的面积等于，则三角形的面积等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】本题考查了三角形的中线的性质，利用三角形中线的性质即可求解．【详解】解：点是边的中点，